2024年中考数学（福建）第二次模拟考试（含答案）

2024年福建中考第二次模拟考试数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.2．下列图形中，为轴对称的图形的是（）A B. C. D.3.下列运算正确的是（）A.B.（）C.D.（）4.一元一次不等式组的解集为()A. B. C. D.5.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（）A. B. C. D.96.如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（）A. B. C.20 D.7.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（）A. B. C. D.8.某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为（）A.9，9， B.9，9， C.8，8， D.9，8，9.如图，是的直径，，则（）A. B. C. D.10.如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．12.分解因式：=__________________.13.小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为______．14.一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为________．15.边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为_______．16.如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有________．①与面积相同；②；③若，连接和，则；④若，，，则．三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）计算：．18.（8分）先化简，再求值：，其中．19.（8分）如图，B是的中点，，.求证：．20.（8分）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）21.（8分）小红家到学校有两条公共汽车线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周(5个工作日)选择A线路，第二周(5个工作日)选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间，数据统计如下：(单位：min)数据统计表试验序号12345678910A线路所用时间15321516341821143520B线路所用时间25292325272631283024数据折线统计图根据以上信息解答下列问题：平均数中位数众数方差A线路所用时间22a1563.2B线路所用时间b26.5c6.36（1）填空：__________；___________；___________；（2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．22.（10分）如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径长．23.（10分）综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．请写出平分的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）24.（13分）如图，在正方形中，E是边上一动点（不与点A，D重合）．边关于对称的线段为，连接．（1）若，求证：是等边三角形；（2）延长，交射线于点G；①能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由；②若，求面积的最大值，并求此时的长．25.（13分）如图，二次函数的图象与轴交于A，两点，且自变量的部分取值与对应函数值如下表：…………（1）求二次函数的表达式；（2）若将线段向下平移，得到的线段与二次函数的图象交于，两点（在左边），为二次函数的图象上的一点，当点的横坐标为，点的横坐标为时，求的值；（3）若将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数的图象只有一个交点，其中为常数，请直接写出的取值范围．2024年福建中考第二次模拟考试数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值．2．下列图形中，为轴对称的图形的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解决问题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念，轴对称图形概念，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形．3.下列运算正确的是（）A.B.（）C.D.（）【答案】C【解析】【分析】根据整式的计算法则：幂的乘方法则，同底数幂除法法则，同底数幂乘法法则，负整数指数幂计算法则分别计算判断．【详解】解：A、，故该项原计算错误；B、（），故该项原计算错误；C、，故该项原计算正确；D、（），故该项原计算错误；故选：C．【点睛】此题考查了整式的计算法则，熟记幂的乘方法则，同底数幂除法法则，同底数幂乘法法则，负整数指数幂计算法则是解题的关键．4.一元一次不等式组的解集为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】第一个不等式解与第二个不等式的解，取公共部分即可.【详解】解：解不等式得：结合得：不等式组的解集是，故选：D．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．5.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（）A. B. C. D.9【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴．解得：．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．6.如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（）A. B. C.20 D.【答案】D【解析】【分析】连接，此题易得，得，再利用勾股定理计算即可．【详解】解：连接，由已知得：，，，∴，在中，，∴（），故选：D【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的应用，直角三角形30度角的性质，关键是掌握勾股定理的计算．7.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．【详解】解：∵正八边形的外角和为，∴，故选A【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为是解本题的关键．8.某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为（）A.9，9， B.9，9， C.8，8， D.9，8，【答案】B【解析】【分析】利用众数、中位数及平均数的定义写出答案即可．【详解】解：该同学五项评价得分从小到大排列分别为7，8，9，9，10，出现次数最多的数是9，所以众数为9，位于中间位置的数是9，所以中位数是9，平均数为故选：B．【点睛】本题考查了统计的知识，掌握众数、中位数及平均数的计算方法是关键．9.如图，是的直径，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据圆周角定理可进行求解．【详解】解：∵是直径，∴，∵，∴，∵，∴；故选B．【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．10.如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：当时，则，即，∵四边形是正方形，∴，，∴点，∴，解得：，故选B．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据分式有意义条件列不等式求解即可．【详解】解：若代数式有意义，则，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键．12.分解因式：=__________________.【答案】【解析】【详解】试题分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=考点：分解因式点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点掌握．需要运用平方差公式．13.小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为______．【答案】##0.25【解析】【分析】根据概率公式进行计算即可．【详解】解：随机挑选一本书共有4种等可能的结果，其中拿到《红星照耀中国》这本书的结果有1种，∴，故答案为：．【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键．14.一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为________．