基于“数学理解”主张的教学实践探索（一）

基于“数学理解”主张的教学实践探索在数学教育领域，数学理解一直是人们讨论的重要话题，1989年全美数学教师理事会（NationalCouncilofTeachersofMathematics，简称NCTM）明确提出“数学课程的重点应该是‘数学概念和理解’，数学教育研究者和教学设计者要将数学理解作为数学研究的首要重点”。数学教学的根本目标是学生的理解。数学教学应帮助学生形成一种正确的“数学观”—一种分析和理解的偏好、一种理解结构和结构关系的偏好、一种观察事物之适应力的偏好，教学的目的应该是培养学生的概念理解能力，而不是教给他们纯粹的机械技能。通过教学实践，学生应该学会认识数学的价值，并建构对数学的深层次的理解。①放眼我国目前的数学教学实践，在考试、解题、背记公式定理等等的压力之下，有多少学生喜爱数学、乐于在数学学习中积极地思考，又有多少学生在数学学习中真正地获益呢？因此，数学理解及其价值与意义对全体社会公民整体素养的提升与发展将产生越来越大的作用。而作为现阶段学习与数学理解的最直接、亦是最重要的中介，学校数学课程及教学无疑将首当其冲，直面社会变化的激烈挑战与现实改革的强大压力。学生只有真正理解了数学，核心素养才有可能真实地存在于课堂教学中，才能够成为学生可以直接吸收的营养。数学理解能有助于学生以新的视角去认识原有知识，在个体内部创造更为丰富的认知网络，掌握数学知识的本质，也有助于教师提升课程实施的效果。为了使数学教学有意义，教师自己需要对知识有深刻的理解，教师对课程的理解是课程实施的关键。数学教学的本质就在于如何促进学生更好地理解数学的本质。用理解的观点来看数学，可以让学生更好地把握其中蕴涵的数学思想，摆脱繁琐数学运算和数学推理的藩篱，消除学生对数学的畏惧感，感受数学的内在美和整个世界的统一美，以达到从根本上提高学生学习数学积极性之目的。一、“数学理解”教学主张的形成（一）检视课堂—观察思考阶段从教多年之后，我发现学生普遍感觉学习数学枯燥，没有兴趣，数学学习变成了学生无法脱离的苦海。如果没有高考，恐怕绝大多数学生都会放弃数学。我有一个学生，曾获得广西数学奥赛第一名，并凭此保送清华大学，他选的专业是生物科学。被保送后，他就再也不看数学书了，这让我感触颇多。究其原因，是高中数学教学过于强调形式化训练，而很少注意对所学数学知识的意义进行深层次的挖掘，很多教师只会就教材教教材，缺乏对知识的深度解读，缺乏对学科育人目标和学生自主发展的整体设计，这些问题不仅致使课堂效率低下，学生的数————————————————————————————————①AlanH.Schoenfeld，学会数学地思维:数学中的问题解决、超认知和数学意识，载:D.A.格劳斯主编，《数学教学研究手册》，上海教育出版社，1999年4月，P.364学素养更是无法获得有效提升。我深刻地认识到，原有的教学方式必须进行改革，应该创设让学生喜欢的数学课堂。从那以后，我更加关注自己的教学，借助书本理论和其他教师的教学经验不断的进行自我探索，根据教学对象、教学内容和自身的优势设计教学，努力寻找最适合自己的教学方式，深化认知，努力发展自己对教学的认识和理解。（二）学习反思—实践积累阶段随着教学实践的开展，我对教学的认识和理解也随着实践经验的积累而越发广泛和深刻，开始思考自己的教学定位。为了更好地提高教学实效，我结合自身的优势开展了课题研究。因为我对计算机辅助教学有浓厚的兴趣，从2001年开始，我先后主持了两个桂林市A类重点课题《网络环境下数学CAI模式研究》和《基于<几何画板>的数学探究教学的实证研究》。经过多年研究，交上了满意的答卷：在刊物上发表多篇研究论文，撰写了3万字的研究报告，完成了几何画板积件库和教学应用案例集，由于成果丰富，课题结题时评定等级为A等，并获得桂林市教育科研成果一等奖。课题研究给我的课堂教学带来深刻影响，将自己对教学观念上的认知付诸实践，不断在实践中进行检验，反思总结，形成了自身对教学独有的思考。2011年是我专业成长的最重要的转折点，经过学校推荐和省教育厅的遴选，我参加了“广西基础教育名师培养工程”培训。