安徽省皖江联盟2026届高二数学第一学期期末达标检测试题含解析

安徽省皖江联盟2026届高二数学第一学期期末达标检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．2021年11月，郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名单．某数学建模小组为测量塔的高度，获得了以下数据：甲同学在二七广场A地测得纪念塔顶D的仰角为45°，乙同学在二七广场B地测得纪念塔顶D的仰角为30°，塔底为C，（A，B，C在同一水平面上，平面ABC），测得，，则纪念塔的高CD为（）A.40m B.63mC.m D.m2．把点随机投入长为，宽为的矩形内，则点与矩形四边的距离均不小于的概率为（）A. B.C. D.3．已知直线，，若，则实数等于（）A.0 B.1C. D.1或4．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图所示的杨辉三角中，第8行，第3个数是（）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641……A.21 B.28C.36 D.565．直线的倾斜角是（）A. B.C. D.6．“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件7．变量，满足约束条件则的最小值为()A. B.C. D.58．已知抛物线的焦点为，为抛物线上第一象限的点，若，则直线的倾斜角为（）A. B.C. D.9．在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A. B.C. D.10．等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，且则的实轴长为A.1 B.2C.4 D.811．复数的共轭复数的虚部为（）A. B.C. D.12．设，是椭圆C：的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率_________14．，若2是与的等比中项，则的最小值为___________.15．椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点的直线交该椭圆于两点，若的内切圆面积为，两点的坐标分别为，，则的面积________，的值为________.16．已知数列的前n项和为，则取得最大值时n的值为__________________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点、分别是椭圆C：）的左、右焦点，点P在椭圆C上，当∠PF1F2=时，面积达到最大，且最大值为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：与椭圆C交于A、B两点，求面积的最大值.18．（12分）已知圆C过两点，，且圆心C在直线上（1）求圆C的方程；（2）过点作圆C的切线，求切线方程19．（12分）已知圆M的方程为.（1）写出圆M的圆心坐标和半径；（2）经过点的直线l被圆M截得弦长为，求l的方程.20．（12分）已知数列中，，___________，其中.（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：数列是等比数列；（3）求数列的前n项和.从①前n项和，②，③且，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答.21．（12分）若函数与的图象有一条与直线平行的公共切线，求实数a的值22．（10分）设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设左、右顶点分别为、，点在椭圆上（异于点、），求的值；（3）过点作一条直线与椭圆交于两点，过作直线的垂线，垂足为.试问：直线与是否交于定点？若是，求出该定点的坐标，否则说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】设，先表示出，再利用余弦定理即可求解.【详解】如图所示，，设塔高为，因为平面ABC，所以，所以，又，即，解得.故选：B.2、A【解析】确定矩形四边的距离均不小于的点构成的区域，由几何概型面积型的公式计算可得结果.【详解】若点与矩形四边的距离均不小于，则其落在如图所示的阴影区域内，所求概率.故选：A.3、C【解析】由题意可得，则由得，从而可求出的值【详解】由题意可得，因为，，，所以，解得，故选：C4、B【解析】由题意知第8行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，可得第8行，第3个数是为，即可求解【详解】解：由题意知第8行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，故第8行，第3个数是为故选：B5、A【解析】将直线方程化为斜截式，由此确定斜率；根据斜率和倾斜角关系可得结果.【详解】设直线的倾斜角为，则，由得：，则斜率，.故选：A.6、D【解析】根据充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质，即可求解.【详解】由，可得，即，当时，，但的符号不确定，所以充分性不成立；反之当时，也不一定成立，所以必要性不成立，所以是的即不充分也不必要条件.