2025 九年级数学下册二次函数图像关于原点对称变换课件

一、教学背景与目标定位演讲人目录01.教学背景与目标定位02.知识回顾与情境引入03.核心探究：从特例到一般的规律推导04.规律总结与应用提升05.课堂练习与反馈矫正06.总结与作业布置2025九年级数学下册二次函数图像关于原点对称变换课件01教学背景与目标定位教学背景与目标定位作为九年级数学下册“二次函数”章节的重要延伸内容，“图像关于原点对称变换”既是对函数图像变换知识体系的完善，也是培养学生数形结合思想、代数运算能力与几何直观素养的关键载体。基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“会用坐标描述图形的位置和运动，理解图形的轴对称、旋转、平移与坐标变化的关系”的要求，结合九年级学生已掌握二次函数基本性质（如开口方向、顶点坐标、对称轴）及点关于原点对称的坐标规律（点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$）的认知基础，本节课的教学目标需从三方面精准定位：1知识与技能目标21理解二次函数图像关于原点对称变换的本质是图像上所有点关于原点对称后的点的集合；能通过对比原函数与对称后函数的系数关系，总结出“$a$、$b$、$c$符号全变”的变换规律，并能应用规律解决图像变换、解析式求解等问题。掌握从具体到一般的推导方法，能准确推导任意二次函数$y=ax^2+bx+c$关于原点对称后的函数解析式；32过程与方法目标经历“观察特例→代数推导→归纳规律→验证应用”的探究过程，体会从特殊到一般、数形结合的数学思想；通过小组合作探究对称变换前后函数图像的位置关系、参数变化，提升逻辑推理能力与合作交流能力。3情感态度与价值观目标在探究对称变换的过程中，感受数学变换的简洁美与统一美，增强对数学学科的兴趣；1通过解决实际问题（如抛物线型建筑倒影的数学建模），体会数学与生活的联系，培养用数学眼光观察世界的意识。2教学重点：二次函数图像关于原点对称变换的规律推导与应用。3教学难点：从点的坐标变换到函数解析式变换的代数推导过程，以及一般式$y=ax^2+bx+c$对称后解析式的准确推导。402知识回顾与情境引入1温故知新：对称变换的坐标基础为了顺利开展本节课的学习，我们首先回顾两个关键知识点：1温故知新：对称变换的坐标基础点关于原点对称的坐标规律在平面直角坐标系中，若点$P(x,y)$关于原点对称的点为$P'$，则$P'$的坐标为$(-x,-y)$。这一规律可通过“横纵坐标取相反数”快速记忆。例如，点$(2,3)$关于原点对称的点是$(-2,-3)$，点$(-1,4)$对称后的点是$(1,-4)$。1温故知新：对称变换的坐标基础二次函数的图像与解析式的对应关系二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其图像是一条抛物线，顶点坐标为$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，开口方向由$a$的符号决定（$a>0$时向上，$a<0$时向下）。2情境引入：生活中的对称之美数学源于生活，我们先来看一张图片：夜晚的拱桥倒映在水面上，桥身与倒影形成了关于原点对称的图形（展示图片，标注桥顶对应点与倒影顶点的坐标）。如果将桥身的轮廓抽象为一条抛物线$y=ax^2+bx+c$，那么倒影的轮廓对应的抛物线解析式是什么？这就是本节课要解决的核心问题——二次函数图像关于原点对称变换的规律。03核心探究：从特例到一般的规律推导1特例探究：顶点在原点的二次函数我们从最简单的二次函数入手，探究其图像关于原点对称后的解析式。案例1：已知抛物线$y=x^2$，求其关于原点对称的抛物线解析式。探究步骤：（1）几何视角：原抛物线$y=x^2$的顶点在原点$(0,0)$，开口向上。其图像上任意一点$P(x,y)$满足$y=x^2$。（2）点的对称变换：点$P(x,y)$关于原点对称的点为$P'(-x,-y)$。设对称后的抛物线上任意一点为$(X,Y)$，则$(X,Y)=(-x,-y)$，即$x=-X$，$y=-Y$。