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文档简介

8.6.2.2直线与平面所成的角直线和平面所成角1)斜线:

2)斜足:

3)斜线在平面内的射影:和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线斜线和平面相交的交点过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线称为斜线在平面内的射影.☆平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做直线和平面所成的角.规定:①若直线垂直平面，则直线和平面所成的角为90°②若直线与平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角为0°☆直线和平面所成角的取值范围为αPlAO新知讲解直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直线所成角的最小角.

如果AB是平面α内的任意一条不与直线AO重合的直线，那么直线PA与直线AB所成的角和直线PA与这个平面所成的角的大小关系是什么？PA与直线AB所成的角大于直线PA与这个平面所成的角．最小角定理:直线与平面所成的角是该直线与平面内任意一条直线所成的角中最小的角例1

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面BB1C1C所成的角（2）A1B与面A1B1CD所成的角典例解析（4）30o（3）45oO典例解析O例1（2）A1B与面A1B1CD所成的角解：连接BC1交B1C于点O，连接A1O.

设正方体的棱长为a.正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1，∴BC1⊥平面A1DCB1.∴A1O是A1B在平面A1DCB1内的射影.∴∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角.∴A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.∴BO=A1B，∠BA1O=30°.在Rt△A1BO中，

A1B=a，BO=a.

求斜线和平面所成的角的一般步骤：1．作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，连接斜足

和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角，即为

斜线和平面所成的角；2．证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角；

（注：关键证明线面垂直，即证得斜线在面内的射影）3．求：通过解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小

4.

下结论

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.O

aAP已知PO、PA分别是平面

的垂线、斜线，AO是PO在平面

上的射影。a

，a⊥AO.求证：a⊥pA

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOaα

已知：PA，PO分别是平面

的垂线和斜线，AO是PO在平面

的射影,a

,a

⊥PO求证：a

⊥AO三垂线定理的逆定理【练习】过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC，1．若PA=PB=PC，则点O为△ABC的

心；2．若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的

点；3．若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O为△ABC的

心．

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