上海市市北高级中学2026届高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析

上海市市北高级中学2026届高二数学第一学期期末统考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的导函数为（）A. B.C. D.2．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且，N为BC中点，则等于（）A. B.C. D.3．小方每次投篮的命中率为，假设每次投篮相互独立，则他连续投篮2次，恰有1次命中的概率为（）A. B.C. D.4．若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.5．复数的共轭复数的虚部为（）A. B.C. D.6．某中学举行党史学习教育知识竞赛，甲队有、、、、、共名选手其中名男生名女生，按比赛规则，比赛时现场从中随机抽出名选手答题，则至少有名女同学被选中的概率是（）A. B.C. D.7．不等式的解集为（）A. B.C.或 D.或8．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆O：，则下列说法中正确的是（）①函数是圆O的一个太极函数②圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数③函数是圆O的一个太极函数④函数的图象关于原点对称是为圆O的太极函数的充要条件A.①② B.①③C.②③ D.③④9．阿基米德（公元前287年~公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为6π，则椭圆C的标准方程为（）A. B.C. D.10．在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹记为C，则曲线C的离心率为（）A. B.C. D.11．已知抛物线上一点到焦点的距离为3，准线为l，若l与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线C的离心率为（）A.3 B.C. D.12．已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（）A.（0，0） B.（2，2）C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．椭圆x2+=1上的点到直线x+y-4=0的距离的最小值为_________.14．若椭圆和圆（c为椭圆的半焦距）有四个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围是_____.15．设是数列的前项和，且，则_____________.16．若函数在[1，3]单调递增，则a的取值范围___三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设点P是曲线上的任意一点，k是该曲线在点P处的切线的斜率（1）求k的取值范围；（2）求当k取最大值时，该曲线在点P处的切线方程18．（12分）如图，在几何体ABCEFG中，四边形ACGE为平行四边形，为等边三角形，四边形BCGF为梯形，H为线段BF的中点，，，，，，.（1）求证：平面平面BCGF；（2）求平面ABC与平面ACH夹角的余弦值.19．（12分）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，若关于x的不等式恒成立，试求a的取值范围20．（12分）如图，在三棱锥中，，平面，，分别为棱，的中点.（1）求证：；（2）若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积.21．（12分）已知直线过点，且被两条平行直线，截得的线段长为.（1）求的最小值；（2）当直线与轴平行时，求的值.22．（10分）已知三点共线，其中是数列中的第n项.（1）求数列的通项；（2）设，求数列的前n项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用复合函数求导法则即可求导.【详解】，故选：B.2、B【解析】由题意结合图形，直接利用，求出，然后即可解答.【详解】解：因为空间四边形OABC如图，，，，点M在线段OA上，且，N为BC的中点，所以.所以.故选：B.3、A【解析】先弄清连续投篮2次，恰有1次命中的情况有两种，它们是互斥关系，因此根据相互独立事件以及互斥事件的概率计算公式进行求解.【详解】由题意知，他连续投篮2次，有两种互斥的情况，即第一次投中第二次不中和第一次不中第二次投中，因此恰有1次命中的概率为，故选：A.4、B【解析】由题意可知且，构造函数，可得出，由函数的单调性可得出，利用导数求出函数的最小值，可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为，则且，由已知可得，构造函数，其中，，所以，函数为上的增函数，由已知，所以，，可得，构造函数，其中，则.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，则，所以，，解得.故选：B.5、B【解析】先根据复数除法与加法运算求解得，再求共轭复数及其虚部.