2025 九年级数学下册二次函数图像与坐标轴交点计算示例课件

一、教学目标与设计思路演讲人教学目标与设计思路01知识回顾与概念关联02易错点分析与巩固练习04总结与升华05计算方法与示例解析03目录2025九年级数学下册二次函数图像与坐标轴交点计算示例课件01教学目标与设计思路教学目标与设计思路作为九年级数学教师，我始终认为，二次函数是初中数学的核心内容之一，而图像与坐标轴的交点既是理解函数图像特征的关键，也是后续学习函数与方程、不等式关系的基础。本节课的设计目标明确：通过系统讲解与示例分析，帮助学生掌握二次函数图像与x轴、y轴交点的计算方法，理解交点个数与判别式的关系，并能灵活运用知识解决实际问题。在教学逻辑上，我将遵循“知识回顾—概念关联—方法归纳—示例解析—变式训练—总结提升”的递进路径，确保学生从已有认知（一元二次方程、一次函数与坐标轴交点）自然过渡到二次函数的新问题，逐步构建完整的知识网络。02知识回顾与概念关联1前置知识梳理在正式学习二次函数与坐标轴交点前，我们需要先回顾几个关键知识点，这些内容是本节课的“地基”。（1）一元二次方程的解：对于方程(ax^2+bx+c=0\(a\neq0))，其解由求根公式(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a})给出，其中(\Delta=b^2-4ac)称为判别式。当(\Delta>0)时，方程有两个不相等的实数根；(\Delta=0)时，有两个相等的实数根；(\Delta<0)时，无实数根。1前置知识梳理（2）函数图像与坐标轴交点的定义：函数图像与x轴的交点是图像上纵坐标为0的点，即满足(y=0)的点；与y轴的交点是横坐标为0的点，即满足(x=0)的点。这一定义对所有函数（一次函数、二次函数等）均适用，只是二次函数的特殊性在于与x轴可能有0、1或2个交点。（3）一次函数与坐标轴交点的计算：以(y=kx+b)为例，与x轴交点为((-\frac{b}{k},0))（令(y=0)解方程），与y轴交点为((0,b))（令(x=0)求y）。这一过程可类比到二次函数，但需注意二次函数与x轴交点可能有多个。2二次函数与坐标轴交点的本质关联二次函数的一般式为(y=ax^2+bx+c\(a\neq0))，其图像是一条抛物线。结合函数与坐标轴交点的定义，我们可以得出：与y轴的交点：令(x=0)，则(y=c)，因此交点坐标为((0,c))。这一结论非常直接，无论二次函数的系数如何，与y轴的交点始终是((0,c))，这是二次函数的“固定特征点”。与x轴的交点：令(y=0)，则方程(ax^2+bx+c=0)的解即为交点的横坐标。因此，二次函数与x轴的交点个数由该一元二次方程的实数根个数决定，即由判别式(\Delta=b^2-4ac)决定：当(\Delta>0)时，方程有两个不同的实数根(x_1,x_2)，抛物线与x轴有两个交点((x_1,0))和((x_2,0))；2二次函数与坐标轴交点的本质关联当(\Delta=0)时，方程有一个实数根（重根）(x=-\frac{b}{2a})，抛物线与x轴有一个交点（即顶点在x轴上）；当(\Delta<0)时，方程无实数根，抛物线与x轴无交点。这一关联是本节课的核心逻辑：二次函数与x轴的交点问题本质是一元二次方程的解的问题，而判别式则是连接两者的“桥梁”。03计算方法与示例解析1与y轴交点的计算：直接代入法与y轴交点的计算非常简单，只需令(x=0)，代入二次函数解析式即可得到y值，进而确定交点坐标。示例1：求二次函数(y=2x^2-3x+5)与y轴的交点。解析：令(x=0)，则(y=2\times0^2-3\times0+5=5)，因此交点坐标为((0,5))。注意：无论二次函数的其他系数如何变化，与y轴的交点始终是((0,c))，其中c是常数项。这一结论可快速验证，例如函数(y=-x^2+4x-1)与y轴交点为((0,-1))，无需复杂计算。2与x轴交点的计算：解方程法与x轴交点的计算需分三步：（1）令(y=0)，得到一元二次方程(ax^2+bx+c=0)；（2）计算判别式(\Delta=b^2-4ac)，判断方程是否有实数根；（3）若有实数根，用求根公式或因式分解法求出根，得到交点坐标。3.2.1情况1：(\Delta>0)（两个不同交点）示例2：求二次函数(y=x^2-5x+6)与x轴的交点。解析：2与x轴交点的计算：解方程法步骤1：令(y=0)，得方程(x^2-5x+6=0)；步骤2：计算(\Delta=(-5)^2-4\times1\times6=25-24=1>0)，有两个不同实数根；步骤3：因式分解得((x-2)(x-3)=0)，解得(x_1=2)，(x_2=3)；因此，与x轴的交点为((2,0))和((3,0))。延伸思考：若将函数改为(y=2x^2-4x-6)，是否也能快速求解？2与x轴交点的计算：解方程法解析：令(y=0)，方程(2x^2-4x-6=0)可化简为(x^2-2x-3=0)，(\Delta=4+12=16>0)，因式分解得((x-3)(x+1)=0)，交点为((3,0))和((-1,0))。可见，二次项系数不为1时，可先化简方程再求解，简化计算。3.2.2情况2：(\Delta=0)（一个交点，顶点在x轴上）示例3：求二次函数(y=x^2-4x+4)与x轴的交点。