【《自由曲线造型设计中Bézier曲线概述》4900字】

自由曲线造型设计中Bézier曲线概述目录TOC\o"1-3"\h\u23631自由曲线造型设计中Bézier曲线概述 1310221.1自由曲线 1101731.2Bézier曲线 3154841.2.4、Bézier曲线的性质 6197491.2.5Bézier曲线的几何作图法 8240441.2.6、Bézier曲线的递归分割算法 853801.2.7Bézier曲线的升阶降阶 9241611.2.8Bézier曲线的光滑拼接 12在自由曲线造型设计中，设计者对所要构造的产品外形仅有一个大致概念。为得到目标曲线外形，设计者要选择合适的端点以确定曲线的模糊形状，按需要不断修改控制顶点位置，同时确保曲线某些部位的切矢与曲率符合要求。为满足这些条件，Bézier曲线作为一种重要的自由曲线被广泛应用。1.1自由曲线1.1.1Hermite曲线已知曲线端点、以及曲线端点的切矢、可确定一条曲线，由公式表示为（2-1-1）其中（2-1-2）可得到Hermite曲线表达式为，（2-1-3）写成矩阵形式为，（2-1-4）其中，，，。Hermite曲线初始条件简单，只与首、末端点处的矢量有关，对于不同的初始条件，G不同，曲线也不同；但Hermite曲线也有不足：曲线内部形状只能根据端点的位置、端点处的切矢大小、方向改变，得到的曲线形状不直观不精确，且难以控制。Hermite曲线1.1.2B样条曲线已知有一点列（）被一曲线段序列，，拟合靠近，每段曲线的形状由点列（）中个顺序排列的点控制，即为第段次B样条曲线，表达方式如下：（2-1-5）式中是对应与顶点的基函数。又设每个基函数是参数的次多项式，且具有形式：，（2-1-6）式中为多项式的系数。上式中，、与均为待定参数。由曲线段序列公式可知，每段曲线的形状由个控制点和相同数量的基函数确定；由基函数公式可知，每个基函数包括个未知系数，为了确定待定系数、和这些未知系数的值，需对各曲线段施加必要的约束条件，且在曲线连续拼接时，连续性每提高一阶，各曲线段的约束条件也要相应增加。在此以三次均匀B样条曲线为例。三次均匀B样条曲线由特征多边形上一组4个相邻节点所控制，每增加一条曲线只需要增加一个相邻控制点，同时，该曲线又增加一段，但本质上还是三次均匀B样条曲线。表达式如下：（2-1-7）式中为控制该曲线段的特征多边形的顶点。为参数，；为基函数。三次均匀B样条曲线段与控制它的特征多边形顶点的关系如下图所示，如果特征多边形具有更多顶点，则曲线段相应增加，连续的各段B样条曲线可完整拼接为一条平滑的B样条曲线。B样条曲线为曲线对应的特征多边形每条边上的三等分点，根据三次均匀B样条曲线的定义，连接线，的中点作为曲线段的起点和终点，且起点与终点的切矢分别为，。由特征多边形顶点、、、定义的三次均匀B样条曲线可被认为是由控制顶点、、、定义的三次Bézier曲线，二者等价。B样条曲线具有局部支柱性这一优良性质，是与Bézier曲线的主要差别。即①、第段次B样条曲线仅由共个顶点所控制，与其他顶点无关；②、修改其中一个顶点，也只会修改与该顶点有关的段曲线。这个性质可以对相应的曲线外形进行较为精确的控制。虽然B样条曲线具有局部支柱性，但在设计多个控制顶点对应的曲线时，每个控制点不止涉及一条光滑曲线，所以每个点的数值设定较为复杂，且曲线未知系数太多，计算较为繁琐。1.2Bézier曲线贝塞尔曲线(Béziercurve)，又称贝兹曲线，是二维图形应用研究中一种被广泛使用的数学曲线，主要是由\t"/item/%E8%B4%9D%E5%A1%9E%E5%B0%94%E6%9B%B2%E7%BA%BF/_blank"线段与\t"/item/%E8%B4%9D%E5%A1%9E%E5%B0%94%E6%9B%B2%E7%BA%BF/_blank"节点组成。它是依据任意控制顶点在多个位置的坐标绘制出的\t"/item/%E8%B4%9D%E5%A1%9E%E5%B0%94%E6%9B%B2%E7%BA%BF/_blank"一种平滑曲线。Bézier曲线不要求给出任意位置的导数，只需曲线对应的特征多边形顶点间的相对位置数据即可表示，且曲线次数严格服从于确定该曲线的顶点个数。具体表示方法如下：（2-2-1）=（2-2-2）其中，是特征多边形首点位置的向量，为特征多边形各边位置的向量；为Bézier曲线基函数。