在培训中，我了解到许多教育教学领域的新成果，特别是关于新课改的相关理念和做法，通过与教育专家和同行教师的深入交流，自身的专业理论水平又有了很大的提高，对教学的理解也更为深刻。名师班三年高水平的培训学习，使我的教育观念和教学思想有了质的变化，对教育的认识也逐渐由感性上升到理性，初步形成了自己的教学观点和主张。（三）名师培养—建构深化阶段2018年4月我被遴选成为教育部“国培计划”首届中小学领航名师。作为首届中小学领航名师，以西南大学教师教育学院为依托，得到了西南大学领航基地的系统指导，不仅从教育理论提升、教育科学研究、教学能力发展等方面得到了全面的学习提升，基地还为每一位领航名师配备了学识渊博的理论导师和实践导师，可以随时随地进行沟通请教。通过多次集中研修的机会，在陈时见、宋乃庆、于波、陈婷等导师的精心指点下，“数学理解”教学主张研究取得了实质性的突破，有了明确的研究方向。在西南大学领航名师基地的指导下，2019年还成立了教育部中小学名师领航工程赵建宏名师工作室，工作室以“数学理解”为核心教育主张，致力于建设新时代高素质专业化创新形教师队伍，引领区域教师构建能够彰显知识本质和学科育人方向的数学课堂。二、“数学理解”的研究进展（一）国外相关研究国外数学理解研究分为三个阶段。第一阶段是数学理解的理论探索（20世纪30s到90s）。1976年斯根普（Skemp，R。）将理解分为工具性理解和关系性理解两种模式，随后，他的学生赫斯库维斯（Her-scovies，N.）和维纳（S.Vinner）将数学理解分为四种模式（工具性理解，关系性理解，直觉性理解和形式性理解）。1990年，皮瑞和基伦（Pirie＆Kieren）深入研究了数学理解的增长趋势和表征，建立了超回归数学理解模型，将数学理解分为八个水平，分别为原始认知、产生表象、形成表象、关注性质、形式化、观察反思、结构化和发明创造。这一阶段主要以理论思辨研究为主，教学实践研究较少，第二阶段是数学理解的教学实践研究（20世纪90s初至21世纪初）。随着数学理解理论逐渐被完善，研究者开始从教学实践角度验证、修正数学理解理论，以提高数学理解效果。根据研究内容、研究视角等的不同，数学理解的教学实践研究又可以分为教师教学方式研究、学生学习方式研究和数学理解的评价研究三个方面。研究者试图从多个角度阐述、论证什么是真正的数学理解，在实践层面上找出表面理解与真正理解、浅层理解与深层理解的区别。如美国数学课堂广泛地采用探究性教学、合作性教学等教学方式，学生主动探索和同伴合作交流受到了极大欢迎，学者们调查研究了在这些教学方式下教师扮演的角色和学生数学理解的效果。第三阶段是数学理解的横向比较研究（21世纪初至今）。人们开始关注数学理解的横向比较研究，并且主要从课堂实践的角度比较各国教师、学生在数学理解上的差异，研究方法包括观察法、访谈法、作业分析法等。美国特拉华大学蔡金法教授2017年研究了中国优秀教师的数学理解观，调查了中国优秀教师对数学理解的理解，结合数学教学案例阐述如何实现数学理解。美国学者斯蒂格勒和希尔伯特认为不同的民族有不同的文化路径（如亚洲国家与美国文化思维不同），不同国家的课例研究有助于教师理解课程、理解学生，重新审视自己的教学观，提高教学效率，实现教育目标。从上述研究历程可以发现这样一种趋势：研究视角从理论延伸到实践，从纵向延伸到横向；研究内容从理论层面关注知识本位（即数学理解的本质是什么）到实践层面关注认识本位（即教学如何促进学生数学理解）。通过不断探索，研究者们对数学理解内涵的解读由单一视角到多重视角，对数学理解模型的认识更有深度。—————————————①余瑶，张春莉.国外数学理解研究的进展与展望[J].教育学报，2018，14(1):35-44（二）国内相关研究1.数学理解的认识李士琦认为：“学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分，那么就说明是理解了。”陈琼认为：“数学理解是学习者先认识数学对象的外部表征，构建相应的心理表象，然后在建立新旧知识联系的动态过程中，打破原有的认识平衡，将数学对象的心理表象进行改造、整理、重组，重新达到新的平衡，以便抽取数学对象的本质特征及规律，从而达到对数学对象的理解。”2.