（人教A版）选择性必修二高二上学期期末复习 第五章 一元函数的导数及其应用 题型归纳+随堂检测（基础篇）（解析版）

第页高二上学期期末复习第五章题型归纳（基础篇）题型1变化率问题题型1变化率问题1．若函数f(x)=x2+x，则函数f(x)从x=−A．6B．3C．2D．1【解题思路】根据条件，直接求出f(−1)=0，f(3)=12，再利用平均变化率的定义即可求出结果.【解答过程】因为f(x)=x2+x，所以f(−1)=(−1)2−1=0，f(3)=32+3=122．如果质点A运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为st=2t，那么该质点在A．23B．−23C．2【解题思路】根据瞬时变化率的定义求解即可.【解答过程】ΔsΔt题型2题型2利用导数的定义解题1．已知函数fx的导函数是f′x，若f′xA．12B．1C．2【解题思路】根据导数定义，将增量化成12【解答过程】因为f′x0=22．定义在R上的函数y=fx在区间2,2+ΔxΔx>0内的平均变化率为ΔyΔx=ΔxA．−1B．1C．3D．9【解题思路】利用导数的定义可求得f′【解答过程】由导数的定义可得f′题型3题型3求曲线切线的斜率（倾斜角）1．设fx为可导函数，且lim△x→0f1−f1−2△x△xA．2B．-1C．1D．−【解题思路】利用导数的定义及几何意义进行求解.【解答过程】由导数的几何意义，点1,f1处的切线斜率为f因为△x→0时，f1−f1−2△x所以在点1,f1处的切线斜率为−2．设limΔx→0f2+Δx−f2−ΔxΔx=−2A．π4B．π3C．3π4【解题思路】根据导数的概念可得f′【解答过程】因为limΔx→0f2+Δx−f2−ΔxΔx=2f′2=−2，所以题型4题型4求（复合）函数的导数的方法1．下列求导运算正确的是（

）A．(3x)′=3xlog3【解题思路】根据导数运算求得正确答案.【解答过程】A选项，(3x)C选项，(cosx)故选：B.2．下列求导运算正确的是（

）A．lnx+3x′=C．excos2x【解题思路】根据导数的运算法则求导后判断．【解答过程】lnx+3xexln13．已知函数fx满足f(1)求fx在x=(2)求fx的图象在点π【解题思路】（1）求导，再令x=π（2）由（1）求得fπ【解答过程】（1）由fx=f则f′π3（2）由（1）得fx=3所以fx的图象在点π3,fπ3题型5题型5已知切线（斜率）求参数1．若曲线y=x2+ax+b在点P(0,b)处的切线方程为x−y+1=0，则a，bA．1，1B．−1，1C．1，−1D．−1，−1【解题思路】利用切点处的导数等于切线斜率，结合切点在切线上可得.【解答过程】解：因为y'=2x+a∵曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线x−y+1=0又切点(0,b)在切线x−y+1=0上，∴0−b+1=0∴b=1．故选：A．2．已知曲线y=ex+ax在点0,1处的切线与直线2x−y+3=0平行，则实数aA．−32B．−12【解题思路】由导数的几何意义求解即可.【解答过程】因为y=ex+ax，所以y′=ex+a，则曲线y=ex+ax在点0,13．已知函数f(x)=x(1)当x∈(0,1)时，函数f(x)的图像上任意一点处的切线斜率为k，若k≥−3，求实数a的取值范围；(2)若a=−2，求曲线y=f(x)过点M(−1,f(−1))的切线方程.【解题思路】(1)根据导数的几何意义可得当x∈0,1时，f(2)设切点，根据导数的几何意义求出切线方程，将M−1,1【解答过程】（1）函数f(x)=x2(x−a)由题意可得当x∈0,1时，3x2函数y=3x+1x在(−∞,−1)和(1,+所以3(x+1x)>3(1+11=)6，即有2a≤6，则（2）函数f(x)=x2(x+2)设切点为m,n，则n=m3+2m2，f即有切线方程为y−n=3将M−1,1代入可得1−整理可得(m+1)2(2m+1)=0，解得m=−1或即有所求切线的方程为y−1=−x+1或y−1=−54(x+1)，即题型6题型6导数中函数图象的应用1．如图，函数y=fx的图象在点P1,y0处的切线是l，则

A．1B．2C．0D．−1【解题思路】根据函数图象中的数据求出切线l的方程，从而可求出点P的纵坐标，则可得f(1)，求出直线的斜率可得f′【解答过程】由图象可得切线过点(2,0),(0,2)，所以切线l的方程为x2+y2=1，即y=2−x，所以切线的斜率为−1，所以f′(1)=−1，因为点P1,2．函数y=f(x)的图象如图所示，则下列不等关系正确的是（