【答案】【解析】【分析】根据圆锥的体积=×底面积×高，即可求解．【详解】解：∵圆锥底面半径为5，高为12，∴它的体积，故答案为：．【点睛】本题考查圆锥体积，关键是熟练掌握圆锥的体积=×底面积×高．15.边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为_______．【答案】15【解析】【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：如图，由题意可知，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；故答案为15．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．16.如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有________．①与面积相同；②；③若，连接和，则；④若，，，则．【答案】①②③【解析】【分析】延长，并截取，连接，证明，得出，，根据，，得出，证明，得出，即可判断①正确；根据三角形中位线性质得出，根据，得出，判断②正确；根据时，，得出，，，，根据四边形内角和得出，求出，判断③正确；根据②可知，，根据勾股定理得出，求出，判断④错误．【详解】解：延长，并截取，连接，如图所示：∵，∴，∵，∴，∴，∴，根据旋转可知，，，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，即与面积相同，故①正确；∵，，∴是的中位线，∴，∵，∴，故②正确；当时，，∴，，，，∵，∴，即，故③正确；∵，∴根据②可知，，∵当时，，为中线，∴，∴，∴，∴，故④错误；综上分析可知，正确的是①②③．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，中位线性质，勾股定理，四边形内角和，补角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明．三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）计算：．【答案】【解析】【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键．18.（8分）先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先根据分式混合运算法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【详解】∵∴原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19.（8分）如图，B是的中点，，.求证：．【答案】见解析【解析】【分析】根据已知条件证得，，然后证明，应用全等三角形的性质得到．【详解】证明：∵B是的中点，∴，∵，∴，在和中，∴，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．20.（8分）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）【答案】边的宽为，天头长为【解析】【分析】设天头长为，则地头长为，边的宽为，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．【详解】解：设天头长为，由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为，边的宽为，装裱后的长为，装裱后的宽为，由题意可得：解得，∴，答：边的宽为，天头长为．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系．21.（8分）小红家到学校有两条公共汽车线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周(5个工作日)选择A线路，第二周(5个工作日)选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间，数据统计如下：(单位：min)数据统计表试验序号12345678910A线路所用时间15321516341821143520B线路所用时间25292325272631283024数据折线统计图根据以上信息解答下列问题：平均数中位数众数方差A线路所用时间22a1563.2B线路所用时间b26.5c6.36（1）填空：__________；___________；___________；（2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．【答案】（1）19，26.8，25（2）见解析【解析】【分析】（1）根据中位数定义将A线路所用时间按从小到大的顺序排列，求中间两个数的平均数即为A线路所用时间的中位数a，利用平均数的定义求出B线路所用时间的平均数b，找出B线路所用时间中出现次数最多的数据即为B线路所用时间的众数c，从而得解；（2）根据四个统计量分析，然后根据分析结果提出建议即可．【小问1详解】解：将A线路所用时间按从小到大顺序排列得：14，15，15，16，18，20，21，32，34，35，中间两个数是18，20，∴A线路所用时间的中位数为：，由题意可知B线路所用时间得平均数为：，∵B线路所用时间中，出现次数最多的数据是25，有两次，其他数据都是一次，∴B线路所用时间的众数为：故答案为：19，26.8，25；【小问2详解】根据统计量上来分析可知，A线路所用时间平均数小于B线路所用时间平均数线路，A线路所用时间中位数也小于B线路所用时间中位数，但A线路所用时间的方差比较大，说明A线路比较短，但容易出现拥堵情况，B线路比较长，但交通畅通，总体上来讲A路线优于B路线．因此，我的建议是：根据上学到校剩余时间而定，如果上学到校剩余时间比较短，比如剩余时间是21分钟，则选择A路线，因为A路线的时间不大于21分钟的次数有7次，而B路线的时间都大于21分钟；如果剩余时间不短也不长，比如剩余时间是31分钟，则选择B路线，因为B路线的时间都不大于31分钟，而A路线的时间大于31分钟有3次，选择B路线可以确保不迟到；如果剩余时间足够长，比如剩余时间是36分钟，则选择A路线，在保证不迟到的情况，选择平均时间更少，中位数更小的路线．【点睛】本题考查求平均数，中位数和众数，以及根据统计量做决策等知识，掌握统计量的求法是解题的关键．22.（10分）如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，根据弦、弧、圆周角的关系可证，根据圆的性质得，证明，得到，根据切线的判定定理证明；（2）连接，，根据勾股定理得到长，根据等弧对等弦得到，根据圆内接四边形对角互补得，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解．【小问1详解】证明：连接，∵点C为的中点，∴，∴，∵，∴∴∴，∴，∵为半径，∴为切线；【小问2详解】解：连接，，∵，∴，∵，，∴，∵D是的中点，∴，∴，∵为的直径，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的半径长为．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．23.（10分）综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．请写出平分的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）作图见解析；【解析】【分析】（1）先证明，可得，从而可得答案；（2）先证明，可得，可得是的角平分线；（3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可．【详解】解：（1）∵，，，∴，∴，∴是的角平分线；故答案为：（2）∵，，，∴，∴，∴是的角平分线；（3）如图，点即为所求作的点；．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．24.（13分）如图，在正方形中，E是边上一动点（不与点A，D重合）．边关于对称的线段为，连接．（1）若，求证：是等边三角形；（2）延长，交射线于点G；①能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由；②若，求面积的最大值，并求此时的长．【答案】（1）见解析（2）①能为等腰三角形，；②【解析】【分析】（1）由轴对称的性质得到，根据正方形的性质得到，求得，根据轴对称的性质得到，根据等边三角形的判定定理即可得到结论；（2）①根据轴对称的性质得到，根据正方形的性质得到，得到，推出点B不可能是等腰三角形的顶点，若点F是等腰三角形的顶点，则有，此时E与D重合，不合题意，于是得到只剩下了，连接交于H，根据全等三角形的性质得到，得到为等腰三角形，根据平行线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，于是得到；②由①知，，要求面积的最大值，即求面积的最大值，在中，底边是定值，即求高的最大值即可，如图2，过G作于P，连接，取的中点M，连接，作于N，设，则，根据直角三角形的性质得到，推出，当当G，M，N三点共线时，取等号，于是得到结论；如图3，设与交于Q，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，求得，于是得到结论．【小问1详解】证明：由轴对称的性质得到，∵四边形正方形，∴，∵，∴，∵于对称的线段为，∴，∴，∴是等边三角形；【小问2详解】①∵于对称线