分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时）课件-高二下学期数学人教A版选择性

计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第一课时人教A版选择性必修第三册第六章第一单元课时目标(1)能在实际计数问题中,用自己的语言解释分类加法计数原理和分步乘法计数原理,发展数学抽象素养.(2)能通过具体实例,说明分类加法计数原理与分步乘法计数原理之间的联系与区别,发展数学运算、逻辑推理等素养.(3)能根据实际问题的特征,通过对“完成一件什么事”的分析,正确选择原理解决简单的实际问题发展数学运算素养.0.创设情境，引出问题“数的方法去计数”【引例】①从数字1到20，一共用了多少个1？②连续掷一枚骰子两次，会有多少种不同的结果？（1）枚举法：{1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 、13、14、15、16、17、18、19、20}列表法树状图川A

复杂的计数问题，怎么办？“算的方法去计数”【材料】截止2023年8月底，成都机动车保有量超过北京跃居第一.2024年末，成都市机动车保有量764.0万辆，比上年末增长7.8%.按照公安部《机动车登记规定》，成都市公安局交通管理局决定于2022年4月7日用小型汽车川G发牌机关代号(新能源小汽车仍使用川A号牌).0.创设情境，引出问题1.分类加法计数原理【问题1】(1)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给学术报告厅里的座位编号,总共能够编出多少种不同的号码?(2)从成都到北京,一天中,乘坐飞机或火车或动车，飞机有4班,火车有3班,动车有5班.一天中从成都到北京有多少种不同的方法?给一个座位编号有什么要求用一个英文字母或一个阿拉伯数字有多少种完成的方法方案1：方案2：用英文字母编号用阿拉伯数字编号2610总方法数：N=

26+10=36完成一件什么事（1）完成一件什么事有什么要求(2)从成都到北京乘坐飞机或火车或动车有多少种完成的方法方案1：方案2：方案3：乘坐飞机乘坐火车乘坐动车435总方法数：N=4+3+5=12

弄明白“怎样才算完成一件事”【追问】这一类问题有何共同特征？（1）用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给学术报告厅里的座位编号,总共能够编出多少种不同的号码?（2）从成都到北京,一天中,乘坐飞机或火车或动车，飞机有4班,火车有3班,动车有5班.一天中从成都到北京有多少种不同的方法?1.都是要完成一件事；2.用任何一类方法都能直接完成这件事；3.都是采用加法运算.1.分类加法计数原理完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法;在第2类方案中有m2种不同的方法;……在第

n类方案中有mn种不同的方法;那么完成这件事共有

N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．每类方案中的方法各不相同，用任何一种方法都可以完成这件事.1.分类加法计数原理1.分类加法计数原理【例1】在填写高考志愿时，你了解到A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如果只能选一个专业，那么你共有多少种选择？A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学6+4-1=9【变式】在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，那么A大学有6个专业可以选择，B大学有4个专业可以选择，应用加法计数原理，得到能选的专业种数为6+4=10.这种算法正确吗？（只考虑专业的不同）A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学数学注：使用加法原理时，分类应做到不重不漏5+4=91.分类加法计数原理

法1：列举法:注意顺序，注意不要遗漏法2：树状图9种............9种2.分步乘法计数原理

完成一件什么事有什么要求给一个座位编号用一个英文字母和一个阿拉伯数字有多少种完成的方法第1步：第2步：用英文字母编号用阿拉伯数字编号69总方法数：N=6×9=542.分步乘法计数原理【问题2】（2）要从成都到上海，飞机有4个班次，一天后，再从上海到北京，火车有3个班次。乘这些交通工具从成都经上海到北京，共有多少种不同方法？先乘飞机从成都到上海，再乘火车到北京完成一件什么事有什么要求从成都经上海到北京有多少种完成的方法第1步：第2步：乘飞机到上海乘坐火车到北京43总的方法数：N=4×3=12成都上海北京2.分步乘法计数原理【问题2】（3）要从成都到上海，飞机有4个班次，一天后，再从上海到北京，火车有3个班次，一天后，再从北京直接回到成都，动车有5个班次。乘这些交通工具从成都经上海到北京再回到成都，共有多少种不同方法？完成一件什么事有什么要求从成都经上海到北京再回到成都先乘飞机从成都到上海，再乘火车到北京，最后乘动车回成都有多少种完成的方法第1步：第2步：第3步：乘飞机到上海乘坐火车到北京乘动车回到成都435总的方法数：N=4×3×5=602.分步乘法计数原理

