江西省九校2026届高三上学期期中联考数学(解析版)

江西省九校2026届高三上学期期中联考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知，，故选：B.2.已知，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】等价于或，则可以推出，不能推出，则是的充分不必要条件；故选：A.3.已知等比数列满足，若将除以5所得余数记为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】设等比数列的公比为，因为，即，所以，则，所以，，，，，，，，，所以为周期为的周期数列，所以.故选：A.4.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，所以，即.故选：C.5.已知，使为真命题，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，解得：，故选：B.6.已知函数，则的图象（）A.关于对称 B.关于对称C.关于对称 D.关于对称【答案】D【解析】由，得，解得，所以的定义域为，故A，C不正确；又，所以为奇函数，图像关于原点对称，则的图象关于对称，故B不正确，D正确故选：D.7.已知函数，则（）A.是奇函数B.是偶函数C.的图象关于对称D.的图象关于对称【答案】D【解析】因为既不是奇函数也不是偶函数，故A错误，B错误；又，故的图象不关于对称，故C错误；因为，故的图象关于对称，故D正确；故选：D.8.已知且，则的最小值为（）A.10 B.9 C.8 D.7【答案】B【解析】由题意得，，令，则，由得，故，当且仅当，结合，即时取等号，也即，即时，等号成立，故的最小值为9，故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知的部分图象如图，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由题可得，其中，设其周期为，结合题中的图可知，，则，故A正确；所以，把点的坐标代入，得，则，所以，则所以，故B错误；，故C错误；，故D正确；故选：AD.10.已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（）A.单调递减 B.单调递增C.有最小值 D.无最大值【答案】BD【解析】函数图象的对称轴为直线，且图象开口向上，由题意，得．又，则当时，在上单调递增，函数既无最大值，也无最小值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既无最大值，也无最小值；当时，函数在上单调递增，函数既无最大值，也无最小值．综上，在上单调递增，无最大值．故选：BD.11.已知数列前项和为，且，若，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A，由，得，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，故A正确；对于B，由题意可得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故，故B正确；对于C，由得，即时，，又，所以，所以的奇数项均为0，偶数项均为1.故，故C错误；对于D，因为即，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量满足，且，则向量的夹角为______.【答案】【解析】由已知得，又，所以，所以向量夹角为.故答案为：.13.已知，则__________.【答案】【解析】由已知，所以，即.故答案为：.14.已知曲线且.当实数变化时，函数的图象公共点个数最多有__________个，此时实数的取值范围是_______________.【答案】①.3②.【解析】原题等价于与的图象公共点最多有几个，且此时的取值范围问题.（1）当时，与有2个公共点；（2）当时，令，①当时，和在上单调递增，在上单调递增，且，所以在上只有1个零点，即与在上只有一个公共点，②当时解方程，令，则，当时，单调递增；当时，单调递减，因此的最大值为，又时，，时，，则与在上最多有2个公共点，此时需满足，即的范围是，所以当的范围是，在上有3个零点，即与在有3个公共点；（3）当时，③当时，在单调递减，且，所以在上只有1个零点，即与在上只有一个公共点，④当时，，令，解方程，由②知，与在上最多有2个公共点，此时需满足，解得，所以当的范围是，在上有3个零点，即与在有3个公共点；综上所述，与最多3个公共点，.故答案为：；.四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知向量，函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求取得最大值时自变量的集合，并求出最大值.解：（1），∴，所以函数的最小正周期为.（2）由（1）知函数取得最大值时，，解得，故取得最大值时自变量的集合为，此时，.16.已知函数，且的图象过点.（1）求函数的解析式；（2）过原点作曲线的两条切线，切点分别为.①求切线的方程；②求的面积.解：（1）由已知得，即，所以.故.（2）①当时，.不妨设切点.所以.故切线的方程为.因为过原点，故，解得.所以切线的方程为.又为偶函数，其图象关于轴对称，故切线的方程为.所以切线的方程为.②由①可知，，由对称性可知，为等腰三角形，其面积为.17.已知数列的首项.（1）求证：数列是等差数列；（2）令，求满足的的最小值.（1）证明：由得，，又，所以数列是首项为1公差为1的等差数列.（2）解：由（1）知：，所以.，所以，由已知得，即.因为，当时，显然，不满足条件；当时，记，显然在时单调递增，且，所以.故的最小值为11.18.如图，四边形的对角线相交于点.（1）求证：；（2）已知.①求四边形的面积；②若与面积相等，求证：.（1）证明：由余弦定理得在中，①，在中，②，在中，③，在中，④，由③+④-①-②得：.故.（2）①解：由（1）得，又，可求得.又四边形的面积为.②证明：由若与面积相等，因为为公共底边，故两个三角形上的高相等，即，所以.设.在中得：，即，在中得：.两式相加得：，两式相减得：，所以，故.故，所以.又，所以，由勾股定理得：.19.已知函数，当时取得最值.（1）求实数的值；（2）若函数有三个极值点.①求实数的取值范围；②证明：.（参考数据：）（1）解：函数的定义域为，求导得,因为时取得最值，所以，即：，解得：；经检验，符合题意.（2）函数有三个极值点，由（1）知，因此