重庆九龙坡区高2026届高二数学第一学期期末联考试题含解析

重庆九龙坡区高2026届高二数学第一学期期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过双曲线右焦点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）A.或 B.2或C.或 D.2或2．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，直线PF交x轴于Q点，且，则点P到准线l的距离为（）A.4 B.5C.6 D.73．已知直线与直线平行，则实数a的值为（）A.1 B.C.1或 D.4．在等差数列中，，则的公差为（）A.1 B.2C.3 D.45．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A.1 B.2C. D.6．下图是一个“双曲狭缝”模型，直杆沿着与它不平行也不相交的轴旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线．已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)所在的双曲线离心率为2，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝30cm，则|AD|＝（）A.10cm B.20cmC.25cm D.30cm7．已知抛物线上的一点，则点M到抛物线焦点F的距离等于（）A.6 B.5C.4 D.28．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬动地球”.他在做数学研究时，有一个有趣的问题：一个边长为2的正方形内部挖了一个内切圆，现在以该内切圆的圆心且平行于正方形的一边的直线为轴旋转一周形成几何体，则该旋转体的体积为（）A. B.C. D.9．不等式表示的平面区域是一个（）A.三角形 B.直角三角形C.矩形 D.梯形10．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（）A. B.C. D.11．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A.2 B.3C.4 D.512．某机构通过抽样调查，利用列联表和统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得，经查对临界值表知，，现给出四个结论，其中正确的是（）A.因为，故有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关"B.因为，故有95%把握认为“患肺病与吸烟有关”C.因为，故有90%的把握认为“患肺病与吸烟无关”D.因为，故有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，则的外接圆E的方程是________14．已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若直线平面，则实数m的值为______15．定义在R上的函数满足，其中为自然对数的底数，，则满足的a的取值范围是__________.16．直线与两坐标轴相交于，两点，则线段的垂直平分线的方程为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列的前n项和为Sn，S9=81，，求：（1）Sn；（2）若S3、、Sk成等比数列，求k18．（12分）已知数列{an}满足，（1）记，证明：数列{bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；（2）记数列{bn}前n项和为Tn，证明：19．（12分）求满足下列条件的双曲线的标准方程（1）焦点在x轴上，实轴长为4，实半轴长是虚半轴长的2倍；（2）焦点在y轴上，渐近线方程为，焦距长为20．（12分）已知椭圆C：的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-.（1）求椭圆C的离心率（2）点M（，）在椭圆C上，椭圆的左顶点为D，上顶点为B，点A的坐标为（1，0），过点D的直线L与椭圆在第一象限交于点P，与直线AB交于点Q设L的斜率为k，若，求k的值.21．（12分）解答下列两个小题：（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程22．（10分）已知圆的方程为：.（1）求的值，使圆的周长最小；（2）过作直线，使与满足（1）中条件的圆相切，求的方程，并求切线段的长.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】求得点A，B的坐标，利用转化为坐标比求解.【详解】不妨设直线，由题意得，解得，即；由得，即，因为，所以，所以当时，，；当时，，则，故选：D2、C【解析】根据题干条件得到相似，进而得到，求出点P到准线l的距离.【详解】由题意得：，准线方程为，因为，所以，故点P到准线l的距离为.故选：C3、A【解析】根据两直线平行的条件列方程，化简求得，检验后确定正确答案.【详解】由于直线与直线平行，所以，或，当时，两直线方程都为，即两直线重合，所以不符合题意.经检验可知符合题意.故选：A4、A【解析】根据等差数列性质可得方程组，求得公差.