数学理解的层次王光明等通过调查得出数学理解可分为三个层次，操作性理解、关系性理解和迁移性理解。①周建华将数学理解划分为直接性理解、解释性理解、推断性理解和创造性理解四个层次。②香港中文大学梁贯成将理解分为明显理解和隐含理解，前者指能明确地说出不同数学概念之间的联系，并清楚地指明与某一数学概念相关的“知识群”，后者指尽管自身已经达到了关系性理解，但却不能清楚地表述出来。③吕林海提出学生理解发展的阶段性（EFSC模型），将数学理解分为：经验性理解、形式化理解、结构化理解与文化性理解这四个发展阶段。④黄燕玲、喻平根据对数学知识的分类，认为数学理解应涵盖对陈述性知识、程序性知识及过程性知识的理解等3个方面。⑤于新华、杨之将数学理解的层次分为零层次、常识性层次、逻辑性层次、观念性层次和无尽的层次。⑥以上关于数学理解层次（水平）的划分，虽然不尽相同，均表现出一定的主观性和模糊性，但都说明数学理解是有不同程度、层次和水平的，是具有一定的量的特征的，同时具有模糊性。3.数学理解的评价陈明选和邓喆提出理解性学习评价,以理解促进人的发展,以追求学生对知识的深度理解为核心价值,以核心知识为评价载体,以学生理解水平为评价标准,创设有利于理解的学习环境，通过多元评价和贯穿始终的过程性评价促进学习者创新思维的发展。⑦徐兆洋认为理解取向的数学教学设计策略应提供表现性评价.⑧①王光明.数学教学效率研究[D].南京：南京师范大学数学与计算机科学学院，2005.②周建华.试论“理解”的层次结构[J].中学数学，1998(6):3-5.③郑毓信.数学教育:从理论到实践[M].上海:上海教育出版社,2001.④吕林海.数学理解性学习与教学研究[D].上海：华东师范大学教科院课程与教学系，2005.⑤黄燕玲,喻平.对数学理解的再认识[J].数学教育学报，2002,11(3):40-43.⑥于新华，杨之.数学理解的层次性及其教学意义[J].数学教育学报，2005,14(2):23-25.⑦陈明选,邓喆.教育信息化进程中学习评价的转型—基于理解的视角[J].电化教育研究，2015(10):12-19⑧徐兆洋.为理解而设计教学[J].现代中小学教育，2013(11):13-17吕林海指出在实践层面上对数学理解评价应当强调以下三个方面：既运用非正规评价，也运用正规评价，由于理解的形成需要较长时间，所以评价要反映理解的持续发展过程，要特别强调并关注推理的层次。①吴新静和盛群力认为教师要确定能够证明学生已经获得理解的有效证据，每个学习单元设置一定的评估标准，利用这些评估反馈了解学生的学习情况，并进一步指导自身的教学，这个阶段教师需要完成三个任务（选择合适的评估方式、设计真实的情境任务、制定评估量表）。②三、“数学理解”教学主张的理论基础（一）《普通高中数学课程标准(2020年修订版)》的相关内容和要求《课程标准》将数学定义为是研究数量关系和空间形式的一门科学。数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律。数学与人类生活和社会发展紧密关联。数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言。数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用。数学教育承载着落实立德树人根本任务、发展素质教育的功能。数学教育帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法；提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界；促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展，探寻事物变化规律，增强社会责任感；在学生形成正确人生观、价值观、世界观等方面发挥独特作用。③《课程标准》关注数学学科核心素养的培养，树立了四大课程基本理念：一是学生发展为本，立德树人，提升素养；二是优化课程结构，突出主线，精选内容；三是把握数学本质，启发思考，改进教学；四是重视过程评价，聚焦素养，提高质量。