【详解】解：，所以其共轭复数为，其虚部为故选：B6、D【解析】现场选名选手，共种情况，设，，，四位同学为男同学则没有女同学被选中的情况，共有6种，利用对立事件进行求解，即可得到答案；【详解】现场选名选手，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共种情况，不妨设，，，四位同学为男同学则没有女同学被选中的情况是：，，，，，共种，则至少有一名女同学被选中的概率为.故选：.7、A【解析】先将分式不等式转化为一元二次不等式，然后求解即可【详解】由，得，解得，所以原不等式的解集为，故选：A8、B【解析】①③可以通过分析奇偶性和结合图象证明出符合要求，②④可以举出反例.【详解】是奇函数，且与圆O的两交点坐标为，能够将圆O的周长和面积同时等分为两个部分，故符合题意，①正确；同理函数是圆O的一个太极函数，③正确；例如，是偶函数，也能将将圆O的周长和面积同时等分为两个部分，故②错误；函数的图象关于原点对称不是为圆O的太极函数的充要条件，例如为奇函数，但不满足将圆O的周长和面积同时等分为两个部分，所以④错误；故选：B9、D【解析】设椭圆的方程为，根据题意得到和，求得的值，即可求解.【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上，可设椭圆的方程为，因为椭圆C的离心率为，可得，又由，即，解得，又因为椭圆的面积为，可得，即，联立方程组，解答，所以椭圆方程为.故选：D.10、B【解析】设，，则由题意可得，代入圆方程中化简可得曲线C的方程，从而可求出离心率【详解】设，，则，得，所以，因为点在圆上，所以，即，所以点的轨迹方程为，所以，则所以离心率为，故选：B11、C【解析】先由已知结合抛物线的定义求出，从而可得抛物线的准线方程，则可求出准线l与两条渐近线的交点分别为，然后由题意可得，进而可求出双曲线的离心率详解】依题意，抛物线准线，由抛物线定义知，解得，则准线，双曲线C的两条渐近线为，于是得准线l与两条渐近线的交点分别为，原点为O，则面积，双曲线C的半焦距为c，离心率为e，则有，解得故选：C12、B【解析】设点P到准线的距离为，根据抛物线的定义可知，即可根据点到直线的距离最短求出【详解】如图所示：设点P到准线的距离为，准线方程为，所以，当且仅当点为与抛物线的交点时，取得最小值，此时点P的坐标为故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设与直线x+y-4=0平行的直线方程为,求出即得解.【详解】解：设与直线x+y-4=0平行的直线方程为,所以，代入椭圆方程得，令或.当时，平行线间的距离为；当时，平行线间的距离为.所以最小距离为.故答案为：.14、【解析】当圆的直径介于椭圆长轴和短轴长度范围之间时，椭圆和圆有四个不同的焦点，由此列不等式，解不等式求得椭圆离心率的取值范围.【详解】由于椭圆和圆有四个焦点，故圆的直径介于椭圆长轴和短轴长度范围之间，即.由得，两边平方并化简得，即①.由得，两边平方并化简得，解得②.由①②得.故填.【点睛】本小题主要考查椭圆和圆的位置关系，考查椭圆离心率取值范围的求法，属于中档题.15、【解析】根据题意可知，再利用裂项相消法，即可求出结果.【详解】因为，所以.故答案为：.16、【解析】由在区间上恒成立来求得的取值范围.【详解】依题意在区间上恒成立，在上恒成立，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）先求导数再求最值即可求解答案；（2）由（1）确定切点，从而也确定的斜率就可以求切线.【小问1详解】设，因为，所以，所以k的取值范围为【小问2详解】由（1）知，此时，即，所以此时曲线在点P处的切线方程为18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）在中，由正弦定理知可知，利用三角形内角和可知即，又因为，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结果；（2）取BC中点O，由（1）得：平面BCGF，，以O为原点，OB，OH，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角，即可求出结果.【小问1详解】证明：（1）在中，由正弦定理知：解得因为，所以又因为，所以所以又因为，所以直线平面ABC又因为平面BCGF所以平面平面BCGF【小问2详解】解：取BC中点O，连结OA，OH，由（1）得：平面BCGF，则以O为原点，OB，OH，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系在中，则，，平面ABC的一个法向量为设平面ACH的一个法向量为因为，所以，取，则设平面APD与平面PDF夹角为，所以.19、（1）的减区间为，增区间为（2）【解析】（1）利用导数求得的单调区间.（2）利用分离参数法，结合构造函数法以及导数求得的取值范围.【小问1详解】当时，，，所以在区间递减；在区间递增.所以的减区间为，增区间为.【小问2详解】，恒成立.构造函数，，，构造函数，，所以在上递增，，所以在上成立，所以，所以，即的取值范围是.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质即证；（2）利用坐标法，结合条件可求，然后利用体积公式即求.【小问1详解】，是的中点，，平面，平面，，又，平面，平面，；【小问2详解】，，，取的中点，连接，则，平面，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，由，取，得；设平面的一个法向量为，由，取，得，∵二面角的大小为，，解得，，则三棱锥