2025-2026 学年九年级 数学 期末冲刺卷 试卷及答案

2025-2026学年九年级数学期末冲刺卷试卷及答案第一部分试卷考试时间：120分钟满分：120分亲爱的同学，九年级的数学学习已接近尾声，这份试卷将全面考查你对初中阶段核心数学知识的掌握、综合应用及逻辑推理能力。请认真审题、规范解题、仔细验算，充分展现你的学习成果！一、选择题（每题3分，共30分）1.下列函数中，是二次函数的是（）A.y=2x+1B.y=\(\frac{2}{x}\)C.y=x²-2x+3D.y=\(\sqrt{x²+1}\)2.若关于x的一元二次方程x²-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k＜1B.k＞1C.k≤1D.k≥13.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P与⊙O的位置关系是（）A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.无法确定4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.平行四边形C.矩形D.等腰梯形5.二次函数y=(x-2)²+3的顶点坐标是（）A.(2，3)B.(-2，3)C.(2，-3)D.(-2，-3)6.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，则△ADE与△ABC的相似比为（）A.2:3B.2:5C.3:5D.4:257.若反比例函数y=\(\frac{k}{x}\)（k≠0）的图象经过点(2，-3)，则k的值为（）A.6B.-6C.\(\frac{3}{2}\)D.-\(\frac{3}{2}\)8.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（）A.15πB.24πC.30πD.39π9.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.75°10.已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①a＜0；②b＞0；③c＞0；④b²-4ac＞0，其中正确的是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④二、填空题（每空3分，共15分）11.方程x²-4x=0的解是。12.若tanα=\(\frac{3}{4}\)（α为锐角），则sinα=。13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，r为半径作圆，若⊙C与AB相切，则r的值为。14.已知点A(1，y₁)、B(2，y₂)、C(-3，y₃)都在反比例函数y=\(\frac{6}{x}\)的图象上，则y₁、y₂、y₃的大小关系是。15.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是OC上一点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，AF与BD相交于点G，则下列结论：①△AOG≌△BOE；②AE=BG；③S△AOE=S△BOG；④∠FAG=∠ABE，其中正确结论的序号是。三、解答题（共75分）16.（8分）计算：（1）2sin60°+\(\sqrt{12}\)-(π-3.14)⁰+|1-\(\sqrt{3}\)|（2）(x-2)²-x(x-3)17.（8分）解下列方程：（1）x²-5x+6=0（2）2x²-4x-1=018.（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，连接OD、AD。（1）求证：AD⊥BC；（2）若∠B=60°，AB=8，求DE的长。19.（9分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利多少元？20.（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=\(\frac{m}{x}\)（m≠0）的图象交于A(2，3)、B(-3，n)两点。（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积。21.（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E，且DE=DC。（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A=30°，AD=2，求BC的长。22.（11分）如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)。（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数的顶点为D，求△BCD的面积；（3）若点P是该二次函数图象上的一点，且S△PAB=2S△ABC，求点P的坐标。23.（11分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A。（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AD=9，求CD的长；（3）在（2）的条件下，求tan∠A的值。第二部分答案一、选择题（每题3分，共30分）1.C2.A3.A4.C5.A6.B7.B8.A9.C10.C二、填空题（每空3分，共15分）11.x₁=0，x₂=412.\(\frac{3}{5}\)13.\(\frac{12}{5}\)14.y₃＜y₂＜y₁15.①②③④三、解答题（共75分）16.（8分）计算：（1）解：2sin60°+\(\sqrt{12}\)-(π-3.14)⁰+|1-\(\sqrt{3}\)|＝2×\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)+2\(\sqrt{3}\)-1+\(\sqrt{3}\)-1＝\(\sqrt{3}\)+2\(\sqrt{3}\)+\(\sqrt{3}\)-1-1＝4\(\sqrt{3}\)-2（2）解：(x-2)²-x(x-3)＝x²-4x+4-x²+3x＝-x+4（评分标准：每小题4分，步骤正确3分，结果正确1分）17.