2025年北京八中高二（上）期末数学试题和答案

高中2025北京八中高二（上）期末数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.在的展开式中，的系数为（）．A. B.5 C. D.102.若直线l的方向向量是则直线l的倾斜角是（）A. B. C. D.3.设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（）A.2 B. C.3 D.4.和是两个等差数列，其中（）为一固定常数值，，，，则（）A.32 B.48 C.64 D.1285.已知数列满足，且，则（）A. B. C. D.26.椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（）A. B. C. D.7.已知椭圆和双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（）A.， B.， C.， D.，8.已知等比数列的公比为q且，记、则“且”是“为递增数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.10.如图所示，是双曲线的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点.若，则双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.若，则__________.12.当点到直线的距离最大值时，的值为__________．13.已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式___________.14.等差数列的前项和为，，，则__________15.斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，（，）.给出下列四个结论：①存在，使得，，成等差数列；②存在，使得，，成等比数列；③存在常数t，使得对任意，都有，，成等差数列；④不存在正整数，，…，，且，使得.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题（共6题，满分85分）16.在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标和，制成下图，其中“”表示甲村贫困户，“”表示乙村贫困户.若，则认定该户为“绝对贫困户”，若，则认定该户为“相对贫困户”，若，则认定该户为“低收入户”；若，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”.（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用表示所选3户中乙村的户数，求的分布列和数学期望；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标的方差的大小（只需写出结论）.17.如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．（1）求证：为的中点；（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．18.知椭圆E：的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为（1）求椭圆E的方程；（2）如图，下顶点为A，过点作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H，求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.19.地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.明年冬小麦统一收购价格（单位：元）概率表1假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.（1）试估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率；（2）设地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元，求的分布列和数学期望；（3）地区农科所研究发现，若每亩多投入元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.20.已知焦点在y轴上的椭圆C：（）过点，且离心率为.设分别为椭圆的下顶点和上顶点，为椭圆上异于的一点，直线分别与直线：相交于两点，且直线与椭圆交于另一点.（1）求椭圆的标准方程；（2）判断三点是否共线，并证明你的结论.21.已知集合．对集合A中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）．（1）若，求和；（2）若满足且，求的所有可能结果；（3）是否存在正整数n使得对任意都有？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.【答案】C【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.【详解】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：.故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2.【答案】C【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解【详解】由直线l的方向向量是得直线的斜率为，设直线的倾斜角是，故选：C.3.【答案】B【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以.故选：B4.【答案】D【分析】由已知条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值.【详解】由已知条件可得，，则，根据等差中项的性质，，所以.故选：D.5.【答案】D【分析】数列满足，，可得，利用周期性即可得出．【详解】数列满足，，可得，，，，，数列的周期为3．．故选：D.【点睛】本题考查了数列的递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】[方法一]：设而不求设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率，故选A.7.【答案】C【分析】求得椭圆的离心率，双曲线的离心率为，运用离心率公式，解方程可得，再由双曲线的渐近线方程，结合直线的斜率和倾斜角关系可得所求角.【详解】设椭圆的离心率为，则，双曲线的离心率为，由题意可得，解得，故双曲线的渐近线方程为，可得渐近线的倾斜角分别为，，故选：C【点睛】双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.8.