2025-2026学年北师大版九年级数学上册4.5 相似三角形判定定理的证明 教学课件

第四章图形的相似4.5相似三角形判定定理的证明学习目标

了解相似三角形判定定理的证明过程，发展推理能力．我们学过的相似三角形的判定定理有哪些？平行线分线段成比例的基本事实及其推论的内容是什么？复习引入ABCA′B′C′如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.∵∠A=∠A′，∠B=∠B′∴△ABC∽△A′B′C′几何语言：你能证明吗？可要仔细哟！已知：如图，△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，ABCA′B′C′求证：△ABC∽△A'B'C'DE证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）FABCA′B′C′DE过点D作AC的平行线，交BC于点F，（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形.∴DE＝CF.定理两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

C′ABCA′B′DE图2证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′，过D作BC的平行线，交AC于点E，

则∠ADE=∠B，∠AED=∠C，C′ABCA′B′图2DE小组展示我提问我回答我补充我质疑提疑惑：你有什么疑惑？越展越优秀教师讲评重点难点知识点1：判定定理1，2，3的证明.知识点2：在证明过程中构造辅助线ABCA′B′C′求证：△ABC∽△A'B'C'DE证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED，已知：如图，△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∴△ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似）ABCA′B′C′DE而∠A＝∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′∴△ABC∽△A'B'C'证明：在△ABC的边AB，AC(或它们的延长线)上分别截取AD=A'B'，AE=A'C'，连接DE．∵，AD=A′B′，AE=A′C′，而∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）．∴．探究新知∴．∴．∴△ADE≌△A'B'C'．∴△ABC∽△A'B'C'．∴．∴DE=B'C'．又，AD=A'B'，探究新知ABCA′B′C′DE而∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）∴△ADE≌△A′B′C′∴△ABC∽△A'B'C'解：∵∠A=

∠A，∠ABD=∠C，

∴△ABD

∽△ACB.∴AB

:

AC=AD

:

AB.∴AB²

=AD·AC.∵AD=2，

AC=8，∴AB=4.例1

如图，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求

AB.CDAB相似三角形判定定理的运用2典例精析

在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.(1)∠A=35°，∠B′=55°：

；(2)AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8：

；(3)AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15：

.相似相似相似练一练1.如下图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）①②③④①③课堂练习G3.2

C3.250°)4AB21.650°)EDF上述判定方法中的“角”一定是两对应边的夹角吗？两边成比例且一边的对角相等的两三角形不一定相似.【议一议】下面每组的两个三角形是否相似？请说说你的理由：3.5DFE2.52CA455EFB47ACB45⑴⑵

【做一做】判断方法两个三角形相似的条件两个三角形全等的条件1两角分别相等两个角和一边对应相等2两边成比例且夹角