课程目标由“双基”转变为“四基”，“三能”转变为“四能”，由提高数学基本能力转变为发展数学核心素养。学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观、必备品格和关键能力。数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、—————————————①吕林海.数学理解之面面观[J].中学数学教学参考，2003(12):1-4.②吴新静，盛群力.理解为先促进设计模式—一种理解性教学设计的框架[J].当代教师教育，2017,10(2):40-46.③中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社.2020，6.数学运算和数据分析。这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体。数学核心素养具有基础性、综合性、阶段性和个体差异性。基础性是指数学核心素养对人的影响是长久的。它是从育人的高度把对学生终身发展具有奠基意义的、具有高度统摄性的数学思想、方法以及知识抽象出来所形成。从价值取向上看，它是个体适应未来优质生活和终身发展所必需的。综合性是指数学核心素养是学习者对其所拥有的数学知识、数学能力、数学态度、数学品质等的有效整合。当其内化后，在特定情境之下表现出来的综合素养，它强调三者之间的统整，而不是简单的相加。阶段性是指学生的数学核心素养在不同的发展阶段有不同层次的要求和表现。个体差异性是指不同的个体在发展过程中其数学素养不是整齐划一的，而是表现出个体的差异性。（二）斯根普对数学理解的研究斯根普则进一步提出了事物理解的两种模式：工具性理解和关系性理解。①斯根普认为，工具性理解是指一种语义理解，即符号所指代的事物是什么；或者是一种程序性理解，即一个规则所指定的每一个步骤是什么，如何操作。关系性理解则还需加上对符号意义和替代物本身结构上的认识，获得符号指代物意义的途径，以及规则本身有效性的逻辑依据等。他发现，学生在学习新的数学概念或数学公式时，由于对代表学习对象的符号形式不熟悉，往往把注意力集中于对符号本身含义的描述，而不是它的指代物的意义上，即所从事的是促进“工具性理解”形成的活动。他还指出，关系性理解本身就是一个数学学习目的，有益于学习者解决新的问题，容易记忆，有助于形成高质量的知识结构，所以更多的理解应当定位于“关系性理解”。斯根普关于理解的两种模式清楚地指出了数学理解的两个不同层面及其关系，即只有从工具性理解达到关系性理解，个体才能真正把握数学对象的本质。在斯根普看来，理解数学符号所代表的意义既是把握数学对象的本质的核心，更是数学理解所追求的目标，只有从工具性理解达到关系性理解，个体才能真正把握数学对象的本质。斯根普所提工具性理解和关系性理解在教学中同时存在，工具性理解指向结果，也为了结果；关系性理解指向过程，也是一种过程。不具发展性的教学常限于以“工具性理解”为目标，忽略培养学生的“关系性理解”，以致学生未能完全清楚地掌握数学知识。而教师之所以常常选择指向结果的工具性理解，是因为关系性理解的掌握太困难，需要花费太长时间，而选择工具性理解可以应对大多数考试。需要指出的是，两种理解是交融的，为了达成关系性理解有时需要工具性理解的支撑。—————————————①马复.试论数学理解的两种类型[J].数学教育学报,2001,10(3):50-53.（三）“超回归”数学理解模型“超回归”数学理解模型诞生于上世纪末，由英国的皮瑞和与加拿大的基伦通过反思之前数学理解之研究成果并通过大量实证研究提出，该理论模型以认知观为基础，为数学理解领域的研究打开了新的视野，主要用来探索学习过程中理解水平及其发展规律，是一套较为成熟的数学理解评价理论与模型，较全面地展示了数学理解的过程，深刻地展现了数学理解的发展层次。该模型认为，理解是一个进行中的、动态的、分水平的过程，从“分水平”的角度出发，把数学理解分为8个不同理解阶段，分别为：原始认识、产生表象、形成表象、性质认知、形式化、观察评述、构造化、发明创造。①1.初步认识(Primitiveknowing)：它是形成数学理解过程中的第一个水平。