由于初始形式较难理解，也不便应用，所以后来Bézier本人将其改写，使用Bernstein基函数表示Bézier曲线。2.1.1Bernstein-Bézier曲线（2-2-3）其中为特征多边形的顶点，为Bernstein多项式。可从直线段的角度出发对基函数进行推导（2-2-3）：给定矢点和，可定义一直线段：（2-2-4）该直线段起点为，终点为。给定三个矢点构造、和，可定义一段二次曲线：（2-2-5）该直线段起点为，终点为，且和特征多边形的两边均相切。若给定四个矢点、、和，可定义一条三次曲线：（2-2-6）该直线段起点为，终点为，且和特征多边形的首边、末边均相切。由此可推导，一段次曲线可表达为（2-2-7）式中为给定多边形顶点，。曲线方程（2-2-3）可以改写为（2-2-8）其中为Bernstein基函数。曲线方程（2-2-8）所表示的曲线称为特征多边形定义的Bernstein—Bézier曲线，简称Bézier曲线。该曲线的起点、终点分别经过设计者给定的初始特征多边形的首、末顶点和，贴近特征多边形，并与特征多边形的首边和末边相切。式（2-2-3）也可改写为矩阵形式（2-2-9）：，（2-2-9）Bernstein—Bézier曲线的特点是：控制顶点间的相对位置与计算得到的曲线形状之间关系明确，设计人员可以比较直观地确定初始条件与设计出的曲线之间的关系。1.2.2Bernstein多项式函数和二者存在如下关系：，（2-2-10），（2-2-11）1.2.3Bernstein多项式的性质（1）正性正性亦称非负性，可表示为（2-2-12）和（2-2-13）即。（2）混合性混合性也称权性，指Bernstein基函数之和恒为1，表示如下：（2-2-14）（3）对称性（2-2-15）（4）导函数（2-2-16）（5）最大值当参数时，达到最大值。（6）递推性（2-2-17）（7）升阶（2-2-18）1.2.4、Bézier曲线的性质（1）端点性Bézier曲线起点与特征多边形首点重合，终点与特征多边形末点重合，即（2-2-19）Bézier曲线的起点与终点位置分别和特征多边形的首边、末边相切，起点终点的切矢模长分别是首、末边边长的倍，即（2-2-20）式中为Bézier曲线的幂次。一般地，在首端处的阶导矢为（2-2-21）即仅与等个顶点有关。在末端处的阶导矢为（2-2-22）即仅与等个顶点有关。反之，我们也可以用特征多项式顶点处的相应导矢表示顶点：（2-2-23）=（2-2-24）当按曲线连续性要求拼接Bézier曲线时，需要用到上述关系式。（2）对称性给定的特征多边形，可以将作为起点构造Bézier曲线，也可以将作为起点反向构造Bézier曲线，得到的两条Bézier曲线形状完全相同，但参数方向相反，这种性质称为对称性。由此可知，由相同特征多边形（控制顶点间的相对位置相同）定义的Bézier曲线形状是唯一的。（3）凸包性根据Bernstein多项式的正性与混合性，可以推导出Bézier曲线具有凸包性。即对任意给定参数，Bézier曲线都是特征多边形顶点的加权平均，其权因子为Bernstein基函数。凸包性的几何意义为：Bézier曲线完全存在于对应特征多边形形成的凸包内部。如图：Bézier曲线的凸包性（4）几何不变性曲线方程（2-2-3）为矢函数，故Bézier曲线的形状仅取决于顶点间的相对位置，即特征多边形形状，与坐标系的选取无关。1.2.5Bézier曲线的几何作图法根据给定的参数值，在特征多边形的每一条边上确定一分割点，以为起点，为终点，与的线段比为。得到分割点的点矢为（2-2-25）式中，上标1表示特征多边形的第一次分割，第一次分割后，得到n个分割点，即n-1边特征多边形；同理再对新特征多边形的各条边进行分割，得到n-1个分割点，再次得到一个新特征多边形；按照相同的过程将不断产生的新特征多边形分割n-1次后，得到最终的两个顶点和。对线段再进行最后一次分割，得到点，这个点经过Bézier曲线，是Bézier曲线上与参数相对应的点，为Bézier曲线在点处的切线。三次Bézier曲线（控制点为A,B,C,D,E,F,G,H,I，曲线为AID）在构造自由曲线时，可不断修改特征多边形顶点位置调整Bézier曲线形状，直至得到满意的结果。1.2.6、Bézier曲线的递归分割算法在Bézier曲线的几何构造中，可以使用deCasteljau算法的递归式：（2-2-26）由此递归式可求得。