）

A．f′(2)<fC．f(3)−f(2)<f′(3)<【解题思路】由题意可知f′2为函数y=f(x)的图象在点A处的切线的斜率，f′3为函数y=f(x)的图象在点B处的切线的斜率，【解答过程】f′2为函数y=f(x)的图象在点f′3为函数y=f(x)的图象在点B处的切线的斜率，f(3)−f(2)=f(3)−f(2)由图可知0<f′

题型7题型7利用导数研究函数的单调性1．函数f(x)=12xA．(−1,1)B．(−∞,1)C．(0,1)【解题思路】对函数求导，然后通分，进而令导函数小于0，最后求得单调递减区间.【解答过程】函数fx=12x令f′x=x2−1x<0，2．已知函数fx=lnx−x−a2a∈RA．12,+∞B．12,+∞【解题思路】分析可知，存在x∈1,+∞，使得f′x>0，由参变量分离法可得a>x−12x【解答过程】因为fx=ln因为函数fx在区间1,+∞上存在单调递增区间，则存在x∈1,+即1x−2x+2a>0，可得a>x−1因为函数y=x、y=−12x在1,+∞上均为增函数，则函数g当x≥1时，gxmin=g3．已知函数f(x)=1(1)若f(x)的单调递减区间为−23,1(2)若函数y=f(x)在[2，3]单调递减，求实数【解题思路】（1）求出函数的导数，根据f(x)的单调递减区间为−23,1，可得−（2）由函数y=f(x)在[2，3]单调递减，可得f′(x)≤0在[2，【解答过程】（1）由题意得f′因为f(x)的单调递减区间为−23,1，即f故−23,1是(x−1)(x+a+1)=0当a=−13时，f′(x)=(x−1)(x+2等号仅在x=−23,1时取得，即f(x)的单调递减区间为−（2）函数y=f(x)在[2，3]单调递减，即f′即(x−1)(x+a+1)≤0在[2，3]上恒成立，此时即a≤−x−1在[2，3]上恒成立，而(−x−1)min经验证当a=−4时,f′(x)≤0即等号仅在x=3,1时取得，此时函数y=f(x)在[2，3]单调递减，符合题意，故4．已知函数fx=x(1)当c=3时，求函数fx在点1,f(2)求函数fx(3)设函数gx=fx−x3【解题思路】（1）将c=3代入函数中求导，求斜率，然后利用点斜式写出切线方程即可；（2）对函数求导，列表分析即可；（3）先写出函数gx【解答过程】（1）当c=3时，则fx=x所以f′1=0，又所以此时切线方程为y−2=0×x−1（2）因为fx=xx−−−11,+f+0−0+f递增有极大值递减有极小值递增所以fx的单调递增区间是−∞,−13和（3）函数gx有g′设hx=−x2−3x+c−1等价于hx=−x2−3x+c−1≥0在x∈所以问题转化为只要h2≥0即可，即实数c的取值范围11,+∞题型8题型8利用导数求函数的极值1．已知函数fx=1(1)当a=1时，求函数fx(2)若函数fx在区间1,+∞上单调递增，求实数【解题思路】（1）先求函数fx（2）由条件可知f′x≥0【解答过程】（1）函数fx的定义域为0,+∞，当a=1时，求导得f′x=x−1−2x，整理得：f′x当0<x<2时，f′x<0，函数f当x>2时，f′x>0，函数f所以当x=2时，函数fx取极小值，极小值为f2=−2（2）由已知x∈1,+∞时，f′即a≤x−2x恒成立，则a≤x−由g′x=1+2x2>0经检验知，当a=−1时，函数fx不是常函数，所以a的取值范围是−2．已知函数fx=13x3+(1)求a的值；(2)求函数fx【解题思路】（1）由导数几何意义，求出a的值；（2）由求极值的步骤，求出极大值和极小值.【解答过程】（1）由fx=1因为曲线y=fx在点1,f1处的切线平行于直线y=0，即所以12+2×1+a=0，解得（2）由（1）知fx=1令f′x=x+3x−1令f′x=故fx的单调递增区间是−∞,−3和1,+由极值的定义知极大值为f−3极小值为f1题型9题型9利用导数求函数的最值1．已知函数fx=2f′1A．2ln2−2B．2ln2+2【解题思路】求导，令x=1求得f′【解答过程】函数fxd的定义域为0,+∞，由fx=2f′1lnx−1x，得f′x=2f′1x+1x2，则f2．若函数fx=ax+lnx−aA．0B．1C．2D．3【解题思路】先利用导数确定函数f(x)的单调性，从而确定g(a)，然后再利用导数确定g(a)的最大值.【解答过程】因为fx=ax+lnx−a当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在定义域上单调递增，不满足题意；当a>0时，令f′(x)<0得0<x<a，此时f(x)单调递减，令f′(x)>0得x>a，此时f(x)单调递增，所以当x=a时，f(x)取得最小值，即g(a)=f(a)=1+lna−a，g′(a)=1a−1=1−aa，令g′(a)>03．设函数fx(1)求f(x)的单调区间;(2)求函数g(x)=f(x)−2x在区间12【解题思路】（1）用导数的正负求单调区间即可；（2）求导，判断单调性，再求最值即可.【解答过程】（1）由题意可得f′x=x−令f′x>0，即x故f(x)的单调递增区间为1,+∞，递减区间为0,1（2）因为g(x)=f(x)−2x=1故g′x=x−令g′x>0故gx在0,1+2单调递减，在故最小值为g1+又因为g1g3=1第五章一元函数的导数及其应用全章综合测试卷（基础篇）1．下列求导正确的是（

