期末真题百练通关（60题17大压轴题型）（期末专项练习）（原卷版）-沪科版(2024)八上

期末真题百练通关（60题17大压轴题型）选填小压轴解答压轴题型1坐标系中的规律探究问题题型10一次函数实际应用的方案分配问题题型2从函数图象获取信息题型11一次函数实际应用的最大利润问题题型3动点问题的函数图象题型12全等三角形的综合问题题型4多结论问题题型13坐标系中的全等三角形问题题型5一次函数与几何综合问题题型14等腰三角形的性质与判定综合题型6全等三角形综合题型15坐标系中的等腰三角形问题题型7等腰三角形性质与判定综合运用题型16等边三角形的性质与判定综合问题题型8坐标中的综合题题型17坐标系中的等边三角形问题题型9一次函数与几何综合题型一坐标系中的规律探究问题（共3小题）1．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如图，小球起始时位于(3,0)处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于(2,0)处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是(0,2)，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（）A．(2,4) B．(6,0) C．(8,2) D．(6,4)2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，△OA1A2，△OA2A3，△OA3A4A．-21012,0 B．0,21012 C3．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，A1,3，B1,1，C2,1，将△ABC向左平移2个单位长度，得到△A1B1C1；将△A1B1C1关于原点中心对称，得到△A2B2A．2023,3 B．-2023,3 C．2023,-3 D．题型二从函数图象获取信息（共4小题）4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）甲、乙两车从A地沿直路同向匀速行驶行往B地，现甲车在乙车前500米处，设x秒后两车相距y米，y与x的函数关系如图所示，则乙车在整个运动过程中行驶的路程是（

）A．3500米 B．3200米 C．4375米 D．4000米5．（24-25八年级下·内蒙古兴安盟·期末）A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发1h；②甲行驶的速度为40km/h；③3h时，甲、乙两人相距80km；④0.75h或1.125h时，乙比甲多行驶10km．其中正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（24-25八年级上·山东青岛·期末）某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往．如图，l1、l2分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y（千米）与所用时间x（分钟）之间的函数图象，则以下四个结论中正确的有①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟；②步行的速度是6千米/时；③骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟；④骑车的同学和步行的同学同时到达目的地．7．（24-25八年级下·北京朝阳·期末）同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶，乙车休息前、后的速度不变（乙车加、减速时间忽略不计）．甲、乙两车之间的距离y(km)与时间x(h)的函数关系如图所示．A，B两地相距km；甲车行驶题型三动点问题的函数图象（共4小题）8．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图1（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y与点PA．6 B．7 C．8 D．99．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点P沿A→B→C→D→A路线运动，设点P的运动路程为x，A．B．C． D．10．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，点E从菱形ABCD的顶点A出发，沿A-D-B方向运动到对角线BD的中点O，如图2是△ECD的面积y随点EA．2 B．4 C．5 D．611．（24-25八年级下·四川乐山·期末）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形．直线y=-12x由原点开始向上平移，所得的直线y=-12x+b与矩形OABC两边分别交于（1）点A的坐标为；（2）当2≤b≤3时，函数S与b函数解析式为题型四一次函数与几何综合问题（共3小题）12．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知直线l1:y=kx+6与直线l2:y=-12x+m都经过C-95,125，直线l1交①方程组y=kx+6②若点Mm,a是直线l1上的点，点Nm,b③△ABD的面积为6④当点P从点O运动到点B时，PA+⑤当PA+PC的值最小时，点P的坐标为其中正确结论的序号是．13．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的四个顶点坐标分别为A1,2、B3,1、（1）当直线l经过点D时，k的值为；（2）当直线l与菱形ABCD的边有公共点时，k的取值范围为．14．