2024年中考数学（吉林）第三次模拟考试（含答案）

2024年中考第三次模拟考试数学（考试时间：分钟试卷满分：分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是（

）A．0 B． C． D．22．2024年清明小长假期间，长春站客流主要以短途流为主，预计发送旅客505000人次．505000这个数用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．3．如图，是由五块相同的小正方体搭成的几何体，若移走标号中的一块小正方体，几何体的俯视图没有发生改变，则移走的小正方体是（

）A．① B．② C．③ D．④4．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．5．如图，在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（

）A． B． C． D．6．如图，四边形内接于，过点B作于点H，若，，则的长度为（

）A． B． C．2 D．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）7．计算．8．把多项式分解因式的结果是．9．化简：．10．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值是．11．我国古代数学著作《孙子算经》中记载“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何?其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少?设共有车x辆，可求得x的值为．12．同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，且蜡烛与光屏始终垂直于水平面，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的高度为．13．图中的交通禁令标志是停车让行标志，此标志形状为各角均相等的八角形，在中间加停字，红底白字白边，表示车辆必须在停止线以外停车瞭望，确认安全后，才准许通行，该标志中八角形的一个内角是度．14．在中；．将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，点在内，当时，过点作于点．若，，则的长为．三、解答题（本大题共12个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（5分）先化简，再求值：，其中．16．（5分）2023年9月5日，长春市第一届运动会开幕式在长春奥林匹克公园体育场举行．本次赛会以“同享市运精彩，共创长春未来”为主题，会徽取抽象的运动人物造型和长春的首位字母“C”融合变形塑造，吉祥物“鹿娃”充分展现了“宽容大气、自强不息”的长春城市精神．现有三张不透明卡片，其中一张卡片的正面图案为会徽，另外两张卡片的正面图案都为吉祥物“鹿娃”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这三张卡片背面向上并搅匀．(1)若小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是______事件（填“随机”“不可能”或“必然”）．(2)若小明从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后背面向上放回，重新搅匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“鹿娃”的概率．（图案为会徽的卡片记为A，图案为吉祥物的两张卡片分别记为、）17．（5分）如图，，，，与交于点，与交于点，求证：．18．（5分）刚过去的冬天最热门的地方莫过于哈尔滨冰雪大世界了，冰天雪地的环境吸引着众多游客的到来．春节期间李老师一家从长春乘坐高铁去哈尔滨，返回时乘坐大巴车．已知去时高铁行驶的路程为，比返回时大巴车行驶的路程多，而高铁的平均速度比大巴车平均速度的2倍还多，乘坐大巴车所花时间是乘坐高铁时间的2倍．求大巴车的平均速度．19．（7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方的边长均为1，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，要求所画的三角形的顶点及线段的端点均在格点上，不要求写出画法，保留必要的作图痕迹．(1)在图①中，以为腰画一个等腰直角三角形；(2)在图②中，作线段（画一条即可）；(3)在图③中，画线段，使与的夹角为（画一条即可）．20．（7分）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和，点在反比例函数的图象上．(1)求反比例函数的解析式和点的坐标．(2)直接写出不等式的解集．(3)连接，直接写出的面积．21．（7分）九年级一班邀请A、B、C、D、E五位评委对甲、乙两位同学的才艺表演打分，并组织全班50名同学对两人进行民意测评投票，绘制了如下的统计表和不完整的条形统计图，并求得了五位评委对甲同学才艺表演所打分数的平均分和中位数：（分）；中位数是91分．五位评委的打分表ABCDE甲8991939486乙8887909892(1)求五位评委对乙同学才艺表演所打分数的平均分和中位数；(2)________，并补全条形统计图；(3)为了从甲、乙二人中选拔出一人去参加艺术节演出，班级制定了如下的选拔规则：选拔综合分最高的同学参加艺术节演出，其中：才艺分五位评委所打分数中去掉一个最高分和去掉一个最低分，再算平均分；测评分“好”票数分“较好”票数分“一般”票数分；综合分才艺分测评分（）；当时，通过计算说明应选拔哪位同学去参加艺术节演出？22．（7分）如图①是一台电脑支架，图②是其侧面示意图，、可分别绕、转动，测量知，，当、转动到，时，求点到的距离的长（参考数据：，，）．23．（8分）子涵同学在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为的柜子里．她把碗按下图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里．【探究发现】子涵同学测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表：碗的个数（个）12345这摞碗的总高度（厘米）5.578.51011.5【建立模型】（1）请根据表中信息，在如图②的平面直角坐标系中描出对应点，并指出这些点的分布规律．（2）求与的函数关系式，并求当碗的个数量为12个时这摞碗的总高度．【结论应用】请帮子涵同学算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？24．（8分）【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．已知：如图所示，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别为点D和点E．求证：．分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．【定理应用】（2）如图②，已知是的平分线，点P是上的任意一点，点D、E分别在边上，连结，．若，，则的长为______．（3）如图③，在平行四边形中，，平分交于点E，连结，将绕点E旋转，当点C的对应点F落在边上时，若，则四边形的面积为______．25．（10分）如图，在中，，，，点M为边的中点．点Q从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度先沿运动到点B，再沿向终点A运动，以为邻边构造，设点Q运动的时间为t秒．(1)当点E落在边上时，求t的值；(2)当点P在边上运动时，设的面积为，求S与t之间的函数关系式；(3)连接，直接写出将分成的两部分图形面积相等时t的值．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、，抛物线上点P、Q之间的部分记为图像G（包括点P、点Q）．连接，以为对角线作矩形，且矩形的各边均与坐标轴平行或垂直．(1)求此抛物线的解析式；(2)当时，该二次函数的最大值是______，最小值是______；(3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围；(4)当矩形的面积被坐标轴平分，且该抛物线的最低点是图像G的最低点时，求m的值．2024年中考第三次模拟考试数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是（