【详解】等差数列中,,，由通项公式可得解得故选：A5、A【解析】分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求出结果【详解】双曲线中，焦点坐标为渐近线方程为：∴双曲线的焦点到渐近线的距离故选：A6、B【解析】由离心率求出双曲线方程，由对称性设出点A，B，D坐标，求出坐标，求出答案.【详解】由题意得：，解得：，因为离心率，所以，，故双曲线方程为，设，则，，则，所以，则，解得：，故.故选：B7、B【解析】将点代入抛物线方程求出，再由抛物线的焦半径公式可得答案.详解】将点代入抛物线方程可得，解得则故选：B8、B【解析】根据题意，结合圆柱和球的体积公式进行求解即可.【详解】由题意可知：该旋转体的体积等于底面半径为，高为的圆柱的体积减去半径为的球的体积，即，故选：B9、D【解析】作出不等式组所表示平面区域，可得出结论.【详解】由可得或，作出不等式组所表示的平面区域如下图中的阴影部分区域所示：由图可知，不等式表示的平面区域是一个梯形.故选：D.10、B【解析】根据题意得到得到答案.【详解】椭圆焦点在轴上，且，故.故选：B.11、C【解析】作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析求解.【详解】解：作出不等式组对应的可行域为如图所示的阴影部分区域，由得，它表示斜率为纵截距为的直线系，当直线平移到点时，纵截距最大，最大.联立直线方程得得.所以.故选：C12、A【解析】根据给定条件利用独立性检验的知识直接判断作答.【详解】因，且，由临界值表知，，，所以有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，则A正确，C不正确；.因临界值3.841>3.305，则不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，也不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”，即B，D都不正确.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题可求三角形三顶点的坐标，三角形的外接圆的方程即求.【详解】令，得或，则，∴外接圆的圆心的横坐标为2，设，半径为r，由，得，则，即，得，.∴的外接圆的方程为.故答案为：.14、-2【解析】由已知可得，即，计算即可得出结果.【详解】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，且直线平面，所以，所以，解得.故答案为：-2.15、【解析】设，求出其导数结合条件得出在上单调递减，将问题转化为求解，由的单调性可得答案.【详解】设，则由，则所以在上单调递减.又由，即，即，所以故答案为：16、【解析】由直线的方程求出直线的斜率以及，两点坐标，进而可得线段的垂直平分线的斜率以及线段的中点坐标，利用点斜式即可求解.【详解】由直线可得，所以直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，令可得；令可得；即，，所以线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线的方程为，整理得.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）Sn=n2（2）11【解析】(1)由等差数列前n项和公式与下标和性质先求，然后结合可解；(2)由(1)中结论和已知列方程可解.【小问1详解】由，解得，又∵，∴，，∴【小问2详解】∵S3，S17–S16，Sk成等比数列，∴S3Sk=(S17–S16)2=，即9k2=332，解得：k=1118、（1）证明见解析；bn=2n（2）证明见解析【解析】（1）由递推关系式转化为等比数列即可求解；（2）由（1）求出，再用裂项相消法求和后就可以证明不等式.【小问1详解】由an+1=2an+1可得所以{bn}是以首项，公比为2的等比数列所以.【小问2详解】易得于是所以因为，所以.19、（1）（2）【解析】（1）（2）直接由条件解出即可得到双曲线方程.【小问1详解】由题意有，解得：，则双曲线的标准方程为：【小问2详解】由题意有，解得：，则双曲线的标准方程为：20、（1）（2）1【解析】（1）根据椭圆的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-，由求解；（2）根据点M（，）在椭圆C上，顶点，再由，求得椭圆方程，由，结合，得到，设直线方程为，与椭圆方程联立，求得点P的坐标，再由，求得Q的坐标，代入求解.【小问1详解】解：设椭圆C：的上顶点为，左顶点为，右顶点为，因为椭圆的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-,所以，即，又所以，解得；【小问2详解】因为点M（，）在椭圆C上，所以，又，解得，所以椭圆方程为，，则，因为，所以，又，所以，则，设，则，当时，则，不合题意；当时，设直线方程为，与题意方程联立，消去y得：则，所以，则，因为，由，得，因为，所以，化简得，因，则.21、（1）；（2）.【解析】（1）由可得，再将点代入方程，联立解出答案，可得答案.（2）先求出椭圆的焦点，则双曲线的焦点在轴上，由条件可得，且，从而得出答案.详解】（1）由，得，即，又，即，双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得所以，双曲线的方程为（2）椭圆的焦点为，设双曲线的方程为，所以，且，所以，所以，双曲线的方程为22、（1）（2）直线方程为或，切线段长度为4【解析】（1）先求圆的标准方程，由半径最小则周长最