2025年应用统计学课程学习考试试卷及答案

2025年应用统计学课程学习考试试卷及答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.某电商平台统计2024年1-12月各月活跃用户数，若要直观展示用户数的季节波动特征，最适合的统计图是（）A.饼图B.箱线图C.折线图D.散点图2.已知某连续型随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则其概率密度函数图像的对称轴是（）A.x=0B.x=μC.x=σD.x=μ+σ3.对某高校学生月消费支出进行抽样调查，样本量为300，计算得样本均值为1500元，样本标准差为300元。若置信水平为95%（Z=1.96），则总体均值的置信区间为（）A.(1465.2,1534.8)B.(1471.6,1528.4)C.(1480.4,1519.6)D.(1488.2,1511.8)4.进行单样本t检验时，若原假设H₀:μ=μ₀，备择假设H₁:μ≠μ₀，当计算得到的t统计量绝对值大于临界值时，结论应为（）A.拒绝H₀，认为μ与μ₀有显著差异B.不拒绝H₀，认为μ与μ₀无显著差异C.拒绝H₁，认为μ与μ₀无显著差异D.无法判断5.若两个变量X和Y的Pearson相关系数r=0.85，说明二者之间（）A.无线性相关关系B.低度正线性相关C.中度正线性相关D.高度正线性相关6.在方差分析中，组间平方和（SSB）反映的是（）A.各样本内部数据的离散程度B.不同组均值之间的差异程度C.全部数据与总均值的差异程度D.随机误差的影响7.某企业产品合格率历史数据为98%，现抽取500件产品检验，发现12件不合格。若检验当前合格率是否低于历史水平（α=0.05），应采用的检验方法是（）A.Z检验B.t检验C.卡方检验D.F检验8.时间序列分析中，若数据呈现明显的长期递增趋势且季节波动幅度随趋势增强而增大，最适合的预测模型是（）A.移动平均法B.指数平滑法C.乘法模型的季节分解D.加法模型的季节分解9.多元线性回归模型中，若某个自变量的VIF值为8.5，说明该变量存在（）A.异方差性B.自相关性C.多重共线性D.随机误差项非正态性10.对分类数据进行独立性检验时，卡方统计量的计算公式为（）A.Σ[(O-E)²/E]B.Σ[(O-E)²/O]C.(n-1)s²/σ²D.(X̄-μ)/(s/√n)二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。请将答案填写在题中横线上）11.描述数据集中趋势的常用指标有均值、中位数和______。12.若随机变量X~B(n,p)，当n较大且np和n(1-p)均大于5时，X可近似服从______分布。13.假设检验中，第一类错误是指______原假设为真时拒绝原假设的概率。14.一元线性回归模型y=β₀+β₁x+ε中，ε表示______误差项。15.时间序列的构成要素包括长期趋势、季节变动、循环变动和______。三、简答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分。要求简明扼要，逻辑清晰）16.简述中心极限定理的核心内容及其在统计推断中的作用。17.说明独立样本t检验与配对样本t检验的主要区别。18.列举多元线性回归模型需要满足的五个基本假设。四、计算分析题（本大题共2小题，每小题15分，共30分。要求写出详细计算步骤，结果保留两位小数）19.某食品厂为检测新生产线的包装重量稳定性，随机抽取25袋产品，测得重量（单位：克）如下：498502505499501503497504500502496501503498500502499501504497502500495503501已知该产品标准重量为500克，假设重量服从正态分布，检验新生产线包装重量是否符合标准（α=0.05）。20.某超市记录了10天的日客流量（X，单位：百人）和日销售额（Y，单位：千元）数据如下：X:12151820222528303235Y:4552606875829095100108（1）计算X与Y的Pearson相关系数；（2）建立Y关于X的一元线性回归方程；（3）预测当客流量为40百人时的日销售额。五、综合应用题（本大题1小题，25分。要求结合实际背景，分析过程完整）21.某电商企业为研究广告投入对产品销量的影响，收集了2020-2024年各季度的相关数据（共20个观测值），变量包括：季度销量（Y，千件）、线上广告投入（X₁，万元）、线下广告投入（X₂，万元）、当季平均气温（X₃，℃）。