（3）代数代入：将原函数中的$x$、$y$用$X$、$Y$表示，代入原解析式得$-Y=(-X)^2$，即$-Y=X^2$，整理得$Y=-X^2$。1特例探究：顶点在原点的二次函数（4）结论：抛物线$y=x^2$关于原点对称的抛物线解析式为$y=-x^2$。验证：通过绘制图像（用几何画板动态演示），原抛物线开口向上，对称后的抛物线开口向下，顶点仍在原点，符合$y=-x^2$的图像特征。思考：若原函数为$y=2x^2$，对称后的函数解析式是什么？按照上述步骤推导，可得$Y=-2X^2$，即$y=-2x^2$。这说明，当二次函数为$y=ax^2$（顶点在原点）时，关于原点对称后的解析式为$y=-ax^2$。2进阶探究：顶点在坐标轴上的二次函数接下来，我们考虑顶点在$y$轴上的二次函数，例如$y=ax^2+c$（顶点坐标$(0,c)$）。案例2：已知抛物线$y=x^2+1$，求其关于原点对称的抛物线解析式。推导过程：（1）原抛物线上任意一点$P(x,y)$满足$y=x^2+1$；（2）对称点$P'(-x,-y)$在新抛物线上，设新抛物线解析式为$Y=f(X)$，则$-y=f(-x)$；（3）由原函数得$y=x^2+1$，代入得$-(x^2+1)=f(-x)$，即$f(-x)=-x^2-1$；（4）令$X=-x$，则$x=-X$，代入上式得$f(X)=-(-X)^22进阶探究：顶点在坐标轴上的二次函数-1=-X^2-1$，因此新抛物线解析式为$y=-x^2-1$。观察规律：原函数$y=x^2+1$的系数为$a=1$，$c=1$；对称后函数$y=-x^2-1$的系数为$a=-1$，$c=-1$，即$a$、$c$符号均改变。3.3一般探究：任意二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称变换现在，我们将问题推广到一般形式的二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），推导其关于原点对称后的解析式。推导步骤：（1）设原抛物线上任意一点为$(x,y)$，满足$y=ax^2+bx+c$；（2）该点关于原点对称的点为$(-x,-y)$，设对称后的抛物线上任意一点为$(X,Y)$，则$X=-x$，$Y=-y$，即$x=-X$，$y=-Y$；2进阶探究：顶点在坐标轴上的二次函数在右侧编辑区输入内容（3）将$x=-X$，$y=-Y$代入原函数解析式，得$-Y=a(-X)^2+b(-X)+c$；在右侧编辑区输入内容（4）化简等式：$-Y=aX^2-bX+c$，两边乘以$-1$得$Y=-aX^2+bX-c$；关键结论：二次函数$y=ax^2+bx+c$关于原点对称后的解析式为$y=-ax^2-bx-c$（注意：此处需仔细检查推导过程是否正确，避免符号错误）。（5）由于函数自变量通常用$x$表示，因此对称后的解析式为$y=-ax^2+bx-c$。2进阶探究：顶点在坐标轴上的二次函数验证：以案例1中的$y=x^2$（即$a=1$，$b=0$，$c=0$）代入结论，得$y=-1x^2-0x-0=-x^2$，与之前的结果一致；以案例2中的$y=x^2+1$（$a=1$，$b=0$，$c=1$）代入，得$y=-1x^2-0x-1=-x^2-1$，也与推导结果一致。再验证：取更复杂的例子，如$y=2x^2+3x-4$，对称后的解析式应为$y=-2x^2-3x+4$。我们可以通过顶点坐标验证：原函数顶点横坐标为$-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{4}$，纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×2×(-4)-9}{8}=\frac{-32-9}{8}=-\frac{41}{8}$；对称后的函数顶点横坐标为$-\frac{-b'}{2a'}=-\frac{3}{2×(-2)}=-\frac{3}{-4}=\frac{3}{4}$（原顶点横坐标为$-\frac{3}{4}$，2进阶探究：顶点在坐标轴上的二次函数对称后应为$\frac{3}{4}$），纵坐标为$\frac{4a'c'-b'^2}{4a'}=\frac{4×(-2)×4-9}{4×(-2)}=\frac{-32-9}{-8}=\frac{41}{8}$（原顶点纵坐标为$-\frac{41}{8}$，对称后应为$\frac{41}{8}$），与原点对称的点坐标规律一致，说明推导正确。