）A．sinx−sinπC．log2x′【解题思路】根据基本函数的求导公式，及导数的运算法则和复合函数的求导法则，进行运算即可判断选项.【解答过程】对于A，sinx−对于B，根据复合函数的求导法则，2x+12对于C，log2x′故选：C.2．在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度(单位：m）是ht=−4.9t2+6.5t+10，则运动员在A．−3.3m/s B．−8.2m/s【解题思路】根据瞬时速度的定义直接求解即可．【解答过程】运动员在t=1s时的瞬时速度即为h′1根据导数的定义，ΔyΔt=h1+Δt−h3．若函数f(x)=(x+1)lnx−ax在0,+∞具有单调性，则aA．2,+∞ B．2,+∞ C．−∞【解题思路】根据导数与函数的单调性的关系进行求解即可.【解答过程】由f(x)=(x+1)ln当函数f(x)=(x+1)lnx−ax在f′x≥0恒成立，得a≤当x>1时，g′x>0,gx单调递增，当0<x<1时，因此有a≤2，当函数f(x)=(x+1)lnx−ax在f′x≤0恒成立，得a≥当x>1时，g′x>0,gx单调递增，当0<x<1时，显然无论a取何实数，不等式f′x≤0不能恒成立，综上所述，a的取值范围是4．已知函数fx的定义域是−5,5，其导函数为f′x，且fx+xA．2,+∞ B．2,6 C．−4,6 D．【解题思路】构造函数gx【解答过程】由题意，在函数fx中，x∈−5,5，导函数为f′x，fx+xf′x>2，设gx不等式2x−3f2x−3f2x−3−2则−5<2x−3<5−5<x−1<52x−3>x−1解得：5．已知函数f(x)=x3−x+1A．f(x)有一个极值点B．f(x)有两个零点C．点（0，1）是曲线y=f(x)的对称中心D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线【解题思路】利用极值点的定义可判断A，结合f(x)的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【解答过程】由题，f′x=3x2−1，令f′x>0所以f(x)在(−∞,−33)，(因f(−33)=1+239>0，f(33)=1−239>0，f−2令h(x)=x3−x，该函数的定义域为R，h−x=−x3−−x=−x3+x=−hx，则令f′x=3x2−1=2，可得x=±1，又f(1)=f−1=1，当切点为6．已知直线3x+y=b是函数fx=alnx+2x在点1,m【解题思路】根据导数的几何意义即可求解.【解答过程】因为fx=alnx+2因为直线3x+y=b是函数fx=aln所以f′1=a−2=−3f1=2=m7．已知fx=xlnx,gx=x3+a【解题思路】分离参数，再构造新函数，利用导数求出其最值即可求出答案.【解答过程】恒成立不等式为：2xlnx≤3x设gx=2ln令g′x>0，∵定义域为0,+∞∴3x+1>0∴fxx0,11,+f+−f↗↘∴gxmax=g1=−48．已知函数f(1)求函数的导数；(2)求函数的单调区间和极值.【解题思路】（1）根据导数的运算即可求解；（2）令f′【解答过程】（1）由题得f′（2）f(x)的定义域为R，f′令f′x=3x−4x+2=0，∴x=−2或x−−2−2,44f正0负0正f单调递增极大值点单调递减极小值点单调递增所以函数的单调递增区间为−∞,−2和4