故选：D.7、A【解析】根据不等式组，作出可行域，数形结合即可求z的最小值.【详解】根据不等式组作出可行域如图，，则直线过A(－1，0)时，z取最小值.故选：A.8、C【解析】设点，其中，，根据抛物线的定义求得点的坐标，即可求得直线的斜率，即可得解.【详解】设点，其中，，则，可得，则，所以点，故，因此，直线的倾斜角为.故选：C.9、D【解析】由题，求得圆的圆心和半径，易知最长弦，最短弦为过点与垂直的弦，再求得BD的长，可得面积.【详解】圆化简为可得圆心为易知过点的最长弦为直径，即而最短弦为过与垂直的弦，圆心到的距离：所以弦所以四边形ABCD的面积：故选：D10、B【解析】设等轴双曲线的方程为抛物线,抛物线准线方程为设等轴双曲线与抛物线的准线的两个交点,，则,将，代入，得等轴双曲线的方程为的实轴长为故选11、B【解析】先根据复数除法与加法运算求解得，再求共轭复数及其虚部.【详解】解：，所以其共轭复数为，其虚部为故选：B12、B【解析】先设，根据P在椭圆上得到，由，得到的范围，即为离心率的范围.【详解】由椭圆的方程可得，，设，由，则，即，由P在椭圆上可得，所以，代入可得所以，因为，所以整理可得：，消去得：所以，即所以.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码概率，故该密码被成功破译的概率故答案为：14、3【解析】根据等比中项列方程，结合基本不等式求得的最小值.【详解】由题可得，则，当且仅当时等号成立.故答案为：15、①.6②.3【解析】由题意得，由内切圆面积为可得其半径，根据焦点三角形面积公式可得第一空答案，结合面积公式和等面积法建立等式化简即可.【详解】解：由得由内切圆面积为可得其半径，设其内切圆圆心为则又所以.故答案为：6；3【点睛】椭圆中常用面积公式：（1）(表示边上的高)；（2）；（3）(为三角形内切圆半径)；（4）.16、①.13②.##3.4【解析】由题可得利用函数的单调性可得取得最大值时n的值，然后利用，即求.【详解】∵，∴当时，单调递减且，当时，单调递减且，∴时，取得最大值，∴.故答案为：13；.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）3【解析】（1）根据焦点三角形的性质可求出，从而可得标准方程,（2）联立直线方程和椭圆方程，消元后利用公式表示三角形面积，从而可求面积的最大值.小问1详解】△PF1F2面积达到最大时为椭圆的上顶点或下顶点，而此时∠PF1F2=，故面积最大时为等边三角形，故，因面积的最大值为，故，故，故椭圆的标准方程为：.【小问2详解】设，则由可得，此时恒成立.而，到的距离为,故的面积，令，设，则，故在上为增函数，故即的最大值为3.18、（1）．（或标准形式）（2）或【解析】（1）根据题意，求出中垂线方程，与直线联立，可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案；（2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案【小问1详解】解：根据题意，因为圆过两点，，设的中点为，则，因为，所以的中垂线方程为，即又因为圆心在直线上，联立，解得，所以圆心，半径，故圆的方程为，【小问2详解】解：当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为即（*）由圆心C到切线的距离，可得将代入（*），得切线方程为综上，所求切线方程为或19、（1）圆心坐标为，半径为2（2）或【解析】（1）求得圆的标准方程，从而求得圆心和半径.（2）根据直线的斜率存在和不存在进行分类讨论，由此求得的方程.【小问1详解】圆的标准方程为：.所以圆M的圆心坐标为，半径为2.【小问2详解】因为圆M半径为2，直线l被圆M截得弦长为，由垂径定理可知M到直线距离为1.当l不垂直于轴时，设，即，则.解得，于是l的方程为，即.当l垂直于轴时，到点M的距离为1.综上，l的方程为，或.20、（1）（2）见解析（3）【解析】（1）选①，根据与的关系即可得出答案；选②，根据与的关系结合等差数列的定义即可得出答案；选③，利用等差中项法可得数列是等差数列，再求出公差，即可得解；（2）求出数列的通项公式，再根据等比数列的定义即可得证；（3）求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可得出答案.【小问1详解】解：选①，当时，，当时，也成立，所以；选②，因为，所以，所以数列是以为公差的等差数列，所以；选③且，因为，所以数列是等差数列，公差，所以；【小问2详解】解：由（1）得，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列；【小问3详解】解：，，①，②由①②得，所以.21、或3【解析】设出切点，先求和平行且和函数相切的切线，再将切线和联立，求出的值.【详解】设公共切线曲线上的切点坐标为，根据题意，得公共切线的斜率，所以，所以与函数的图像相切的切点坐标为，故可求出公共切线方程为由直线和函数的图像也相切，得方程，即关于x的方程有两个相等的实数根，所以，解得或322、（1）；（2）；（3）是，.【解析】（1）由题意，列出所满足的等量关系式，结合椭圆中的关系，求得，从而求得椭圆的方程；（2）写出，设，利用斜率坐标公式求得两直线斜率，结合点在椭圆上，得出，从而求得结果；（3）设直线的方程为：，，则，联立方程可得：，结合韦达定理，得到，结合直线的方程，得到直线所过的定点坐标.【详解】（1）由题意可知，，又，所