解析：2与x轴交点的计算：解方程法步骤1：令(y=0)，得方程(x^2-4x+4=0)；步骤2：计算(\Delta=(-4)^2-4\times1\times4=16-16=0)，有一个实数根（重根）；步骤3：因式分解得((x-2)^2=0)，解得(x=2)（重根）；因此，与x轴的交点为((2,0))（唯一交点）。教师提示：此时抛物线的顶点坐标为((-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}))，由于(\Delta=0)，顶点纵坐标(\frac{4ac-b^2}{4a}=0)，故顶点恰好在x轴上，这是图像与x轴仅有一个交点的几何解释。2与x轴交点的计算：解方程法2.3情况3：(\Delta<0)（无交点）示例4：求二次函数(y=x^2+x+1)与x轴的交点。解析：步骤1：令(y=0)，得方程(x^2+x+1=0)；步骤2：计算(\Delta=1^2-4\times1\times1=1-4=-3<0)，无实数根；因此，该二次函数图像与x轴无交点。直观验证：我们可以通过绘制草图辅助理解。由于二次项系数(a=1>0)，抛物线开口向上，顶点纵坐标为(\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\times1\times1-1^2}{4\times1}=\frac{3}{4}>0)，顶点在x轴上方，故整个抛物线在x轴上方，无交点。3含参数的交点问题：逆向求解在实际问题中，我们还会遇到已知交点个数或坐标，求参数值的情况。这类问题需要结合判别式或方程的根与系数关系（韦达定理）解决。示例5：已知二次函数(y=x^2+(k-1)x+k)的图像与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围。解析：函数与x轴有两个不同交点，等价于对应的一元二次方程(x^2+(k-1)x+k=0)有两个不同实数根，即(\Delta>0)。计算(\Delta=(k-1)^2-4\times1\timesk=k^2-2k+1-4k=k^2-6k+1)。3含参数的交点问题：逆向求解令(\Delta>0)，即(k^2-6k+1>0)。解此不等式：方程(k^2-6k+1=0)的根为(k=\frac{6\pm\sqrt{36-4}}{2}=3\pm2\sqrt{2})，因此，当(k<3-2\sqrt{2})或(k>3+2\sqrt{2})时，(\Delta>0)，函数图像与x轴有两个不同交点。示例6：已知二次函数(y=ax^2+bx+c)与x轴的交点为((-1,0))和((3,0))，且与y轴交点为((0,-3))，求该二次函数的解析式。3含参数的交点问题：逆向求解解析：由于函数与x轴交点为((-1,0))和((3,0))，可设函数的交点式为(y=a(x+1)(x-3))（交点式的优势在于直接利用交点坐标）。又因为与y轴交点为((0,-3))，将(x=0)，(y=-3)代入得：(-3=a(0+1)(0-3))，即(-3=-3a)，解得(a=1)。因此，函数解析式为(y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3)。3含参数的交点问题：逆向求解方法总结：已知与x轴交点时，使用交点式(y=a(x-x_1)(x-x_2))可简化计算；已知与y轴交点时，直接利用(c)的值（或代入求参数）。04易错点分析与巩固练习1学生常见错误在教学实践中，学生在计算交点时容易出现以下问题，需重点提醒：（1）符号错误：代入求根公式时，忽略(-b)的符号，例如方程(x^2-5x+6=0)中，(-b=5)，但学生可能误写为(-5)。（2）判别式计算错误：忘记判别式公式(\Delta=b^2-4ac)，或计算时漏掉系数（如二次项系数为2时，误将(4ac)算成(4c)）。（3）与y轴交点的误解：部分学生错误认为与y轴交点的横坐标是函数的顶点横坐标，需强调“与y轴交点的横坐标始终为0”。（4）含参数问题的漏解：在求解参数范围时，可能忽略二次项系数(a\neq0)的条件（虽然题目中一般已明确是二次函数，但需养成检查习惯）。2分层巩固练习为帮助学生巩固知识，我设计了以下练习（难度由易到难）：基础题：求二次函数(y=-2x^2+4x+6)与y轴的交点坐标。求二次函数(y=x^2-2x-3)与x轴的交点坐标，并判断交点个数。提高题：已知二次函数(y=kx^2+2x-1)的图像与x轴有一个交点，求k的值。二次函数与x轴的交点为((1,0))和((4,0))，且经过点((0,2))，求其解析式。2分层巩固练习拓展题：若二次函数(y=ax^2+bx+c)的图像与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于C点，且(AB=2)，(OC=3)（O为坐标原点），求满足条件的一个二次函数解析式。（答案：1.((0,6))；2.交点((-1,0))和((3,0))，两个交点；3.(k=-1)；4.(y=\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{2}x+2)；5.示例(y=x^2-4x+3)或(y=-x^2+4x-3)等）05总结与升华1核心知识总结本节课围绕“二次函数图像与坐标轴交点计算”展开，核心内容可归纳为：与y轴交点：固定为((0,c))，直接令(x=0)计算。与x轴交点：令(y=0)解一元二次方程(ax^2+bx+c=0)，交点