2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册6.4.2《分层随机抽样的期望与方差》教学课件

第六章

统计6.4.2分层随机抽样的期望与方差1.通过实际问题的分析和求解，理解分层随机抽样的均值推导过程，会求分层随机抽样的均值；2.理解分层随机抽样的方差推导过程，会求分层随机抽样的方差.回顾：1.分层随机抽样的概念：将总体按其属性特征分成若干类型（有时称作层），然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体的抽样方法.2.分层随机抽样的优点：抽样具有代表性、准确反映总体特征.3.分层随机抽样适用范围：适用于总体的分成有明显差别、互不交叠的几部分构成.4.分层随机抽样步骤：（1）计算样本容量与总体的个数之比；（2）将总体分成互不交叉的层，按比例确定每层要抽取的个体；（3）用简单随机抽样在各层中抽取相应数量的个体；（4）将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本.1.分层随机抽样的平均数和方差：如果知道样本中的每一个数据，那么可以通过计算得到这组数据的平均数和方差；因此，在利用分层随机抽样得到样本后，可以对某学校高一年级，算出样本平均数和样本方差.

问题1：对某学校高一年级，如果只知道甲班和乙班的各班数学平均成绩和方差，以及甲班和乙班的人数，而缺少每名学生的成绩，应如何计算整个高一年级数学的平均成绩?例1：某公司的高收入员工月平均工资是11000元，中等收入员工月平均工资是6500元，低收入员工月平均工资是2900元.能否认为该公司员工的月平均工资收入是元?这样计算平均数的方法合理吗?

解：在这个问题中，如果该公司有1000名员工，其中50名属于高收入者，150名属于中等收入者，800名属于低收入者，那么由于每一类员工所占比例不同，因此上述计算方法显然不合理.例2：甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃饭，他们分别在

A，B两个网站查看同一家餐馆的好评率.甲在网站

A查到的好评率是98%，而乙在网站

B查到的好评率是85%.综合考虑这两个网站的信息，应该如何得到这家餐馆的好评率?

解：好评率是由好评人数除以总评价人数得到的；98%的好评率意味着如果有100人评价，那么有98人给了好评.设在网站

A评价该餐馆的人数为

n1，其中给出好评的人数为

m1；在网站

B评价该餐馆的人数为

n2，其中给出好评的人数为

m2.由题可知，，

，综上，这家餐馆的总好评率应为；其中，和分别是各自的权重，总好评率等于相应的好评率与其权重乘积的和；所以除非再知道A，B两个网站评价人数的比例关系，否则并不能求出总好评率；由以上分析可知，当且仅当

n1=n2

时，总好评率等于化简得：

一般地，将样本和样本

合成一组新样本，这组新样本的平均数为

于是，当已知两层构成的样本中每层的平均数分别为和时，可以得到这个样本的平均数.

记则这个样本的平均数为，其中称为权重；设样本中不同层的平均数和相应权重分别为

和则这个样本的平均数为为了简化表示，引进求和符号，记作例3：A、B两班参加了同一考试，其中

A班50人，B班40人，A班的平均数是80.5分，方差为500；B班的平均数为85分，方差为360.那么

A、B两班全部90名学生的平均成绩和方差是多少？解：设甲班50名学生的成绩分别是

，那么甲班的平均成绩、权重和方差分别为：设乙班40名学生的成绩分别是

，那么乙班的平均成绩、权重和方差分别为

如果不知道

和

，只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及权重，根据以上分析，考点全部90名学生的平均成绩应为：

分；而全部90名学生的方差为：

如果知道

和

，那么全部90名学生的方差为：

设样本中不同层的平均数分别为