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB:y=kx+1k≠0交y轴于点A，交x（1）点P是直线：x=2上一动点，当△ABP的面积与△ABO的面积相等时，点P（2）当△ABP为等腰直角三角形时，点P的坐标为题型五全等三角形中的动点问题（共3小题）15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，AB=20cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为2:3，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMNA．8或15 B．4 C．4或5 D．816．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=10，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿A→C→B的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿B→C→A的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和QA．2 B．6 C．2或6 D．2或6或1617．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D为直线BC上一点，过点B作BG⊥直线AD于点G，过点C（1）如图1，若BG=7,CF=2，则（2）当点D在直线BC上运动时，FG=10，BG=6，则CF题型六全等三角形综合（共3小题）18．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，△ABC两个外角的平分线BD与CE相交于点P，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，且BD∥AC，小明同学得出了下列结论：①PM=PN；②点P在A．1 B．2 C．3 D．419．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD,AB=4,A．6 B．7 C．12 D．2020．（25-26八年级上·四川眉山·期中）如图，在长方形ABCD中（AD>AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥①△AFD≌△DCE；②∠BAF=∠DECA．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型七等腰三角形性质与判定综合运用（共5小题）21．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，已知在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCOA．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④22．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）如图，AD，CF分别是△ABC的高和角平分线，AD与CF相交于G，AE平分∠CAD交BC于E，交CF于M，连接BM交AD于H，且BM⊥AE．有下列结论：①∠CMA=120°；②△ABC是等边三角形；③A．1个 B．2个 C．3个 D．4个23．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD=CDA．①③④ B．①②③④ C．①③ D．①24．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论：A．3 B．2 C．1 D．025．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知△ABC中△ACB为钝角，以边AC，BC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ACD和△BCE，线段BE与AD相交于点F，CE交AD于G，CD交BE于H，连接CF．有如下结论：①若∠ACB=150°，则∠BFD=60°；②若∠ECD=90°，则∠A．① B．② C．③ D．④题型八坐标中的综合题（共3小题）26．（24-25八年级上·北京·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点Ax1,y1，Bx2,y2，记dx=x1-x2，dy=y1(1)A0,-2，B①μA,B②点K在x轴上，若μB,K=0，则点(2)点P,Q在y轴上，点P在点Q的上方，PQ=6，点M①当点Q的坐标为0,1时，求μM②当线段PQ在y轴上运动时，直接写出μM27．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）读理解：“转化思想”和“数形结合思想”是解决数学实际问题常用的两种思想方法，通常将几何问题转化为代数问题，将代数问题转化为几何问题，便于更好的理解问题本质，或将未知问题转化为已知问题，复杂问题转化为简单问题进行解决，请合理应用数学思想方法依次解决下列问题．【基础强化】（1）如图①，点A1,1，B4,3，C4,1，AC平行于x轴，BC平行于y轴，则AC=_____【问题解决】（2）如图②，点A-4,2，B2,-1，连接AB【拓展延伸】（3）如图③，点A-5,1，B3,1，连接AB，点P为AB上的任意一点，若AP=m28．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为5,3，过点P作PA⊥x轴，垂足为点A，过点P作PB⊥y轴，垂足为点B．M为线段BP上一动点（不与B，P重合），点N为x轴上异于A的一点，且AM=(1)求点N的坐标；（用含m的代数式表示）(2)若点M到y轴距离与点N到y轴距离相等，求m的值；(3)若E为线段AM上一动点（不与M，A重合），直线MN与直线OE交于点Q，设点Q的横坐标为n．①若随着点E运动，存在点Q在线段MN的延长线上，直接写出m的取值范围；②若点Q与点E关于原点O对称，求满足条件的整数n的值．题型九一次函数与几何综合（共5小题）29．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y1=-2x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在x轴上，OB=2OC，一次函数y2=kx(1)求y2(2)求△BCD(3)如图2，直线CD交y轴于点E，作直线AE，点P为直线AE上一动点，当∠ECP+∠ABE30．