）A．0 B． C． D．2【答案】．C【解析】由数轴上点的位置可知，∴四个选项中只有C选项符合题意，故选：C．2．2024年清明小长假期间，长春站客流主要以短途流为主，预计发送旅客505000人次．505000这个数用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：505000这个数用科学记数法表示为，故选：C．3．如图，是由五块相同的小正方体搭成的几何体，若移走标号中的一块小正方体，几何体的俯视图没有发生改变，则移走的小正方体是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【解析】观察图形可知，若移走标号中的一块小正方体，几何体的俯视图没有发生改变，则移走的小正方体是①．故选：A．4．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A、，故本选项不符合题意；B、，故本选项符合题意；C、，故本选项不符合题意；D、，故本选项不符合题意．故选：B．5．如图，在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由图知，平分，垂直平分∴，故A选项正确，不符合题意；∴，，中，∴∴，故B项正确，不符合题意；∵，∴∴，故C项正确，不符合题意；∴∴，故D选项错误，符合题意．故选：D．6．如图，四边形内接于，过点B作于点H，若，，则的长度为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】解：∵四边形内接于，，∴，∵，，∴，故选B．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）7．计算．【答案】5【解析】．故答案为：5．8．把多项式分解因式的结果是．【答案】【解析】，故答案为：．9．化简：．【答案】【解析】原式．故答案为：．10．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值是．【答案】【解析】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得．故答案为：．11．我国古代数学著作《孙子算经》中记载“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何?其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少?设共有车x辆，可求得x的值为．【答案】15【解析】根据题意得：，解得：，的值为15．故答案为：15．12．同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，且蜡烛与光屏始终垂直于水平面，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的高度为．【答案】【解析】由题意得，，∴，∵蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，∴，∴，故答案为：．13．图中的交通禁令标志是停车让行标志，此标志形状为各角均相等的八角形，在中间加停字，红底白字白边，表示车辆必须在停止线以外停车瞭望，确认安全后，才准许通行，该标志中八角形的一个内角是度．【答案】135【解析】正八边形的内角和为：，正八边形一个内角为：，故答案为：135．14．在中；．将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，点在内，当时，过点作于点．若，，则的长为．【答案】【解析】由旋转可得，，，，，，，，，，设，则，在中，根据勾股定理得：，即，解得：，即，，，，，，即，解得：，故答案为：．三、解答题（本大题共12个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（5分）先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】，将代入原式16．（5分）2023年9月5日，长春市第一届运动会开幕式在长春奥林匹克公园体育场举行．本次赛会以“同享市运精彩，共创长春未来”为主题，会徽取抽象的运动人物造型和长春的首位字母“C”融合变形塑造，吉祥物“鹿娃”充分展现了“宽容大气、自强不息”的长春城市精神．现有三张不透明卡片，其中一张卡片的正面图案为会徽，另外两张卡片的正面图案都为吉祥物“鹿娃”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这三张卡片背面向上并搅匀．(1)若小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是______事件（填“随机”“不可能”或“必然”）．(2)若小明从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后背面向上放回，重新搅匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“鹿娃”的概率．（图案为会徽的卡片记为A，图案为吉祥物的两张卡片分别记为、）【答案】(1)随机(2)【解析】（1）解：“抽到卡片上的图案是会徽”可能发生也可能不发生，是随机事件，故答案为：随机；（2）画出树状图如图：