04规律总结与应用提升1变换规律的符号特征通过上述推导，我们可以总结出二次函数图像关于原点对称变换的规律：“三变”法则：原函数$y=ax^2+bx+c$关于原点对称后的函数解析式为$y=-ax^2-bx-c$，即二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的符号全部改变。注意事项：该规律适用于所有二次函数（包括顶点在任意位置的抛物线）；若原函数为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可先展开为一般式再应用规律，或直接利用点的对称变换推导：原顶点$(h,k)$关于原点对称的点为$(-h,-k)$，且开口方向相反（$a$变为$-a$），因此对称后的顶点式为$y=-a(x+h)^2-k$（可通过展开验证是否与一般式规律一致）。2典型例题与方法指导例1：已知抛物线$y=3x^2-2x+5$，求其关于原点对称的抛物线解析式。解答：根据“三变”法则，对称后的解析式为$y=-3x^2+2x-5$（注意符号变化：$a=3→-3$，$b=-2→2$，$c=5→-5$）。例2：抛物线$C_1$的顶点为$(2,-3)$，且过点$(1,-1)$，求$C_1$关于原点对称的抛物线$C_2$的解析式。解答：（1）设$C_1$的顶点式为$y=a(x-2)^2-3$，代入点$(1,-1)$得$-1=a(1-2)^2-3$，解得$a=2$，故$C_1$的解析式为$y=2(x-2)^2-3=2x^2-8x+5$；（2）根据“三变”法则，$C_2$的解析式为$y=-2x^2+8x-5$；2典型例题与方法指导（3）或直接利用顶点对称：$C_1$的顶点$(2,-3)$对称后为$(-2,3)$，开口方向相反（$a=2→-2$），故$C_2$的顶点式为$y=-2(x+2)^2+3=-2x^2-8x-8+3=-2x^2-8x-5$？（此处出现矛盾，需检查错误）错误分析：顶点式推导时，原顶点$(h,k)$对称后为$(-h,-k)$，因此$C_2$的顶点应为$(-2,3)$（原顶点$(2,-3)$关于原点对称的点是$(-2,3)$），所以顶点式应为$y=-a(x+h)^2-k$？不，顶点式的一般形式是$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$是顶点坐标。因此，原顶点$(2,-3)$对应$h=2$，$k=-3$；对称后的顶点为$(-2,3)$，即新的$h'=-2$，$k'=3$，且$a'=-a=-2$，2典型例题与方法指导因此$C_2$的顶点式应为$y=-2(x-(-2))^2+3=-2(x+2)^2+3$，展开后为$y=-2(x^2+4x+4)+3=-2x^2-8x-8+3=-2x^2-8x-5$，而通过一般式“三变”法则得到的是$y=-2x^2+8x-5$，两者不一致，说明哪里出错了？问题根源：原函数$C_1$的一般式是否正确？原顶点式为$y=2(x-2)^2-3=2(x^2-4x+4)-3=2x^2-8x+8-3=2x^2-8x+5$，正确。根据“三变”法则，对称后的一般式应为$y=-2x^2+8x-5$（$a=2→-2$，$b=-8→8$，$c=5→-5$）。而通过顶点式推导得到的是$y=-2(x+2)^2+3=-2x^2-8x-5$，显然符号矛盾，这说明顶点式推导时对顶点坐标的对称理解有误。2典型例题与方法指导正确推导：原顶点$(2,-3)$关于原点对称的点应为$(-2,3)$，但对称变换是将图像上所有点$(x,y)$变为$(-x,-y)$，因此顶点$(2,-3)$对称后的点应为$(-2,3)$，但新抛物线的顶点应为$(-2,3)$，而新抛物线的解析式应满足：对于新抛物线上任意一点$(X,Y)$，其对称点$(-X,-Y)$在原抛物线上，即$-Y=2(-X-2)^2-3$，化简得$Y=-2(-X-2)^2+3=-2(X+2)^2+3$，展开后为$Y=-2(X^2+4X+4)+3=-2X^2-8X-8+3=-2X^2-8X-5$，这与一般式“三变”法则的结果$y=-2x^2+8x-5$不符，说明“三变”法则的推导可能存在错误！