（24-25八年级下·吉林·期末）如图1，矩形OABC的顶点A，C分别在y，x轴的正半轴上，点B的坐标为6,8，一次函数y=-mx+6的图象与边OA，BC分别交于点D，E，并且满足AD=CE(1)求一次函数的解析式；(2)若点P在∠AOC的平分线上，求点P(3)连接OP，若OP把四边形ODEC面积分成3:5两部分，直接写出点P的坐标．31．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图1，直线l1:y=x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2:y=-1(1)求直线l2(2)点P为直线AB上一动点，若S△PCD=(3)如图2，将直线l2水平向下平移3+3个单位得直线l3，直线l3与x轴交于点E，连接BE，若点M为y轴上一动点，是否存在点M，使得32．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1:y=kx+4(k>0)分别与x轴，y轴交于点A，B，与直线l2:y=-12x交于点C．点D在线段BC上（不与点C重合），过点D作x(1)当k=3时，求点C(2)在（1）的条件下，求证：S2(3)当S2=4S1，过点A作平行于l2的直线l3，直线l4:y=ax-433．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b交x轴于点A8,0，交y轴于点B，直线y=12x-32分别交(1)求a的值和直线AB的函数解析式；(2)点M是线段BE上的一个动点（点M不与点E重合），过点M作x轴的垂线，交直线CD于点N．设点M的横坐标为m，以线段MN，ME为邻边作▱MNPE，直线PE与x轴交于点Q①设P，Q两点间的距离为d（当两点重合时距离为0），求d与m之间的关系式；②连接PA，PC，当S△PAC=题型十一次函数实际应用的方案分配问题（共4小题）34．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）2025年，在国家实行报废补贴、以旧换新利好政策的推动下，李明的爸爸准备换车，看中了两款价格相同的国产车，请帮李明父子解决以下问题：燃油车油箱容积：40升油价：7.5元/升续航里程：m千米每千米行驶费用：40×7.5m纯电动汽车电池容量：80千瓦时电价：0.55元/千瓦时续航里程：m千米每千米行驶费用：______元(1)用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用；(2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元．①分别求出这两款车的每千米行驶费用；②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为4000元和7200元，设一年内李明爸爸的行驶里程为x千米，燃油车和纯电动汽车所需的年费用分别为y1和y2元，请分别写出y1和y2关于x的函数表达式（年费用35．（24-25八年级下·天津·期末）某学校计划租用汽车外出参加集体活动，现有甲、乙两种大客车租供选择．公司报价为：每辆甲种大客车载客量为45人，每辆乙种大客车的载客量为30人，每辆甲种大客车比乙种大客车贵120元，3辆甲种大客车和2辆乙种大客车共计1760元．(1)甲种大客车和乙种大客车每辆的租金分别为多少元？(2)学校计划在总费用2300元的限额内，送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有一名教师，设共租用了汽车m辆，其中租用甲种客车x辆，租车费用为y元．①其中m的值为；②求y关于x的函数解析式及x的取值范围；③运用上述关系，求花费最少的租车方案及最少费用，并说明理由．36．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）理论源于实践，理论指导实践．请你阅读以下案例，尝试用所学知识解决实际问题．东区有肥料250t，西区有肥料350t．现要把这些肥料全部运往南，北两区，从东区往南，北两区运肥料的费用分别为30元/t和35元/t；从西区往南、北两区运肥料的费用分别为24元/t和32元/t．已知南区需要肥料280t，北区需要肥料320t．(1)设从东区往南区运x吨肥料，则从东区往北区运__________吨肥料，从西区往南区运_______吨肥料，从西区往北区运__________吨肥料；（用含x的式子表示，并化简结果）(2)x的取值范围是______________；(3)设调运的总运费为W元，求W关于x的函数解析式以及调运总费用最少的方案．东区西区合计南区x280-280北区250-350-350合计25035060037．（24-25八年级下·广西南宁·期末）某学校组织八年级学生外出参加研学活动，计划租用客车若干辆．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下：客车类型甲型客车乙型客车载客量（人/辆）4530租金（元/辆）400280此次研学活动，学校共有322名学生和8名教师需要乘车，每辆车至少安排1名教师跟车管理．(1)共需租___________辆车？（直接写答案）(2)设租用甲型客车x辆，租车总费用为y元，求出y与x的函数关系式，并求出共有哪几种可行的租车方案．(3)租车公司为了回馈学校，将甲型客车每辆租金下调3m元，乙型客车每辆租金下调m元（m>0），若租车的最低费用是2160元，求m题型十一一次函数实际应用的最大利润问题（共3小题）38．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元.(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？(2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了x个，全部售出后的利润为w元.①求w的最大值.