【答案】B【分析】由等比数列及已知，要为递增数列只需在上恒成立，讨论、、，结合的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.【详解】由题设且n≥2，要为递增数列，只需在上恒成立，当，不论取何值，总存在，不满足要求；当，，则，不满足要求；，总存在，不满足要求；当，，则，不满足；，若，，显然，即，不满足；，则在上恒成立，满足.所以为递增数列有且.综上，“且”是“为递增数列”的必要不充分条件.故选：B9.【答案】B【分析】求出的轨迹方程，利用两圆相交或相切的位置关系，即可求出的取值范围.【详解】设，，，即，圆上存在点，使得，所以两圆相交或相切，，即，.故选：B.10.【答案】C【分析】不妨令，利用勾股定理可得，根据双曲线的定义可求出，在中，利用勾股定理求出，即可求出，再根据双曲线的离心率公式即可得解.【详解】，不妨令，又由双曲线的定义得，，，在中，，又.故选：C.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.【答案】【分析】利用赋值法令可计算得出，再应用二项式展开式通项公式计算可得即可求解.【详解】因为，令，即可得，因为展开式中代表系数，所以的展开式中含有一次项，可得，得，所以.故答案为：.12.【答案】【详解】直线可化为，由点斜式方程可知直线恒过定点，且斜率为，结合图象可知当与直线垂直时，点到直线距离最大，此时，，解得：．13.【答案】（答案不唯一）【分析】根据条件得到数列的性质,按性质写出一个数列即可.【详解】∵，∴数列时一个增数列；∵，∴∴故答案为：（答案不唯一）14.【答案】【分析】由题意求出数列的首项和公差，继而求得数列的前项和公式，将的表达式进行裂项，再求即得.【详解】设等差数列的首项为，公差为，由题意有：，解得，数列的前n项和，则有：，故有.故答案为：.15.【答案】①③【分析】由第2、3、4项可判断①；观察各项的奇偶可判断②；利用递推关系得可判断③；写出斐波那契数列直接观察可判断④.【详解】对于①，由题意得，故成等差数列，故①正确，对于②，由递推公式可知，，中有两个奇数，1个偶数，不可能成等比数列，故②错误，对于③，，故当时，对任意，，，成等差数列；故③正确，对于④，依次写出数列中的项为，可得，故④不正确.故答案为：①③.三、解答题（共6题，满分85分）16.【答案】（1）0.1；（2）见解析；（3）这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差.【详解】试题分析：（1）处于100以下“”图标共5个，由古典概型可求．（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，，的可能值为0，1，2，3.写出超几何分布列．（3）数据越集中方差越小，数据越分散方差越大，显然乙村更集中．试题解析：（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，的可能值为0，1，2，3.从而，，，.所以的分布列为：故的数学期望.（3）这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差.【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对数据的一种简明描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义.平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，方差和标准差描述数据的波动大小.17.【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】(1)首先将平面进行扩展，然后结合所得的平面与直线的交点即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数的值.【详解】(1)如图所示，取的中点，连结，由于为正方体，为中点，故，从而四点共面，即平面CDE即平面，据此可得：直线交平面于点，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合，即点为中点.(2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，设，则：，从而：，设平面的法向量为：，则：，令可得：，设平面的法向量为：，则：，令可得：，从而：，则：，整理可得：，故（舍去）.【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18.【答案】（1）（2）证明见解析，【分析】（1）根据题意过且斜率为的直线设出来，令直线方程里的求出的值，把此点代入椭圆方程，再根据的关系求解.（2）把直线方程设出来，与椭圆联立得到关于的一元二次方程，韦达定理求出用来表示，然后把方程用表示出来，令方程里的，求出点的坐标，把三角形的面积用表示，同理的面积也用表示出来，所以用，表示，然后根据韦达定理代入化简可得.【小问1详解】过且斜率为的直线的方程为，令，得，由题意可得，解得，椭圆E的方程为：；【小问2详解】由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC：，，，联立，得，，由，得，，，直线AD的方程为，令，解得，则，同理可得，【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.【答案】（1）（2）分布列答案见解析，（3）建议农科所推广该项技术改良，理由见解析【分析】（1）计算出亩产量是的概率，结合表1以及独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；（3）设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则，设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，计算出增产的会产生增加的收益，与比较大小后可得出结论.【小问1详解】解：由图可知，亩产量是的概率约为，亩产量是的概率约为，亩产量是的概率约为，估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率为【小问2详解】解：由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、、，，，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：.【小问3详解】解：建议农科所推广该项技术改良，设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则，设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，分析可知，所以，增产的会产生增加的收益为，故建议农科所推广该项技术改良.20.【答案】（1）（2）共线，证明见解析【分析】（1）根据已知条列出有关的方程组，求出的值，可得椭圆的标准方程；（2）设