2025-2026 学年高三 数学 期中复习卷 试卷及答案

2025-2026学年高三数学期中复习卷试卷及答案2025-2026学年高三数学期中复习卷（试卷）班级：________姓名：________分数：________考试时间：120分钟一、选择题（每题5分，共40分）1.已知集合A={x|log₂(x-1)<1}，B={x|x²-4x+3≤0}，则A∩B=（）A.[1,3]B.(1,3]C.[2,3]D.(2,3]2.若复数z满足(1+i)z=2i（i为虚数单位），则z的共轭复数\(\overline{z}\)=（）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的最小正周期为π，且f(π/3)=1/2，则φ=（）A.-π/6B.π/6C.-π/3D.π/34.已知向量\(\vec{a}\)=(2,1)，\(\vec{b}\)=(1,-2)，若m\(\vec{a}\)+n\(\vec{b}\)=(0,0)（m,n∈R），则m+n=（）A.0B.1C.-1D.25.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则函数f(x)的极大值点为（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=36.已知抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于A,B两点，若|AF|=3，则|BF|=（）A.3/2B.2C.3D.47.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ²)，P(X<4)=0.8，则P(0<X<2)=（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.58.在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（）A.8πB.12πC.16πD.20π二、填空题（每题5分，共30分）1.计算：\(\int_{0}^{1}(2x+e^x)dx\)=________。2.已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₁=1，S₃=13，则公比q=________。3.已知直线l：kx-y+2k=0与圆C：x²+y²-4x-5=0相交于A,B两点，则|AB|的最小值为________。4.若x,y满足约束条件\(\begin{cases}x-y+1≥0\\x+y-3≤0\\x≥0\end{cases}\)，则z=2x+y的最大值为________。5.已知tanα=2，则sin2α+cos²α=________。6.现有4名男生和2名女生，从中任选2人参加活动，则选中的2人恰好1男1女的概率为________。三、解答题（共80分）1.（12分）已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足bcosA=(2c-a)cosB。（1）求角B的大小；（2）若b=√3，△ABC的面积为√3/2，求a+c的值。2.（12分）已知数列{aₙ}是等差数列，数列{bₙ}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₄=b₄=16。（1）求数列{aₙ}和{bₙ}的通项公式；（2）设cₙ=aₙ·bₙ，求数列{cₙ}的前n项和Tₙ。3.（12分）如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，AA₁=3，E为CC₁的中点。（1）求证：平面A₁DE⊥平面A₁AD；（2）求二面角A₁-DE-D₁的余弦值。4.（12分）已知函数f(x)=lnx-ax+1（a∈R）。（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围。5.（12分）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的离心率为√3/2，且过点P(2,1)。（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点Q(1,0)的直线l与椭圆C交于M,N两点，设直线PM,PN的斜率分别为k₁,k₂，求证：k₁+k₂为定值。6.（10分）某商场为了提高销售额，计划开展促销活动。经调查发现，该商场某商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的函数关系式为y=-2x+160（40≤x≤60）。已知该商品的进价为30元/件。（1）若该商品的日销售利润为w元，求w与x之间的函数关系式，并求当销售单价为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？（2）为了吸引顾客，商场决定在日销售利润不低于800元的前提下，尽可能降低销售单价，求此时销售单价的取值范围。2025-2026学年高三数学期中复习卷（答案）一、选择题1.B2.B3.A4.A5.A6.A7.B8.B二、填空题1.e2.3或-43.2√54.55.16.8/15三、解答题1.解：（1）由正弦定理得sinBcosA=(2sinC-sinA)cosB，整理得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosB，即sin(A+B)=2sinCcosB。∵A+B+C=π，∴sin(A+B)=sinC≠0，∴cosB=1/2，又0<B<π，∴B=π/3。（2）由△ABC的面积S=1/2acsinB=√3/2，得1/2ac×√3/2=√3/2，解得ac=2。由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得(√3)²=a²+c²-2×2×1/2，即3=a²+c²-2，∴a²+c²=5。∵(a+c)²=a²+c²+2ac=5+4=9，∴a+c=3（a,c>0）。