经过递归分割后，原Bézier曲线段被分割为两段Bézier曲线，其分别由和定义。1.2.7Bézier曲线的升阶降阶应用Bézier曲线进行曲线构造时，可以通过调整控制顶点位置对曲线进行修改。但当曲线的幂次较低，即控制点较少时，这种修改曲线的功能就很有限。（1）、升阶为提高曲线灵活性，可以通过增加曲线控制顶点个数，提高曲线的幂次，这种方法称为升阶。对于Bézier本人提出的升阶算法能同时增加个控制点，将次Bézier曲线升阶为次Bézier曲线，但算法较为复杂；在此选择另一种升阶算法，该方法基于Bernstein基函数，对于升阶为次Bézier曲线，每次只升阶一次，升阶后的控制点表示为（2-2-27）式中为曲线在升阶前的幂次，该曲线通过递归分割计算，每次只增加一个顶点（即升一阶），相较一次直接升阶次的计算更稳定，故应用较广泛。对已知Bézier曲线进行升阶：原Bézier曲线图像升1阶后Bézier曲线图像升4阶后Bézier曲线图像升阶前后曲线对比（原曲线、升1阶、升4阶）可以看出，曲线通过升阶增加了控制点数量。曲线幂次升高，但形状基本不变，升阶后的曲线具有更多的控制点，曲线灵活性增加。（2）、降阶Bézier曲线降阶目前没有特定公式，所以通过升阶公式进行反推得到降阶公式：（2-2-28）对已知Bézier曲线进行降阶原曲线降1阶降阶前后曲线对比（原曲线、降1阶）但最终得到的降阶曲线与降阶前曲线相差较大，所以高阶Bézier曲线不能用低阶Bézier曲线精确表示，且Bézier曲线降阶并没有特定的公式，所以降阶法不如升阶法应用广泛。在自由曲线拼接时，幂次太高的曲线也不利于控制拼接后的形状，也体现了分段曲线拼接在曲线造型设计中的重要性。1.2.8Bézier曲线的光滑拼接在设计复杂的自由曲线时，人们经常使用分段曲线光滑拼接的方法，一般在连接点处满足特定的连续性要求，即端点（G0）、切矢（G1）、曲率（G2）连续。设置两段Bézier曲线和，其中由控制点定义，由控制点定义，关系式分别为（2-2-29）（2-2-30）现对将曲线的末端与的首段进行拼接。1）端点连续（G0连续）曲线光滑拼接的最终结果是得到的曲线为单一的、无间断、无跳跃、没有无限逼近的振荡等情况的曲线。曲线光滑拼接首先应该满足两曲线具有公共的连接点。即（2-2-31）这时如果需要的话，需将两条曲线中的一条的控制顶点重新排列。G0拼接2）切矢连续（G1连续）切矢是在曲线某个点上一个描述切线的方向、大小的矢量。在实际中构造飞机轮船外形与内部结构要求，制件间隙与厚度半径问题，均是等距面问题[2]，即自由曲线曲面问题。欲构造等距面，必须计算切矢法矢且要求两者必须达到曲率相同。在此先单纯研究曲线的拼接，所以暂时只考虑切矢。两曲线在公共连接点处一阶连续，如果需要的话，要将其中一条的特征多边形顶点重新排列。曲线在末端的一阶导矢为（2-2-32）曲线在首端的一阶导矢为（2-2-33）为使曲线与拼接时在连接点处达到一阶连续，两曲线在连接点处的切矢方向必须相同，即（2-2-34）其中为正常数。将式（2-2-32）与式（2-2-33）代入式（2-2-34）得到（2-2-35）将其改写为（2-2-36）式中，，，和均为正常数。式（2-2-36）的几何意义为，两条Bézier曲线在拼接点处达到一阶连续，控制顶点，（=）和必须共线且依次排列。G1拼接3）曲率连续（G2连续）曲率是指曲线上某点的切矢相对于\t"/item/%E6%9B%B2%E7%8E%87/_blank"弧长的导数微分，表示曲线在该点\t"/item/%E6%9B%B2%E7%8E%87/_blank"偏离直线的程度，此处的直线是指该点的切矢所在的直线。曲率越大，曲线在该点的弯曲程度就越大。根据Bézier曲线的几何作图法，在曲线拼接处确定曲率连续能够有效地提高拼接效果与匹配效果。两曲线拼接点在满足上述两个条件的前提下，还需要达到曲率相等且主法线方向一致；即G2连续。对于拼接点的曲率连续问题，我们需要计算已满足拼接点一阶连续的曲线和在拼接点的二阶导矢和。由式（2-2-22）得到（2-2-36）式中，。由式（2-2-21）得到（2-2-37）当要求两条曲线在连接点达到二阶连续时，必须满足式（2-2-38）所表示的关系：（2-2-38）式中为一正常数。若要求曲率连续时，则,,和四者应满足下列关系：（2-2-39）将式（2-2-39）展开并化简，可得到两条Bézier曲线在拼接点处达到曲率连续的必要条件：