在这里，“初步的”并不是暗指水平低，而是指任何一个特定的数学理解形成的起点。大多数的教育工作者都认为这是一个人要达到理解性学习的前提条件。“初步认识”指通过一些具体的数学探究活动，或从原有的知识结构或生活体验出发，对所学习的内容有了初步的了解，例如具体的实例、粗糙的语言表述、一定的推论。2.产生表象(Imagemaking)：学习者需要凭借第一个水平对数学对象的认识，归结它的特征，制作崭新的表象来代表。3.形成表象(Imagehaving)：学习者将之前具体活动中产生的特殊表象组织起来，形成一般的表象，从而代替先前个别具体的表象，这是作为抽象的第一个水平。达到这一水平的学习者可以脱离之前的具体活动、事例，利用一般表象思考问题。4.关注性质(Propertynoticing)：在这一水平，学习者可以运用并组合数学对象的一系列表象，构造出独一无二的、与之相关的性质。具体表现为：学习者通过观察表象，发现表象间的不同点和相似点，从而创建表象间的关系，猜想、验证所学知识存在的特性或规律。教师通过提出思考性的问题，引导学生关注性质。5.形式化(Formalizing)：当学习者能通过认识前面的概念表象，概括和归纳得到有关的性质，进而构建形式化的数学对象，那么学习者就实现了“形式化”。在这期间，学习者的认知能够舍弃之前完善的表象，把数学对象变成一类进行思考。这一水平的理解可能在结构化和发明创造两个水平中再一次发生，进行再抽象。6.观察评述(Observing)：在这一水平，对数学概念、性质达到形式化的学习者能够反思并调控该过程，包括对内层水平的思维过程进行反思、对概括的知识进行思考和检验，并用自己的语言描述、掌握数学思想和方法。最后进行整理，归纳和应用。此时，学习者的思维具有一定的严密性，具体表现为能够解释之前—————————————①李淑文,张同君.“超回归”数学理解模型及其启示[J].数学教育学报,2002,11(1):21-23.的想法是正确的。7.结构化(CStructuring)：当学习者试图将前一水平整理与组织的结果(新学的知识内容)作为一种理论，或者是与学习者已有的知识之间建立联系，通过新旧知识相互作用将新知识纳入到原有的数学认知结构中时，结构化就产生了。此时，学习者需要反思所学的新知识与已有的数学知识之间是否存在联系，是否相互依赖，并利用逻辑或演绎推理的方法进行证明。8.发明创造(Inventing)：处于模型的最外层，在这一水平，学习者对数学对象有了整体的、深刻的、结构性的理解，可以互相迁移、举一反三、灵活应用了。与此同时，还有可能在此基础上，提出新的思考和新的理论。该模型明确指出了不同水平的具体表现，对8个水平进行了详尽的阐述与释义，客观地描述了数学理解过程中“回归”现象发生之原因，在这里，对“回归”现象做了细致之解释，强调8个理解水平之发展过程不是一步到位的，而是非线性的，从“回归”这一特点出发，体现了理解之反反复复之建构过程。该模型直观地描述了数学理解的过程和理解水平之间的相互关系，可以用具有一个公共切点的8个嵌套的圆来表示，一般认为，切点是知识的基点，外层包含内层，圆的半径依次增大，圆的大小表示对知识理解的广度与深度，逐步拓广。该理解模型用二维形式描述，包含着超越与回归，不是单向的发展过程，先前知识是后续知识的基础，理解总的方向是向外发展的，外层理解是内层理解的升华。知识理解的过程中，由外层返回到内层而后再到外层的理解活动过程就叫做“回归"。该模型有两点显著的特征：(1)超越性。居于内侧的理解水平包含于外侧的理解水平，并且被外侧的理解水平协调地统一起来，外侧理解水平的发展超越内侧发展水平。(2)回归性。学生无论在哪种理解水平上，当碰到一个无法理解或解决的问题时，会折回到低一级的水平上，即对无法解决的问题进行降维处理。（四）SOLO分类理论SOLO分类理论最先是由1982年澳大利亚的教育心理学家比格斯（J.B.Biggs）提出。它的理论基础是结构主义学说，它的本质是认知发展理论，它去除了皮亚杰的认知发展阶段理论中的不合理因素，并对其中的合理因素进行了发展。比格斯认为，认知的产物就是理解，为了更好地促进学生认知的发展，必