1.都是要完成一件事；2.需要分成几个步骤才能完成完成这件事；3.都是采用乘法运算.2.分步乘法计数原理完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法;在第2类方案中有m2种不同的方法;……在第

n类方案中有mn种不同的方法;那么完成这件事共有

N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．每类方案中的方法各不相同，用任何一种方法都可以完成这件事.1.分类加法计数原理完成一件事需要n个步骤，在第1步有m1种不同的方法;在第2步有m2种不同的方法;……在第

n步有mn种不同的方法;那么完成这件事共有

N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．注意：无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数.各个个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.2.分步乘法计数原理2.分步乘法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点区别注意都是用来计算“完成一件事”的不同方法种数的问题类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整分类完成，类类相加分步完成，步步相乘任何一类中的任何一种方法都能独立完成这件事只有依次完成每一个步骤，才能完成这件事（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）【追问2】两个计数原理有何异同？选择使用其中一个原理而不是另一个原理的关键是什么？2.分步乘法计数原理【例1】书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书.（1）从书架上任取1本书，有多少种取法？（2）从书架的第一、二、三层各取1本书,有多少种不同的取法?

解：(1)根据分类加法计数原理可得：N＝4＋3+2＝9；(2)根据分步乘法计数原理可得：N＝4×3×2＝24.3.计数原理应用【例1】书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书.（3）从书架上任取2种不同类型的书各1本,有多少种不同的取法？注：有些较复杂的问题往往需要先“分类”，再在每一类中“分步”,综合应用分类计数原理和分步计数原理．先分类再分步第一类：1层、2层各取一本：有4×3=12种方法；第二类：1层、3层各取一本：有4×2=8种方法；第三类：2层、3层各取一本：有3×2=6种方法.N=4×3＋4×2＋3×2＝26.3.计数原理应用省、自治区直辖市简称发牌机关代号序号五位序号的编码规则：（1）由10个阿拉伯数字和除O,I之外

的24个英文字母组成；（2）最多只能有两个英文字母.川A

析：①无字母：10×10×10×10×10=100000(种)②1个字母：(24×10×10×10×10)×5=1200000(种)③2个字母：(24×24×10×10×10)×10=5760000(种)共100000+1200000+5760000=7060000(种)【情景再现】3.计数原理应用1.解答计数问题的一般思路：方法的分类过程的分步利用加法原理进行计数利用乘法原理进行计数怎样才算完成这件事弄明白完成一件什么事有什么要求审题：归纳总结2.复杂的问题“先分类、再在每一类中分步”分类要做到不重不漏.分步要做到步骤完整.即完成了所有步骤,恰好完成这件事计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第二课时人教A版选择性必修第三册第六章第一单元课时目标(1)能通过实例，说明“分类加法计数原理”与“分步乘法计数原理”的区别与联系,提升分析和解决问题的能力.(2)通过实际问题,能正确使用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决简单的计数问题.回忆：分类计数原理加法与分步乘法计数原理的异同？相同点回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题不同点分类加法计数原理分步乘法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用任何一种方法都可以做完这件事；针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．0.复习回顾1.解答计数问题的一般思路：方法的分类过程的分步利用加法原理进行计数利用乘法原理进行计数怎样才算完成这件事弄明白完成一件什么事有什么要求审题：2.复杂的问题“先分类、再在每一类中分步”分类要做到不重不漏.分步要做到步骤完整.即完成了所有步骤,恰好完成这件事0.复习回顾【例1】要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法?法三：分类加法计数原理2+2+2=6

第

1

类：甲在左(

2种方法：甲乙、甲丙)

第

2

类：乙在左(

2种方法：乙丙、乙甲)

第3类：丙在左(

2种方法：丙甲、丙乙)法四：树状图列举法法一：分步乘法计数原理3×2=6

第

1

步：选出

2

幅画(

3种：甲乙、甲丙、乙丙)

第

2

步：对

2

幅画确定左右(各

2

种挂法)法二：分步乘法计数原理3×2=6

第

1

步：选

1

幅挂左边(

3种：甲、乙、丙)

