第23章 解直角三角形（举一反三单元测试·培优卷）（教师版）-沪科版(2024)九上

第二十三章解直角三角形·培优卷【沪科版】参考答案与试题解析第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）Rt△ABC中，∠C=90°，∠AA．12 B．32 C．33【答案】C【分析】本题考查三角函数，三角形内角和定理，先设∠A的度数为x，则∠B的度数为2x，根据题意得出x+2x【详解】解：设∠A的度数为x，则∠B的度数为所以x+2解得x=30°所以∠A=30°，所以tanA故选：C．2．（3分）（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，A．572 B．513 C．1213【答案】C【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键．由勾股定理得BC=12【详解】解：如图，根据勾股定理得，BC=∴sin故选：C．3．（3分）（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotAA．12 B．32 C．33【答案】D【分析】本题主要考查了三角形函数的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键．设∠A=30°，∠C=90°，根据直角三角形的性质得出【详解】解：设∠A=30°，∴AB=2∴AC=∴cotA即cot30°=故选：D．4．（3分）（2025·陕西渭南·三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，连接CD，若CD=3，cosA．2 B．4 C．5 D．2【答案】D【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质勾股定理．根据直角三角形斜边中线的性质求得AB=2CD=6，由余弦函数求得BC【详解】解：∵∠ACB=90°，点D为∴AB=2∵cosB∴BCAB∴BC=4∴AC=故选：D．5．（3分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道CD与地面AB平行，扶梯AD的坡比为1:1，滑梯BC的坡比为1:2，若扶梯AD长为4米，则滑梯CB的长为()米A．42 B．210 C．45【答案】B【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．根据题意先求得CF=22，【详解】解：如图，依题意DE∵扶梯AD的坡比为1:1，滑梯BC的坡比为1:2，过道CD与地面AB平行，∴AD∵AD长为4米，∴CF∴BF在Rt△BCF中，故选：B．6．（3分）（2025·浙江丽水·二模）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，BM⊥CD，垂足为点M，BM交AC于点N，若OC=4，OD=2，则A．12 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，由菱形的性质可得OB=OD=2，AC⊥BD，则tan【详解】解：∵在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，∴OB=OD=2在Rt△COD中，∵BM⊥∴∠CMN又∵∠ONB∴∠OBN∴tan∠∴ON=1故选：B．7．（3分）如图，在△ABC中，∠A=30°，AC=23，tan

A．2+23 B．3+3 C．4 D【答案】D【分析】作CD⊥AB于D，根据∠A=30°，AC=23，算出CD和AD，再根据【详解】如下图，作CD⊥AB于

在Rt△ACD中，∠A∴CD=1在Rt△BCD中，∴3∴BD∴AB故选：D．【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．8．（3分）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=32，A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠A=60°，【详解】解：∵sinA=3∴∠A∴∠C∴△ABC故选：B．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD=23，AB=5，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠A．352 B．5 C．7 D【答案】C【分析】过点N作CD的垂线交CD于点E，根据对折和平分线可以得到∠DAM=∠NAM=∠BAN=30，再利用三角函数可以求出【详解】解：如图，过点N作CD的垂线交CD于点E由折叠可知：DM=MN，DA=∵AN平分∠∴∠∴∠DAM∵∠DAB∴∠DAM=30°∴DM∴MN=∵∠DAN+∠∴∠∴NE=MN·∴CE∴在Rt△CN=故选：C【点睛】本题考查了折叠的性质、解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．10．（3分）如图，直线y=34x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=34x+3上，若N点在第二象限内，则

A．17 B．16 C．15【答案】A【分析】过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，设N的坐标是（x，34x+3），得出DN=34x+3，OD=-x，求出OA=4，OB=3，由勾股定理求出AB=5，由三角形的面积公式得出AO×OB=AB×OC，代入求出OC，根据sin45°=OCON，求出ON，在Rt△NDO中，由勾股定理得出（34x+3）2+（-x）2=(1225)2，求出N的坐标，得出ND【详解】过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，