经初步分析，数据满足多元线性回归的基本假设，得到如下回归结果：回归方程：Ŷ=12.5+0.8X₁+0.3X₂+0.5X₃调整R²=0.89，F检验p值=0.001X₁的t检验p值=0.02（α=0.05），X₂的t检验p值=0.15（α=0.05），X₃的t检验p值=0.005（α=0.05）（1）解释回归方程中各系数的实际意义；（2）判断模型整体拟合效果是否显著，并说明依据；（3）分析各自变量对销量的影响是否显著；（4）若2025年第一季度线上广告投入100万元，线下广告投入50万元，平均气温15℃，预测该季度销量；（5）提出优化广告投放策略的建议。答案及解析一、单项选择题1.C解析：折线图适合展示时间序列数据的变化趋势和波动特征。2.B解析：正态分布的对称轴为均值μ。3.A解析：置信区间=1500±(1.96×300/√300)=1500±34.8，即(1465.2,1534.8)。4.A解析：双侧检验中t统计量绝对值大于临界值时拒绝原假设。5.D解析：|r|>0.8为高度相关，r>0为正相关。6.B解析：组间平方和反映不同组均值与总均值的差异。7.A解析：大样本比例检验使用Z检验（np=500×0.98=490>5，n(1-p)=10>5）。8.C解析：乘法模型适用于季节波动幅度随趋势变化的情况。9.C解析：VIF>5通常认为存在多重共线性。10.A解析：卡方独立性检验统计量为观测频数与期望频数差的平方除以期望频数的和。二、填空题11.众数12.正态（或N(np,np(1-p))）13.弃真（或α错误）14.随机（或残差）15.不规则变动（或随机波动）三、简答题16.核心内容：在样本量足够大时，无论总体服从何种分布，样本均值的抽样分布近似服从正态分布，均值为总体均值，方差为总体方差除以样本量。作用：为大样本统计推断（如参数估计、假设检验）提供理论依据，使得即使总体分布未知，也可利用正态分布进行近似计算。17.主要区别：（1）数据来源不同：独立样本来自两个无关总体，配对样本来自同一总体的配对观测（如前后测、双胞胎等）；（2）误差控制不同：配对样本通过配对消除个体差异，提高检验效能；（3）自由度计算不同：独立样本自由度为n1+n2-2，配对样本自由度为n-1（n为配对数）。18.基本假设：（1）线性关系：因变量与自变量存在线性关系；（2）独立性：随机误差项相互独立；（3）同方差性：误差项方差恒定；（4）正态性：误差项服从正态分布；（5）无多重共线性：自变量之间不存在高度线性相关。四、计算分析题19.解：（1）提出假设：H₀:μ=500，H₁:μ≠500（双侧检验）（2）计算样本均值X̄=(498+502+…+501)/25=12525/25=501克（3）计算样本标准差s=√[Σ(Xi-X̄)²/(n-1)]=√[((498-501)²+…+(501-501)²)/24]≈√(214/24)≈3.00克（4）计算t统计量：t=(X̄-μ)/(s/√n)=(501-500)/(3/√25)=1/0.6≈1.67（5）自由度df=25-1=24，查t表得临界值t0.025(24)=2.064（6）比较：|t|=1.67<2.064，不拒绝H₀，认为新生产线包装重量符合标准。20.解：（1）相关系数计算：X̄=(12+15+…+35)/10=247/10=24.7，Ȳ=(45+52+…+108)/10=775/10=77.5Σ(Xi-X̄)(Yi-Ȳ)=(12-24.7)(45-77.5)+…+(35-24.7)(108-77.5)=1273.5Σ(Xi-X̄)²=(12-24.7)²+…+(35-24.7)²=568.1Σ(Yi-Ȳ)²=(45-77.5)²+…+(108-77.5)²=2932.5r=1273.5/√(568.1×2932.5)=1273.5/√(1666779.25)=1273.5/1291.04≈0.99（高度正相关）（2）回归方程：β₁=Σ(Xi-X̄)(Yi-Ȳ)/Σ(Xi-X̄)²=1273.5/568.1≈2.24β₀=Ȳ-β₁X̄=77.5-2.24×24.7≈77.5-55.33≈22.17回归方程：Ŷ=22.17+2.24X（3）预测：当X=40时，Ŷ=22.17+2.24×40=22.17+89.6=111.77千元五、综合应用题21.解：（1）系数意义：-常数项12.5：当线上、线下广告投入和气温均为0时的基础销量（实际无意义，仅数学意义）；-X₁系数0.8：线上广告投入每增加1万元，销量平均增加0.8千件；-X₂系数0.3：线下广告投入每增加1万元，销量平均增加0.3千件；-X₃系数0.5：气温每升高1℃，销量平均增加0.5千件。（2）模型整体显著：调整R²=0.89接近1，说明模型解释了89%的销量变异；F检验p值=0.001<0.05，拒绝原假设，模型整体拟合效果显著。（3）自变量显著性：-X₁（线上广告）：p=0.02<0.05，影响显著；-X₂（线下广告）：p=0.15>0.05，影响不显著；-X₃（气温）：p=0