由图知，共有9种等可能的结果，其中小明两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“鹿娃”的结果有4种，∴．17．（5分）如图，，，，与交于点，与交于点，求证：．【答案】见解析【解析】证明：∵，∴，在和中，，∴，∴．18．（5分）刚过去的冬天最热门的地方莫过于哈尔滨冰雪大世界了，冰天雪地的环境吸引着众多游客的到来．春节期间李老师一家从长春乘坐高铁去哈尔滨，返回时乘坐大巴车．已知去时高铁行驶的路程为，比返回时大巴车行驶的路程多，而高铁的平均速度比大巴车平均速度的2倍还多，乘坐大巴车所花时间是乘坐高铁时间的2倍．求大巴车的平均速度．【答案】大巴车的平均速度为．【解析】解：设大巴车的平均速度为，由题意，得，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，答：大巴车的平均速度为．19．（7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方的边长均为1，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，要求所画的三角形的顶点及线段的端点均在格点上，不要求写出画法，保留必要的作图痕迹．(1)在图①中，以为腰画一个等腰直角三角形；(2)在图②中，作线段（画一条即可）；(3)在图③中，画线段，使与的夹角为（画一条即可）．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【解析】（1）解：如图①，即为所求；（2）如图②，线段即为所求（答案不唯一）；（3）如图③，线段即为所求（答案不唯一）．20．（7分）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和，点在反比例函数的图象上．(1)求反比例函数的解析式和点的坐标．(2)直接写出不等式的解集．(3)连接，直接写出的面积．

【答案】(1)，(2)或(3)【解析】（1）解：把点和代入得，，，，，点，，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和，，反比例函数的解析式为，点在反比例函数的图象上．，；（2）由图象可知：不等式的解集或；（3）如图：过点作轴的垂线，交于点，则，，，．21．（7分）九年级一班邀请A、B、C、D、E五位评委对甲、乙两位同学的才艺表演打分，并组织全班50名同学对两人进行民意测评投票，绘制了如下的统计表和不完整的条形统计图，并求得了五位评委对甲同学才艺表演所打分数的平均分和中位数：（分）；中位数是91分．五位评委的打分表ABCDE甲8991939486乙8887909892(1)求五位评委对乙同学才艺表演所打分数的平均分和中位数；(2)________，并补全条形统计图；(3)为了从甲、乙二人中选拔出一人去参加艺术节演出，班级制定了如下的选拔规则：选拔综合分最高的同学参加艺术节演出，其中：才艺分五位评委所打分数中去掉一个最高分和去掉一个最低分，再算平均分；测评分“好”票数分“较好”票数分“一般”票数分；综合分才艺分测评分（）；当时，通过计算说明应选拔哪位同学去参加艺术节演出？【答案】（1)平均数是91分；中位数是90分；(2)8，见解析(3)应选拔甲同学去参加艺术节演出，计算见解析【解析】（1）（分）；中位数是90分．（2），补全条形统计图如图．（3）甲的才艺分（分），甲的测评分（分），甲的综合分（分）；乙的才艺分（分）乙的测评分（分），乙的综合分（分）．∵甲的综合分乙的综合分，∴应选拔甲同学去参加艺术节演出．22．（7分）如图①是一台电脑支架，图②是其侧面示意图，、可分别绕、转动，测量知，，当、转动到，时，求点到的距离的长（参考数据：，，）．【答案】点到的距离的长为【解析】解：过点作，，垂足分别为、，，，，四边形是矩形，，，，，在中，，，在中，，，，，答：点到的距离的长为．23．（8分）子涵同学在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为的柜子里．她把碗按下图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里．【探究发现】子涵同学测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表：碗的个数（个）12345这摞碗的总高度（厘米）5.578.51011.5【建立模型】（1）请根据表中信息，在如图②的平面直角坐标系中描出对应点，并指出这些点的分布规律．（2）求与的函数关系式，并求当碗的个数量为12个时这摞碗的总高度．【结论应用】请帮子涵同学算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？【答案】[图见解析]；（1）这些点在一条直线上（2）当碗的个数为12个时，这摞碗的总高度为22厘米[结论应用]：一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里【解析】[建立模型]（1）如图，这些点在一条直线上．（2）设与之间的函数关系式为．将点、代入，得解得与之间的函数关系式为．时，．当碗的个数为12个时，这摞碗的总高度为22厘米．[结论应用]时，，所以一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里．24．（8分）【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．已知：如图所示，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别为点D和点E．求证：．分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．【定理应用】（2）如图②，已知是的平分线，点P是上的任意一点，点D、E分别在边上，连结，．若，，则的长为______．（3）如图③，在平行四边形中，，平分交于点E，连结，将绕点E旋转，当点C的对应点F落在边上时，若，则四边形的面积为______．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）【解析】（1）证明：∵是的平分线，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）作，垂足分别为点M和点N，∵是的平分线，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴，故答案为：5；（3）作，垂足分别为点M和点N，由于绕点E旋转，点C的对应点F落在边上，即，∵平分，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，，∴，∴，∴，∵，∴四边形的面积，故答案为：．25．（10分）如图，在中，，，，点M为边的中点．点Q从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度先沿运动到点B，再沿向终点A运动，以为邻边构造，设点Q运动的时间为t秒．(1)当点E落在边上时，求t的值；(2)当点P在边上运动时，设的面积为，求S与t之间的