2025年北京昌平区高二（上）期末数学试题和答案

高中2025北京昌平高二（上）期末数学2025.1本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡收回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知，，若，则（A）（B）（C）（D）（2）已知直线，则直线的倾斜角的正切值为（A）（B）（C）（D）（3）在的展开式中，的系数为（A）（B）（C）（D）（4）以，为直径的两个端点的圆的方程为（A）（B）（C）（D）（5）已知四面体中，设，，，为的中点，为的中点，则用向量可表示为（A）（B）（C）（D）（6）曲线与曲线（）的（A）长轴长相等（B）短轴长相等（C）焦距相等（D）离心率相等（7）有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有（A）种（B）种（C）种（D）种（8）“”是“坐标原点在圆的外部”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（9）在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”.若底面是边长为的正方形，，且，和是等腰三角形，，则该刍甍的高（即点到底面的距离）为

（A）（B）（C）（D）（10）已知集合，对于实数，集合且满足,则（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。(11)已知直线与直线垂直，则实数的值为.(12)已知双曲线，则其渐近线方程为；过的右焦点作圆的切线，切点为,则_______．(13)在正方体中,直线与所成角的大小为.(14)已知抛物线的焦点为，准线为.则焦点到准线的距离为；若点在抛物线上，过点作准线的垂线，垂足为，，则的最小值为.（15）已知曲线.关于曲线的几何性质，给出下列四个结论：①曲线关于原点对称；②曲线围成的区域（不含边界）内恰好有8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；③曲线围成区域的面积大于8；=4\*GB3④曲线上任意一点到原点的距离都不小于．其中正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（16）（本小题13分）已知的三个顶点的坐标分别为，，．（Ⅰ）设为的中点，求直线的方程；（Ⅱ）求的面积．(17)（本小题13分）设，求：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

(18)（本小题14分）如图，在棱长为的正方体中，为的中点,与平面交于点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求点到平面的距离.(19)（本小题15分）已知圆.（Ⅰ）过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；（Ⅱ）判断直线与圆的位置关系，并说明理由.(20)（本小题15分）如图，在四棱柱中，侧面是边长为的正方形，平面平面,，，为的中点，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.条件①：；条件②：.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值；（Ⅲ）已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

(21)（本小题15分）已知椭圆的短轴长为，是的右焦点，是的下顶点，且.过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为.（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；（Ⅱ）判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由. （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)题号12345678910答案DCADACCBBA二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12）（13）（14）（15）=1\*GB3①=3\*GB3③=4\*GB3④（第12、14题：第一空3分，第二空2分；第15题:答对一个给2分，答对两个给3分，全对给5分，不选或有错选得0分.）三、解答题(本大题共6小题，共85分)（16）（共13分）解：（Ⅰ）的中点的坐标为.........2分所以直线的斜率.........4分所以直线的方程为，即.........6分（Ⅱ）法一：因为，........7分所以直线的方程为，即.........9分所以点到直线的距离.........11分因为，........12分所以.........13分法二:因为,,........8分所以.所以.........10分因为，，.......12分所以.........13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）在展开式中，令，得：.=1\*GB3①......1分同理，令，得：.=2\*GB3②......3分由=2\*GB3②=1\*GB3①得：.......5分（Ⅱ）令，得：.=3\*GB3③......7分由=2\*GB3②=3\*GB3③得：，......8分所以......10分（Ⅲ）令，得：...13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）法一：在正方体中，因为平面平面,........2分平面平面,平面平面，所以.........4分法二：在正方体中，因为平面平面,平面，所以平面.........2分又因为平面，平面平面,所以.........4分（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系.则........5分，，，，.所以，，........6分设平面的法向量，则即.......7分令，则.所以........8分设直线与平面所成角为，所以.........10分所以直线与平面所成角的正弦值为.（Ⅲ）因为,........11分所以.所以点到平面的距离为.........14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由圆可得，圆心，半径.....1分当直线的斜率不存在时，直线的方程为.圆心到直线的距离为，此时符合题意.....3分当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.....4分圆心到直线的距离为.....5分因为，....6分所以.所以.所以.....7分所以直线的方程为，即.....8分综上，所求直线的方程为，或.（Ⅱ）法一：因为直线过定点，........10分又因为，所以点在圆内.........14分所以直线与圆相交........15分法二：圆心到直线的距离.........10分因为，所以.所以.........14分所以直线与圆相交........15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）选择条件=1\*GB3①：.因为侧面为正方形，所以........1分又因为平面平面，平面平面,平面，所以平面........2分因为平面，所以........3分又因为，，所以平面........4分所以........5分选择条件②:.连接.因为侧面为正方形，所以........1分又因为平面平面，平面平面,平面，所以平面........2分所以........3分所以.因为，所以.所以........4分因为，所以........5分（Ⅱ）因为平面，，所以两两垂直.如图，建立空间直角坐标系，则.......6分,,,,,,.所以,........7分设平面的法向量，则即令，则.所以........8分因为平面的法向量，设平面与平面的夹角为，则.所以平面与平面夹角的余弦值为........10分（Ⅲ）法一：设，.所以.所以.所以.所以........11分因为,,设平面的法向量，则即令，则.所以........12分设直线与平面所成角为，则........13分解得，或........14分所以，或........15分法二：设，则.........11分因为,,设平面的法向量，则即令，则.所以........12分设直线与平面所成角为，则........13分解得，或........14分所以，或........15分(21)（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得：解得.......3分所以椭圆的方程为.离心率为........5分（Ⅱ）法一：由题意可知，直线的斜率存在且不为零.又因为,所以.因为，所以直线的方程为，直线的方程为........7分由可得........8分设，则.所以........9分同理可得：........10分因为，所以直线的方程为，即........11分所以直线过定点........12分当