2026届山东省济南市济钢高级中学高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2026届山东省济南市济钢高级中学高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过点的直线与圆相切，则直线的方程为（）A.或 B.或C.或 D.或2．直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则有（）A.， B.，C.， D.，3．某研究所为了研究近几年中国留学生回国人数的情况，对2014至2018年留学生回国人数进行了统计，数据如下表：年份20142015201620172018年份代码12345留学生回国人数/万36.540.943.348.151.9根据上述统计数据求得留学生回国人数（单位：万）与年份代码满足的线性回归方程为，利用回归方程预测年留学生回国人数为（）A.63.14万 B.64.72万C.66.81万 D.66.94万4．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有人分钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前人所得之和与后人所得之和相等，问各得多少钱?”，则第人得钱数为（）A.钱 B.钱C.钱 D.钱5．曲线在点处的切线过点，则实数（）A. B.0C.1 D.26．若是函数的极值点，则函数（）A.有最小值，无最大值 B.有最大值，无最小值C.有最小值，最大值 D.无最大值，无最小值7．已知数列满足，，在（）A.25 B.30C.32 D.648．已知直线与直线垂直，则（）A. B.C. D.9．“”是“方程表示椭圆”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10．已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角是（）A.30° B.60°C.120° D.150°11．如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（）A. B.C. D.12．在正三棱锥S−ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且，若侧棱，则正三棱锥S−ABC外接球的表面积是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，则__________，的最小值为__________14．将某校全体高一年级学生期末数学成绩分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，现需要随机抽取60名学生进行问卷调查，采用按成绩分层随机抽样，则应抽取成绩不少于60分的学生人数为_______________.15．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：的距离为，则的最小值为__________16．若和或都是假命题，则的范围是__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）讨论的零点个数.18．（12分）甲、乙两人独立地对某一目标射击，已知甲、乙能击中的概率分别为，求：（1）甲、乙恰好有一人击中的概率；（2）目标被击中的概率19．（12分）已知：，:.(1)当时，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.20．（12分）已知，是函数的两个极值点.（1）求的解析式；（2）记，，若函数有三个零点，求的取值范围.21．（12分）已知圆：和圆外一点，过点作圆的切线，切线长为.（1）求圆的标准方程；（2）若圆：，求证：圆和圆相交，并求出两圆的公共弦长.22．（10分）已知，，函数，直线是函数图象的一条对称轴（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）若，，的面积为，求的周长

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到直线距离等于半径求解【详解】圆心为，半径为2，斜率不存在时，直线满足题意，斜率存在时，设直线方程为，即，由，得，直线方程为，即故选：D2、B【解析】将直线方程的一般形式化为截距式，由此可得其在x轴和y轴上的截距.【详解】直线方程化成截距式为，所以，故选：B.3、D【解析】先求出样本点的中心，代入线性回归方程即可求出，再将代入线性回归方程即可得到结果【详解】由题意知：，，所以样本点的中心为，所以，解得：，可得线性回归方程为，年对应的年份代码为，令，则，所以预测2022年留学生回国人数为66.94万，故选：D.4、A【解析】设第所得钱数为钱，设数列、、、、的公差为，根据已知条件可得出关于、的值，即可求得的值.【详解】设第所得钱数为钱，则数列、、、、为等差数列，设数列、、、、公差为，则，解得，故.故选：A.5、A【解析】由导数的几何意义得切线方程为，进而得.【详解】解：因为，，，所以，切线方程为，因为切线过点，所以，解得故选：A6、A【解析】对求导，根据极值点求参数a，再由导数研究其单调性并判断其最值情况.【详解】由题设，且，∴，可得.∴且，当时，递减；当时，递增；∴有极小值，无极大值.综上，有最小值，无最大值.故选：A7、A【解析】根据题中条件，得出数列公差，进而可求出结果.【详解】由得，所以数列是以为公差的等差数列，又，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量运算，属于基础题型.8、C【解析】根据两直线垂直可直接构造方程求得结果.【详解】由两直线垂直得：，解得：.故选：C.9、B【解析】方程表示椭圆，可得，解出的范围即可判断出结论.