第

2

步：选

1

幅挂右边(各

2

种选择)1.两个计数原理的简单应用法1：可以分三个步骤完成：第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符．∴总的不同名称的个数是13×9×9＝1053（首字符又可以分为两类）7＋6＝1399法2:分成两类：第一类：首字符用A~G给程序命名：7×9×9＝567.第二类：首字符用U~Z给程序命名：6×9×9＝486.∴总的不同名称的个数是567＋486＝1053.【例2】给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1~9，最多可以给多少个程序命名？1.两个计数原理的简单应用【例3】P7—例6电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由８个二进制位构成，问（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？第1位第2位第3位第8位2种2种2种2种……1.两个计数原理的简单应用

完成教材P7—练习1----5；P7-4.在1，2，…，500中，被5除余2的数共有多少个？法1：分三类①一位数时：2个；②两位数时：9×2＝18个；③三位数时：4×10×2＝80个.所以满足条件的数共有100个.被5除余2的正整数的个位是2或7.法2：被5除余2的数可以表示为5k＋2(k为整数).

由1≤5k＋2≤500，解得0≤k≤99，

满足条件的k值有100个，所以满足条件的数共有100个.1.两个计数原理的简单应用

.完成教材P11—练习1----4；P11—习题6.11---7

【例4】自学教材P8—例7P11—1.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项?P11—4.任意画一条直线，在直线上任取n个分点.(1)从这n个分点中任取2个点形成一条线段，可得到多少条线段？(2)从这n个分点中任取2个点形成一个向量，可得到多少个向量？可以分三个步骤完成：第1步:从第一个括号中选一个：3种；第2步:从第二个括号中选一个：3种；第3步:从第三个括号中选一个：4种；1.两个计数原理的简单应用P12--8.(1)4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是是34还是43？[变式]4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每个运动队只选一名学生参加，不同的结果有____种.析：人选运动队，每人有3种选择，共3×3×3×3=34=81析：运动队选人，每队有4种选择，共4×4×4=43=64(2)3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同选法的种数是35还是53？析：各班选景点，每班有5种选择，共5×5×5=53=125[变式]火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有_____种.510析：乘客选车站，每人有5种选择1.两个计数原理的简单应用计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第三课时人教A版选择性必修第三册第六章第一单元1.组数问题【例1】用0,1,2,3,4五个数字，(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？[解]

(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个)．(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个)．1.组数问题【例1】用0,1,2,3,4五个数字，(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？(3)

[解]

(法1)①若个位为0，则依次确定百位、十位，共4×3=12种选法；②若个位不为0，可取2,4，再依次确定百位、十位，共2×3×3=18种选法；综上，共12+18=30个无重复数字的三位数偶数.

个位取偶数百位不为0(法2)依次确定个位、百位、十位，共3×4×3=36种选法；排除百位为0的选法共2×3=6种，综上，共36－6=30种选法.(法3)①个位为0，共4×3=12种选法；②个位为2，共3×3=9种选法；③个位为4，共3×3=9种选法；综上，共12+9+9=30种选法1.组数问题【例1】用0,1,2,3,4五个数字，(4)可以组成多少个无重复数字的四位奇数？[解](4)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去个位用过的一个还有3个，可任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字，先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36(个)．【练习】由0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数?(法1)按个位进行分类，依次确定千位、百位、十位，①个位为0：___0，共4×4×3=48种选法；②个位为2：___2，共3×4×3=36种选法；③个位为4：___4，共3×4×3=36种选法，共120个.(法2)按千位分两类(2/4或3/5)，依次确定千、个、百、十位，共2×2×4×3+2×3×4×3=48+72=120种选法.(法2)第1步：考虑千位和个位：有3×4－2=12种选择；第2步：考虑百位，有4种选择；第3步：考虑个位，有3种选择；共(3×4－2)×4×3=120(个).个位取偶数千位不取0,11.组数问题解决组合数问题的方法1．对于组数问题，一般按特殊位置（一般指末位和首位）由谁占领分类，分类中再按特殊位置（或者特殊元素）优先的方法分步完成．如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．2．解决组数问题时，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则.[提醒]数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.1.组数问题2.选(抽)取与分配问题——直接法【例2.1】现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？2.选(抽)取与分配问题——间接法【例2.2】高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有__________种.(间接法)先计算3个班级自由选择去何工厂的总数，再排除甲工厂无人去的情况，即有4×4×4－3×3×3＝37种分配方案．【变式】安排甲、乙、丙3名护士去6所医院实习，每所医院至多2人，则不同的分配方案共有________种.(间接法)先计算3名护士自由选择去何医院的总数，再排除3人到同一所医院的情况，即有6×6×6－6＝210种分配方案.【例2.3】7名学生中，3名会下象棋但不会下围棋，2名会下围棋但不会下象棋，2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选出2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有____种不同的选法.3象2围2多(法2)共3×2+2×2+3×2+2×1=18种选法.分区法(法1)第1步：选出会象棋的，有5种选择；第2步：选出会围棋的，有4种选择；共5×4=20种选法.其中同个多面手2次均被选中的情况应排除，故有20－2=18种选法排除法2.选(抽)取与分配问题——“多面手”问题2.选(抽)取与分配问题——“多面手”问题(法3)以“多面手”是否入选进行分类：①“多面手”不入选：先选会象棋的，再选会围棋的，共3×2=6种选法;②“多面手”只有1名入选：先选多面手，再选另一名，共2×2+2×3=10种选法;③“多面手”2名都入选：有2种选法.综上，共6+10+2=18种选法.【例2.3】7名学生中，3名会下象棋但不会下围棋，2名会下围棋但不会下象棋，2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选出2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有____种不同的选法.3象2围2多【变式】某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的1种乐器，其中8人会钢琴，5人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，有____种不同的选法.(排除法)先选出会钢琴的，有8种选择;再选出会小号的，有5种选择;共8×5=40种选法.排除其中同个多面手2次均被选中的情况，故有40－3=37种选法.(分区法)共5×3+3×2+5×2+3×2=37种选法.5钢2小3多多A