②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了2a元，同时乙种头盔进货单价下调了a元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4200元，求a的值39．（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）某自行车商行销售10台A型和20台B型自行车的利润为4000元，销售20台A型和10台B型自行车的利润为3500元．(1)求每台A型自行车和B型自行车的销售利润；(2)该商行计划一次购进两种型号的自行车共100台，设购进A型自行车x台，这100台自行车的销售总利润为y元，求y关于x的函数关系式；(3)在（2）的条件下，若B型自行车的进货量不超过A型自行车的2倍，该商行购进A型、B型自行车各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？40．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）清华附中合肥学校C22级学生在暑期职业探究课程中，有学生选择了到某商店体验当“小店长”的一天，进货时与厂家沟通了解到，购进4件A商品和12件B商品共需360元，购进8件A商品和6件B商品共需270元．(1)请你算出A，B两种商品每件的进价；(2)店里计划将5000元全部用于购进A，B这两种商品，设购进A商品x件，B商品y件．①求y与x之间的关系式：②店里进货时，厂家要求A商品的购进数量不少于100件，已知A商品每件售价为20元，B商品每件售价为35元，设店里全部售出这两种商品可获利W元，请你算出W与x之间的关系式和该店所获利润的最大值．题型十二全等三角形的综合问题（共3小题）41．（24-25八年级上·山东德州·期末）【教材呈现】1数学教材中有这样一道习题：“如图1，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，若【类比探究】2如图2，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角，已知：AB=AC，∠1=∠2=∠BAC42．（24-25八年级上·山东济宁·期末）（1）问题：如图①，已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于D（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD>∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与BC的延长线交于点43．（24-25八年级下·广东东莞·期末）《几何原本》中提供了一种证明勾股定理的方法．已知：如图，Rt△ABC中，∠求证：a2证明思路如下：【步骤一】分别以AB,BC,CA为边长向外作正方形ADEB,【步骤二】过点C作CM⊥DE，交AB于点N，由CM∥AD，易得矩形ADMN与△ACD【步骤三】证明S矩形【步骤四】同理可证，S正方形所以S正方形又因为S正方形所以a2(1)请写出【步骤一】中证明△ACD(2)请直接写出【步骤二】中矩形ADMN与△ACD，正方形CHKA与△(3)请写出【步骤三】中证明S矩形题型十三坐标系中的全等三角形问题（共6小题）44．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）综合与实践在数学实践探究课上，王老师让同学们将等腰直角三角尺放在平面直角坐标系中展开探究：【操作猜想】（1）如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB的直角顶点O为坐标原点，顶点B恰好落在点2,1处，则顶点A的坐标为；【类比探究】（2）如图②，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A，B，过点A作线段AC⊥AB且AC=AB①求直线BC的函数表达式和点D的坐标；【拓展探究】②如图③，点C'是点C关于y轴的对称点，P，Q分别为直线BC，x轴上的动点，若△C'PQ是以点C'为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点45．（24-25八年级下·四川成都·期末）一次函数y=kx+3k+2（k为常数，且k>0）分别与x轴，y轴交于A,(1)若点M的纵坐标为2，求m的值；(2)在（1）的条件下，如图1，将一次函数y=kx+3k+2的图象向下平移，交x轴于点D，交y轴于点E，连接ME交x轴于点F，过M作MN⊥x(3)如图2，过点M作MP⊥x轴于点P，连接BP，将线段BP绕点B逆时针旋转90∘得到线段BD，连接AD，交y轴于点H，记△ABP的面积为S1，△BHD的面积为S2，点M在运动过程中，当H46．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，点M0,2，N(1)点B在直线MN上，连接OB，OB将△OMN的面积分成相等的两部分，求点B(2)点P从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度的速度从点N向x轴正半轴运动，设点P，Q运动的时间为t秒．如图，直线NP，MQ交于第四象限的点D，已知点D的坐标是3,-2，求点P，Q运动的时间以及点P的速度．47．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1；y=-x与直线l2交于点A(1)求直线l2(2)若点P是直线l2上一点，且点P在y轴左侧，S△POB(3)若点M在射线OA上，且∠ABO+∠MBO=45°48．（24-25八年级下·湖南常德·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴和y轴于A，B两点，点A坐标为-3,0，点B坐标为0,6．点C-2,(1)求直线AB的表达式；(2)点D是x轴上的一个动点，当S△AOB=(3)如图2，点E坐标为0,-1，连接CE，在直线AB上是否存在一点P，使得∠CEP=45°，若存在，请求出点49．（24-25八年级下·广东惠州·期末）数学建模【模型建立】如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．