（8分）解下列方程：（1）解：x²-5x+6=0因式分解得：(x-2)(x-3)=0则x-2=0或x-3=0解得：x₁=2，x₂=3（2）解：2x²-4x-1=0∵a=2，b=-4，c=-1∴Δ=b²-4ac=(-4)²-4×2×(-1)=16+8=24＞0∴x=\(\frac{4±\sqrt{24}}{2×2}\)=\(\frac{4±2\sqrt{6}}{4}\)=\(\frac{2±\sqrt{6}}{2}\)即x₁=\(\frac{2+\sqrt{6}}{2}\)，x₂=\(\frac{2-\sqrt{6}}{2}\)（评分标准：每小题4分，解法正确3分，结果正确1分）18.（9分）（1）证明：∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）∴AD⊥BC（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC∴BD=DC（等腰三角形三线合一）∵OA=OB∴OD是△ABC的中位线∴OD∥AC∵∠B=60°，AB=AC∴△ABC是等边三角形∴∠BAC=60°∵AB=8，∴AE=\(\frac{1}{2}\)AB=4（等边三角形的性质）∵OD∥AC，OA=OB=4∴DE=AE=4（评分标准：第（1）问3分，第（2）问6分，步骤正确4分，结果正确2分）19.（9分）解：（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意得：(40-x)(20+2x)=1200展开得：800+80x-20x-2x²=1200整理得：x²-30x+200=0因式分解得：(x-10)(x-20)=0解得：x₁=10，x₂=20∵要尽快减少库存，∴x=20答：每件衬衫应降价20元。（2）设商场平均每天盈利y元，根据题意得：y=(40-x)(20+2x)=-2x²+60x+800=-2(x-15)²+1250∵-2＜0，∴当x=15时，y有最大值，最大值为1250答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最多盈利1250元。（评分标准：第（1）问4分，第（2）问5分，列式正确3分，求解正确2分）20.（9分）解：（1）∵反比例函数y=\(\frac{m}{x}\)的图象经过点A(2，3)∴m=2×3=6，∴反比例函数解析式为y=\(\frac{6}{x}\)∵点B(-3，n)在反比例函数图象上，∴n=\(\frac{6}{-3}\)=-2，∴B(-3，-2)将A(2，3)、B(-3，-2)代入一次函数y=kx+b得：\(\begin{cases}2k+b=3\\-3k+b=-2\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}k=1\\b=1\end{cases}\)∴一次函数解析式为y=x+1（2）设一次函数y=x+1与y轴交于点C，则C(0，1)∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=\(\frac{1}{2}\)×1×2+\(\frac{1}{2}\)×1×3=1+1.5=2.5（或\(\frac{5}{2}\)）（评分标准：第（1）问5分，第（2）问4分，步骤正确3分，结果正确1分）21.（10分）（1）证明：∵∠C=90°，DE⊥AB∴∠C=∠DEB=90°又∵DE=DC，BD=BD∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）∴∠CBD=∠EBD，即BD平分∠ABC（2）解：∵∠A=30°，DE⊥AB∴AD=2DE（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）∵AD=2，∴DE=1，∴DC=DE=1∴AC=AD+DC=3在Rt△ABC中，∠A=30°∴BC=AC×tan30°=3×\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)=\(\sqrt{3}\)（评分标准：第（1）问4分，第（2）问6分，步骤正确4分，结果正确2分）22.（11分）解：（1）设二次函数解析式为y=a(x+1)(x-3)，将C(0，3)代入得：3=a(0+1)(0-3)，解得a=-1∴二次函数解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x²+2x+3（2）∵y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4，∴顶点D(1，4)过D作DE⊥x轴于E，则E(1，0)S△BCD=S梯形OCDE+S△DEB-S△OBC＝\(\frac{1}{2}\)×(3+4)×1+\(\frac{1}{2}\)×(3-1)×4-\(\frac{1}{2}\)×3×3＝3.5+4-4.5=3（3）∵S△ABC=\(\frac{1}{2}\)×(3+1)×3=6，∴S△PAB=2×6=12设P(x，-x²+2x+3)，则S△PAB=\(\frac{1}{2}\)×(3+1)×|-x²+2x+3|=12即|-x²+2x+3|=6当-x²+2x+3=6时，x²-2x+3=0，Δ＜0，无解；当-x²+2x+3=-6时，x²-2x-9=0，解得x=1±\(\sqrt{10}\)∴P(1+\(\sqrt{10}\)，-6)或(1-\(\sqrt{10}\)，-6)（评分标准：第（1）问3分，第（2）问4分，第（3）问4分）23.（11分）（1）证明：连接OC∵OA=OC，∴∠A=∠OCA∵∠BCD=∠A，∴∠BCD=∠OCA∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCA+∠OCB=90°∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线（2）解：∵⊙O半径为3，∴OA=OC=3，OD=AD-OA=9-3=6在Rt△OCD中，CD=\(\sqrt{OD²-OC²}\)=\(\sqrt{6²-3²}\)=3\(\sqrt{3}\)（3）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A