答：（1）角B的大小为π/3；（2）a+c的值为3。2.解：（1）设等差数列{aₙ}的公差为d，则a₄=a₁+3d=2+3d=16，解得d=4，∴aₙ=2+4(n-1)=4n-2。设等比数列{bₙ}的公比为q，则b₄=b₁q³=2q³=16，解得q=2，∴bₙ=2×2ⁿ⁻¹=2ⁿ。（2）cₙ=aₙ·bₙ=(4n-2)·2ⁿ=(2n-1)·2ⁿ⁺¹，Tₙ=1×2²+3×2³+5×2⁴+…+(2n-1)·2ⁿ⁺¹，2Tₙ=1×2³+3×2⁴+…+(2n-3)·2ⁿ⁺¹+(2n-1)·2ⁿ⁺²，两式相减得：-Tₙ=4+2×(2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹)-(2n-1)·2ⁿ⁺²=4+2×[8(1-2ⁿ⁻¹)/(1-2)]-(2n-1)·2ⁿ⁺²=4+2ⁿ⁺³-16-(2n-1)·2ⁿ⁺²=-12+(3-2n)·2ⁿ⁺²，∴Tₙ=12+(2n-3)·2ⁿ⁺²。答：（1）aₙ=4n-2，bₙ=2ⁿ；（2）Tₙ=(2n-3)·2ⁿ⁺²+12。3.（1）证明：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，∴AA₁⊥DE。又AD=1，CD=2，E为CC₁中点，CC₁=3，∴CE=3/2，计算得DE=√(CD²+CE²)=√(4+9/4)=5/2，A₁D=√(AD²+AA₁²)=√(1+9)=√10，A₁E=√(A₁C₁²+C₁E²)=√(5+9/4)=√29/2。∵A₁D²+DE²=10+25/4=65/4，A₁E²=29/4，不满足勾股定理，换用坐标法：以D为原点，DA,DC,DD₁为x,y,z轴建立空间直角坐标系，D(0,0,0)，A₁(1,0,3)，E(0,2,3/2)，平面A₁AD的法向量为\(\vec{n₁}\)=(0,1,0)，平面A₁DE的法向量\(\vec{n₂}\)=\(\vec{DA₁}\)×\(\vec{DE}\)=(1,0,3)×(0,2,3/2)=(-6,-3/2,2)，∵\(\vec{n₁}\)·\(\vec{n₂}\)=0×(-6)+1×(-3/2)+0×2=-3/2≠0，修正：∵AD⊥DE（AD=1,CD=2,CE=3/2，AD⊥CD,CD⊥CE，AD∥CE，可证AD⊥DE），又AD∩AA₁=A，∴DE⊥平面A₁AD，又DE⊂平面A₁DE，∴平面A₁DE⊥平面A₁AD。（2）解：D₁(0,0,3)，\(\vec{D₁D}\)=(0,0,-3)，\(\vec{D₁E}\)=(0,2,-3/2)，设平面D₁DE的法向量\(\vec{n₃}\)=(x,y,z)，则\(\vec{n₃}\)·\(\vec{D₁D}\)=0，\(\vec{n₃}\)·\(\vec{D₁E}\)=0，得z=0，2y=0，取\(\vec{n₃}\)=(1,0,0)，平面A₁DE的法向量\(\vec{n₂}\)=(-6,-3/2,2)，则cosθ=|\(\vec{n₂}\)·\(\vec{n₃}\)|/(|\(\vec{n₂}\)|·|\(\vec{n₃}\)|)=|-6|/(√(36+9/4+4)×1)=6/(√(169/4))=12/13，∴二面角A₁-DE-D₁的余弦值为12/13。答：（1）略；（2）12/13。4.解：（1）函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f’(x)=1/x-a=(1-ax)/x。当a≤0时，f’(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，令f’(x)>0，得0<x<1/a；令f’(x)<0，得x>1/a，∴f(x)在(0,1/a)上单调递增，在(1/a,+∞)上单调递减。（2）当a≤0时，f(x)单调递增，最多一个零点，不符合题意；当a>0时，f(x)的最大值为f(1/a)=ln(1/a)-a×(1/a)+1=-lna。要使f(x)有两个零点，需f(1/a)>0，即-lna>0，解得0<a<1。又f(1/e)=-1-a/e+1=-a/e<0，f(1/a²)=ln(1/a²)-a×(1/a²)+1=-2lna-1/a+1，当0<a<1时，-2lna>0，-1/a+1<0，但可证f(1/a²)<0，故存在两个零点。∴实数a的取值范围是(0,1)。答：（1）a≤0时单调递增；a>0时，(0,1/a)递增，(1/a,+∞)递减；（2）(0,1)。5.解：（1）由离心率e=c/a=√3/2，得c=√3a/2，又b²=a²-c²=a²/4，椭圆过点P(2,1)，则4/a²+1/(a²/4)=1，即4/a²+4/a²=1，解得a²=8，b²=2，∴椭圆C的标准方程为x²/8+y²/2=1。（2）当直线l斜率不存在时，l：x=1，代入椭圆得y=±√(14)/4，设M(1,√14/4)，N(1,-√14/4)，k₁+k₂=(√14/4-1)/(1-2)+(-√14/4-1)/(1-2)=(1-√14/4)+(1+√14/4)=2。当直线l斜率存在时，设l：y=k(x-1)，M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂)，联立椭圆方程得x²+4k²(x-1)²=8，整理得(1+4k²)x²-8k²x+4k²-8=0，x₁+x₂=8k²/(1+4k²)，x₁x₂=(4k²-8)/(1+4k²)，k₁+k₂=(y₁-1)/(x₁-2)+(y₂-1)/(x₂-2)=[k(x₁-1)-1]/(x₁-2)+[k(x₂-1)-1]/(x₂-2)=[kx₁-(k+1)]/(x₁-2)+[kx₂-(k+1)]/(x₂-2)=(kx₁-k-1)(x₂-2)+(kx₂-k-1)(x₁-2)/[(x₁-2)(x₂-2)]分子展开：2kx₁x₂-(3k+1)(x₁+x₂)+4(k+1)=2k×(4k²-8)/(1+4k²)-(3k+1)×8k²/(1+4k²)+4(k+1)=[8k³-16k-24k³-8k²+4(k+1)(1+4k²)]/(1+4k²)=[-16k³-8k²-16k+4+16k³+4k+16k²]/(1+4k²)=(8k²-12k+4)/(1+4k²)=4(2