【模型探索】（1）如图2，一次函数y=-2x+4的图象与x轴、y轴分别交于：P，Q两点．以线段PQ为直角边在PQ的右边作等腰直角△PQR，直接写出点的坐标：P_____，Q______（2）如图3，一次函数y=-x+10的图象与x轴、y轴分别交于B，A两点，M，N是直线y=kx上的两动点，连接BM，AN．若BM【模型应用】（3）如图4，在（2）的情况下，经过点B的直线y=12x-5与y轴交于点C，H为线段OB上的一点，作射线题型十四等腰三角形的性质与判定综合（共3小题）50．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）（1）问题发现：如图1，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接①∠AEC的度数为______②线段AE、BD之间的数量关系为______．（2）拓展探究：如图2，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠（3）解决问题：如图3，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，点B、51．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”，(1)如图1，三角形内角分别为80°，25°，75°，这个三角形（填“存在”或“不存在”）“黄金线”；(2)如图2，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D．求证：AD是△ABC(3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数．52．（25-26八年级上·天津北辰·期中）如图，在△ABC中，AB=AC(1)BD平分∠ABC，交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，求证：BD=2CE；（提示：分别延长BA(2)点D为AC的中点，AE⊥BD交BD于点F，求(3)点D，E分别是BC，AB上的动点，且AE=BD，当AD+CE的值最小时，题型十五坐标系中的等腰三角形问题（共3小题）53．（24-25八年级上·广东汕头·期末）阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．(1)问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线DE,AD(2)问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线CE,AD(3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A-1,0,C1,3，在平面直角坐标系中是否存在一点B54．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+6交坐标轴于A，B两点，过x轴正半轴上一点C作直线CD交y(1)求出直线CD对应的函数解析式；(2)点M是线段CD上一动点（不与点C，D重合），ON⊥OM交AB于点N，连接(3)若点E-1,a为直线AB上的点，点P为y轴上的点．请问：直线CD上是否存在点Q，使得△EPQ是以点55．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴的负半轴上，且OC=1(1)求直线BC的函数表达式；(2)如图1，点D12，52，直线CD交AB于点Q，求(3)如图2，点P是线段BC上的动点(点P不与B，C重合)，连接AP，PD，若△BPD是以BP为斜边的等腰三角形，点E是线段AP的中点，连接DE，OD．试探究∠ODE题型十六等边三角形的性质与判定综合问题（共3小题）56．（24-25八年级上·四川乐山·期末）在等边△ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，(1)如图1，当点M,N在边AB,AC上，且DM=DN时，BM(2)如图2，点M,N在边AB,AC上，且当(3)如图3，当M,N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则L57．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）在△ABC中，点P为AB上一点，D为AC上一点，连接PC、BD、PD，已知PD(1)如图1，若∠BAC=35°，求(2)如图2，点E是BD的中点，过点E作CP的垂线，分别交CP于点F，交AC于点G，交BC于点H．求证：AG=(3)如图3，△ABC中，若∠B=60°，M为线段BC上一点，N为线段AB上一点，且BN=BC，点Q在AB下方，若∠MNQ=60°,MN=58．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知△ABC是边长为10的等边三角形，P是边AB上一点，点Q在射线BC上．设BQ的长为x(1)如图1，当x=2，且AP=2时．求证：(2)当x>10时，连接PQ，交边AC于点D，且D是线段PQ①如图2，作PE∥BC交AC于点E，且AP=3②如图3，作PF⊥AC于点F．随着x的增大，线段DF的长是否发生变化？若不变，求线段③如图4，长为1的木条MN在边AC上，且AM=1.5．若②中的点F恰好落在木条MN上（不包括端点），请直接写出x题型十七坐标系中的等边三角形问题（共2小题）59．（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知A(0,a)，B(b,0)，且a，b满足|a-3(1)求a，b的值和点C的坐标；(2)如图1，点E在CA的延长线上，点D在边AB上，且AE=DB，连接CD，若点F为CD的中点，求证：(3)如图2，若点M在线段OC上，点N在线段AB上，满足∠ANM=2∠MAN，试探究CM，BN60．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，OB=AB，(1)如图1，判断△OAB(2)如图1，若点M为y轴正半轴上一动点，以BM为边作等边三角形BMN，连接NA并延长交x轴于点P，求证：AP=2(3)如图2，，若BC⊥BO，BC=BO，点D为CO的中点，连接AC、DB交于点E，请问AE、1．