【详解】∵方程表示椭圆，∴解得或，故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B10、C【解析】设直线l的倾斜角为，由题意可得直线l的斜率，即，∵，∴直线l的倾斜角为，故选：.11、B【解析】令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【详解】如图，令双曲线E的左焦点为，连接，由对称性可知，点线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，设，则，，，在中，，解得或m＝0（舍去），从而有，中，，整理得，，所以双曲线E的离心率为故选：B12、A【解析】由题意推出平面，即平面，，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积【详解】∵，分别为棱，的中点，∴，∵三棱锥为正棱锥，作平面，所以是底面正三角的中心，连接并延长交与点，∵底面是正三角形，，平面∴，，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∴，又∵，而，且，平面，∴平面，∴平面，∴，因为S−ABC是正三棱锥。所以，以，，为从同一定点出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的体对角线就是球的直径，，所以.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.【解析】首先确定的正负，分别在和两种情况下求得，代入即可求得；由可求得，分别在和两种情况下结合一次函数和对勾函数单调性得到最小值，综合可得最终结果.【详解】令，解得：，则当时，；当时，；当时，；当时，；；，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，又，，，当时，；综上所述：.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题考查含绝对值的数列前项和的求解问题，解题关键是能够确定数列的变号项，从而以变号项为分类基准进行分类讨论得到数列的前项和；求解数列中的最值问题的关键是能够利用数列与函数的关系，结合函数单调性和来进行求解.14、48【解析】根据频率分布直方图，求出成绩不少于分的频率，然后根据频数频率总数，即可求出结果【详解】根据频率分布直方图，成绩不低于（分）的频率为，由于需要随机抽取名学生进行问卷调查，利用样本估计总体的思想，则应抽取成绩不少于60分的学生人数为人故答案为：15、3【解析】根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线：的垂线，此时取得最小值，利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，如图所示，根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线：的垂线，此时取得最小值，由点到直线的距离公式可得，即的最小值为3.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，以及抛物线的最值问题，其中解答中根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于中档试题.16、【解析】先由和或都是假命题，求出x的范围，取交集即可.【详解】若为假命题，则有或若或是假命题，则所以的范围是即的范围是胡答案：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调递增区间是和，单调递减区间是（2）时，有1个零点；或时，有2个零点；时，有3个零点.【解析】（1）求解函数的导数，再运用导数求解函数的单调区间即可；（2）根据导数分析原函数的极值，进而讨论其零点个数.【详解】（1）因为，所以由，得或；由，得.故单调递增区间是和，单调递减区间是.（2）由（1）可知的极小值是，极大值是.①当时，方程有且仅有1个实根，即有1个零点；②当时，方程有2个不同实根，即有2个零点；③当时，方程有3个不同实根，即有3个零点；④当时，方程有2个不同实根，即有2个零点；⑤当时，方程有1个实根，即有1个零点.综上，当或时，有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点.18、（1）；（2）.【解析】（1）分为甲击中且乙没有击中，和乙击中且甲没有击中两种情况，进而根据独立事件概率公式求得答案；（2）先考虑甲乙都没有击中，进而根据对立事件概率公式和独立事件概率公式求得答案.【小问1详解】设甲、乙分别击中目标为事件，，易知，相互独立且，，甲、乙恰好有一人击中的概率为.【小问2详解】目标被击中的概率为.19、(1)；(2).【解析】(1)将代入即可求解；(2)首先结合已知条件分别求出命题和的解，写出，然后利用充分不必要的特征即可求解.【详解】(1)由题意可知，，解得，故实数的取值范围为；(2)由，解得或，由，解得，故命题：或；命题：，从而：或，因为是的充分不必要条件，所以或或，从而，解得，故实数的取值范围为.20、（1）；（2）【解析】（1）根据极值点的定义，可知方程的两个解即为，，代入即得结果；（2）根据题意，将方程转化为，则函数与直线在区间，上有三个交点，进而求解的取值范围【详解】解：（1）因为，所以根据极值点定义，方程的两个根即为，，，代入，，可得，解之可得，，故有；（2）根据题意，，，，根据题意，可得方程在区间，内有三个实数根，即函数与直线在区间，内有三个交点，又因为，则令，解得；令，解得或，所以函数在，上单调递减，在上单调递增；又因为，，，，函数图象如下所示：若使函数与直线有三个交点，则需使，即21、（1）（2）证明见解析，公共弦长为【解析】（1）根据切线长公式计算即可得到，然后代入可得圆的方程.（2）联立两圆的方程作差可得直线的方程为，然后利用圆的弦长公式计算即可.【小问1详解】圆的标准方程为，所以圆心为，半径.由勾股定理可得，解得.所以圆的标准方程为.【小问2详解】由题意得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，因为，，所以圆和圆相交.设两圆相交于，两点，则两圆的方程相减得直线的方