∵N在直线y=34x+3∴设N的坐标是（x，34x+3则DN=34x+3，OD=-xy=34x+3当x=0时，y=3，当y=0时，x=-4，∴A（-4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，在△AOB中，由勾股定理得：AB=5，∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB=AB×OC，∴3×4=5OC，OC=125∵在Rt△NOM中，OM=ON，∠MON=90°，∴∠MNO=45°，∴sin45°=OCON∴ON=122在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND2+DO2=ON2，即（34x+3）2+（-x）2=(1225解得：x1=-8425，x2=12∵N在第二象限，∴x只能是-842534x+3=12即ND=1225，OD=84tan∠AON=NDOD故选A．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB【答案】60°/60度【分析】本题主要考查了三角函数定义，先求出∠B的正弦值，得出∠【详解】解：∵∠C=90°，AC=3∴sinB∴∠B∴∠A故答案为：60°．12．（3分）（2025·江苏南通·一模）在Rt△ABC中，AC=3，CD为斜边AB上的中线，若CD=2，则【答案】34/【分析】本题考查直线三角形斜边上中线等于斜边的一半以及余弦的定义．根据斜边上的中线等于斜边的一半以及余弦的定义：邻边比斜边，进行计算即可．【详解】解：∵∠ACB=90°，CD是斜边∴AB=2∴cosA故答案为：3413．（3分）（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，点D在线段AC上，且∠A=30°，∠BDC【答案】3【分析】本题考查了解直角三角形，先利用三角形外角性质计算出∠ABD=30°，则∠A=∠ABD，所以BD=AD【详解】解：∵∠BDC=∠A+∠ABD∴∠ABD∴∠A∴BD=在Rt△∵sin∠∴BC=2故答案为：3．14．（3分）（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在△ABC中，D为三角形内部一点，AC=BD，AD⊥CD，【答案】3【分析】本题考查了求角的正切值，涉及了全等三角形的判定与性质，延长BD，交AC于E，过D作DF⊥AB于F，证△ADC≌△BFD，得FD=【详解】解：延长BD，交AC于E，过D作DF⊥AB于∵∠BDA+∠BAC∴∠BAC∵∠∴∠DAC∵AC=∴△∴FD=∵tan∠∴FDAD∴∠∴tan∠故答案为：315．（3分）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为海里．【答案】202【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解．【详解】如图，过点A作AC⊥BD，依题意可得∠ABC=45°∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)∴AC=BC=ABsin45°=102(海里)在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°∴AD=2AC=202(海里)故答案为：202．【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．16．（3分）△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为53，那么∠A的度数是．【答案】60°或120°/120°或60°【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC=5，可以求出AC边上的高，再根据∠A的三角函数值可得∠A的度数，注意需要分情况讨论．【详解】解：当∠A是锐角时，如图，过点B作BD⊥AC于D，∵AC＝5，△ABC的面积为53，∴BD＝53×2÷5＝23，在Rt△ABD中，sinA＝BDAB＝2∴∠A＝60°．当∠A是钝角时，如图，过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于D，∵AC＝5，△ABC的面积为53，∴BD＝53×2÷5＝23，在Rt△ABD中，sin∠BAD＝sinA＝BDAB＝234∴∠BAD＝60°．∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°．故答案为60°或120°．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是画出合适的图形，作出相应的辅助线．第Ⅱ卷三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）计算(1)2(2)cos【答案】(1)2(2)2【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入，进行计算即可．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．【详解】（1）解：原式=2×3（2）原式=218．（6分）如图，在平面直角坐标系中，P是∠α的边OQ上的一点，已知点P的横坐标为6，且sin(1)求点P的纵坐标；(2)cosα的值为______【答案】(1)点P的纵坐标为8(2)3【分析】本题考查了已知正弦值求边长，求角的余弦值，掌握三角函数值转化为边的比是解题的关键．