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的格点，其顺序按图中箭头的方向排列，如第一个格点为1,0，以下依次为1,1,0,1,-1,1,-1,0,-1,-1,0,-1,…，其中记第A．0 B．1 C．2025 D．20262．在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离C站的路程y1，y2(km)与行驶时间xh之间的函数图象如图所示．有下列说法：①A，B两地相距为420km；②两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2=30x-60；③客车离C站的路程y1A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④3．如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的三等分点（点E靠近A），F是AD延长线上一点，ED=DF，连接BE、CF、CE，G是EC的中点，连接BG．下列说法：①CF=BE；②∠BEC+∠ECF=180°；③△ECF和△A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，AD经过点O与BC交于点D，以AD为边向两侧作等边△ADE和等边△ADF，分别和AB、AC交于点G，H，连接GH．若∠BAC=60°，AB①∠BOC=120°；②△AGH是等边三角形；③DG=A．①④ B．①②③ C．②③ D．①②③④6．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6cm，D为BC中点，E，F分别是①BE=②∠AGF③S1，S2分别表示△ABC和△④△AEF其中正确的结论有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③④7．如图，△ABC中，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N，CD与BM交于点E，若∠ABC=45°．下列结论：①∠AMD=45°；A．1 B．2 C．3 D．48．在平面直角坐标系中，对于点Px,y，若点Q为x-ay,ax+y，则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且a≠0），例如：点P1,3的“2阶智慧点”为点Q1-2×3,2×1+3，即点Q-5,5．若点Cm9．已知一次函数y1=x+2和一次函数y2（1）不论k为任何不等于零的数时，一次函数y2=kx+4k+4（（2）若一次函数y1=x+2和一次函数y2=kx+4k10．在教材第23页综合与实践“确定匀质薄板的重心位置”中，我们发现长方形的重心在两条对角线的交点处，则如图a所示，长方形OABC中，点B2,4，易知a图的重心坐标为（1，2）；而对于复杂的几何图形而言我们有分割法，可以将几何图形分割成若干个规则图形，求出各自的重心，再找其所在的关系．例如，对于正方形而言可以分割成两个长方形面积分别为S1，S2，则正方形的面积为S1+S2，正方形的重心坐标Gx,y与两个长方形的重心坐标G1x1,y1，G2x2,y11．如图，∠BAD=140°，AB=AD,AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E，F分别是CB，CD上的点，且∠EAF=70°，下列结论中①BC=DC，②△ADF≌△12．如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，AD经过点O与BC交于点D，以AD为边向两侧作等边△ADE和等边△ADF，分别和AB，AC交于点G，H，连接GH．若∠BOC=120°，AB①∠BAC②△AGH③AD与GH互相垂直平分；④S△13．【感知】（1）如图1，在△MPN中，∠MPN=90°，点B，C分别在△MPN的边BM，PN上，以BC为边作△ABC，使点P在【特例探究】（2）在【感知】的条件下，若∠A=40°，则∠【类比探究】（3）在【感知】的条件下，∠ABP【变式探究】（4）如图2，在△MPN中，∠MPN=90°，点B，C分别在△MPN的边PM，PN上，以BC为边作△ABC，若点P在△ABC外，且点P14．△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，点D在直线AB上运动，点F在问题解决：如图1，若点D运动到边BA的延长线上时，当DC⊥BC时，BC类比探究：如图2，若点D在线段AB上，猜想BE、拓展延伸：如图3，若点D在线段AB的延长线上，当BD=4时，请直接写出△15．如图1，在△ABC中，AB=12cm，BC=20cm，过点C作射线CD∥AB．点M从点B出发，以5cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、(1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为s；(2)当△ABM与△MCN全等时，①若点M、N的移动速度相同，求t的值；②若点M、N的移动速度不同，求(3)如图2，当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以4cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿BA返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在△PBM与△MCN全等的情形？若存在，求出16．【探究与发现】数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长AE至点F，使得EF=AE，连结CF．易证△ABE≌△FCE，故对应角∠BAE=∠CFE，所以∠CFE=∠CDE(1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到△ABE≌△FCEA．SSS

B