多A多B

多B多C多C2.选(抽)取与分配问题——“多面手”问题3.涂色/种植问题【例3.1】如图，要给标有字母A、B、C、D等的区域涂色，每格涂一色，同种颜色可用多次，但相邻区域涂不同色.(1)若图①有5种颜色可选，则不同的涂色方案有

种.析：依次涂A,B,C,D，共5×4×3×3=180种.5343CBAD图①ABCD5343ABDC5343依次涂B,C,A,D，共5×4×3×3=180种.3.涂色/种植问题【例3.2】如图，要给标有字母A、B、C、D等的区域涂色，每格涂一色，同种颜色可用多次，但相邻区域须涂不同色.(2)若图②有5种颜色可选，则不同的涂色方案有_____种；析：分步依次涂A,B,C,D,E，考虑B,D是否同色.①B,D同色：共5×4×3×1×3=180种涂法;②B,D不同色：共5×4×3×2×2=240种涂法.ABCDE543？图②3或分步依次涂C,B,A,D,E，考虑B,D是否同色.【例3.3】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点颜色不同，如果只有5种颜色可供使用，求共有多少种不同的染色方法？SDCBA涂S点涂A点涂D点涂B、C点5437N＝5×4×3×7＝420（种）3.涂色/种植问题【例3.4】将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有________种.析：依次种植5块田，使得相邻试验田种不同作物，

共3×2×2×2×2=48种种法.其中只种2种作物的情况应排除，共3×2=6种，故符合题意的种法共48－6=42种.3.涂色/种植问题课堂练习【练习1】如图，要给地图上标有字母A、B、C、D等的区域涂色，每格涂一色，同种颜色可使用多次，但相邻区域须涂不同色，若图③有5种颜色可选，则不同的涂色方案有____种；析：D的涂法取决于A,C是否同色分步依次涂A,B,C,D，考虑A,C是否同色①A,C同色：共5×4×1×4=80种涂法.②A,C不同色：共5×4×3×3=120种涂法.综上，共有80+120=200种.或分步依次涂B,A,D,C，考虑B,D是否同色.54？图③ADBC【练习2】用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有_____个.3×2×2×2－6=18个.课堂练习【练习3】给图④的5个顶点涂色，同一条线段的两个端点不能同色，有4种颜色可选，则不同的涂色方法有___种.4322(法1)分步依次涂E,A,B,C,D；E(4)→A(3)→B(2)→C(2)→D(2)共4×3×2×2×2=96种.2图④(法2)分步依次涂A,B,C,D,EA(4)→B(3)→C(与A同色?)→D(与B同色?)→E(?)分四类注：从与其有最多相邻的区域或点开始考虑.课堂练习①按相对区域/顶点/面是否同色分类②空间平面化→平面区域涂色③按A,B,C,D…顺序或从有最