（1）由sinα=PMOP=45（2）由余弦的定义即可求解；【详解】（1）如图，过点P作PM⊥x轴于点M，则∠∵点P的横坐标为6，∴OM∵sin∴PM设PM=4x，则在Rt△PMO中，∴6解得x=2∴PM∴点P的纵坐标为8．（2）由（1）知，OP=5∴cos故答案为：3519．（8分）（2025·浙江衢州·三模）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，且AB(1)求BE的长．(2)求tan∠【答案】(1)BE(2)tan【分析】本题考查了勾股定理，求一个角的正切值，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）运用勾股定理列式计算，即可作答．（2）先结合等腰三角形的三线合一，得ED=5，则EC=11+5=16，再把数值代入【详解】（1）解：∵AE∴在Rt△ABE中，（2）解：∵AB∴ED=由（1）得BE=5∴ED=5∵CD=11∴EC=11+5=16则tan∠20．（8分）（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为53°，小强站在凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为0.45 m，已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3．（参考数据：sin53°≈4(1)计算台阶DE的高度；(2)求孔子雕像AB的高度．【答案】(1)0.15(2)2.4【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．（1）根据凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3（2）设AB的对边为MN，作DF⊥MN于F，根据矩形的性质得到FN=【详解】（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3，EC为0.45∴DEEC∴DE即台阶DE的高度为0.15m（2）解：如图所示，设AB的对边为MN，作DF⊥MN于∴由题意得，四边形NFDE是矩形，∴FN=DE=0.15设MN=xm在Rt△MFD中，∴FD=∴NC=∴tan53°=MNNC解得x=2.4经检验，x=2.4答：孔子雕像AB的高度约2.4m21．（10分）（2025·吉林松原·模拟预测）图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC(1)在图①中的BC边上找一点E，使tan∠(2)在图②中画△ABC的角平分线AD(3)在图③中的AB边上画一点M，使AM:【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题主要考查三角函数的知识、等腰三角形三线合一的知识、相似三角形的知识．（1）线根据三角函数与边的关系得出ECAC=1（2）根据等腰三角形的三线合一的知识，先构造等腰三角形，再找到底边中点连线即可．（3）根据相似三角形对应边成比例构造4:3的等腰三角形即可．【详解】（1）解：如图所示：∵tan∠∴ECAC∵AC=4∴EC4∴EC=2（2）如图所示：∵AC=4，CB∴AB=以点A为顶点，构造等腰三角形，根据三线合一的知识可知等腰三角形的中线是顶点的角平分线．（3）如图所示：22．（10分）（2025·山西吕梁·二模）汾河是三晋大地的母亲河，以七百里的磅礴之躯滋养千年文明，用一泓碧水映照新时代的生态华章．在综合实践课上，实践小组使用无人机测量汾河（图1）某段的宽度．如图2，他们在河岸一侧的观景台（矩形ABCD）上升起一架无人机，当无人机飞到河面上方点P处，测得观景台正对岸Q处的俯角为63.6°，测得观景台顶端A处的俯角为47.3°，测得观景台顶端D处的俯角为36.7°，已知观景台高AB为10米，台面宽AD为16米（图中所有点均在同一平面内，Q,B,C三点共线），求此河段的宽QC．（结果保留一位小数，参考数据：tan47.3°≈1.08【答案】该河段的宽QC约为76.9米．【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，矩形的判定与性质．过点P作PF⊥BQ于点E，过点A作AF⊥PE于点F．设PF=h米，AF=BE=a米，利用解直角三角形得到h【详解】解：如图，过点P作PF⊥BQ于点E，过点A作AF⊥则四边形ABEF为矩形，根据题意得∠PQE=∠MPQ=63.6°，∠PAF设PF=h米，AF在Rt△APF中，即h=在Rt△PDF中，即h=∴a解得a≈36.36∴PE在Rt△PEQ∴QC∴该河段的宽QC约为76.9米．23．（12分）阅读下列材料：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点在RtΔBCD中，CD=a在RtΔACD∴∴a根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在ΔABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC【答案】(1)见解析(2)1800【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．【详解】（1）证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点在RtΔABD中，在RtΔACD中，∴csin∴bsin（2）解：如图3，过点A作AE⊥BC于点∵∠BAC=67°，∴∠C在RtΔACE又∵ACsin即800.8∴BC=90∴S△【点睛】本题考查了解