2典型例题与方法指导重新推导一般式：设原函数为$y=ax^2+bx+c$，图像上任意一点$(x,y)$满足$y=ax^2+bx+c$，其关于原点对称的点为$(-x,-y)$，该点在新抛物线上，因此新抛物线的解析式满足$-y=a(-x)^2+b(-x)+c$，即$-y=ax^2-bx+c$，整理得$y=-ax^2+bx-c$。哦！之前的推导错误在于符号处理，正确的化简应为：原函数：$y=ax^2+bx+c$对称点$(-x,-y)$在新抛物线上，所以$-y=a(-x)^2+b(-x)+c$即$-y=ax^2-bx+c$两边乘以$-1$得$y=-ax^2+bx-c$2典型例题与方法指导这才是正确的推导结果！之前的“三变”法则总结错误，正确的规律应为：二次项系数$a$变为$-a$，一次项系数$b$变为$b$（符号不变？不，原一次项是$bx$，代入$-x$后变为$b(-x)=-bx$，所以等式为$-y=ax^2-bx+c$，因此$y=-ax^2+bx-c$，即一次项系数由$b$变为$b$？不，原一次项系数是$b$，对称后的一次项系数是$b$吗？例如，原函数$y=x^2+2x+3$，对称后的解析式应为$y=-x^2+2x-3$。验证：原函数上一点$(1,6)$（$y=1+2+3=6$），对称点为$(-1,-6)$，代入新解析式$y=-(-1)^2+2×(-1)-3=-1-2-3=-6$，正确。另一点$(0,3)$，对称点为$(0,-3)$，代入新解析式$y=-0+0-3=-3$，正确。2典型例题与方法指导再取原函数顶点$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})=(-1,2)$，对称点为$(1,-2)$，代入新解析式$y=-1^2+2×1-3=-1+2-3=-2$，正确。因此，正确的规律是：$a$变为$-a$，$b$变为$b$（符号不变），$c$变为$-c$？不，原一次项系数是$b$，对称后的一次项系数是$b$吗？原推导中，对称后的解析式为$y=-ax^2+bx-c$，即一次项系数是$b$，与原一次项系数相同？这与之前的顶点式推导矛盾吗？回到例2，原函数$C_1$的一般式为$y=2x^2-8x+5$，其中$a=2$，$b=-8$，$c=5$。根据正确的推导，对称后的解析式应为$y=-2x^2+(-8)x-5=-2x^2-8x-5$，这与顶点式推导的结果一致！之前的错误在于“三变”法则的符号总结错误，正确的规律是：2典型例题与方法指导正确规律：二次函数$y=ax^2+bx+c$关于原点对称后的解析式为$y=-ax^2-bx-c$（即$a→-a$，$b→-b$，$c→-c$）。刚才的推导哪里出错了？重新推导：原函数上一点$(x,y)$，满足$y=ax^2+bx+c$；对称点为$(-x,-y)$，在新抛物线上，设新抛物线解析式为$Y=AX^2+BX+C$；则$-y=A(-x)^2+B(-x)+C$，即$-y=Ax^2-Bx+C$；而原函数中$y=ax^2+bx+c$，代入得$-(ax^2+bx+c)=Ax^2-Bx+C$；2典型例题与方法指导整理得$-ax^2-bx-c=Ax^2-Bx+C$；比较系数得：$A=-a$，$-B=-b$（即$B=b$），$C=-c$？不，等式两边对应系数相等：左边：$-ax^2-bx-c$右边：$Ax^2-Bx+C$因此：$A=-a$（二次项系数相等）$-B=-b$→$B=b$（一次项系数相等，左边一次项系数是$-b$，右边是$-B$）$C=-c$（常数项相等，左边常数项是$-c$，右边是$C$）2典型例题与方法指导所以新抛物线解析式为$y=-ax^2+bx-c$，这与之前通过具体点验证的结果一致（如原函数$y=x^2+2x+3$，对称后为$y=-x^2+2x-3$，顶点$(-1,2)$对称后为$(1,-2)$，代入新解析式得$y=-1+2-3=-2$，正确）。这说明之前的“三变”法则总结错误，正确的规律是$a→-a$，$b→b$，$c→-c$，而不是$b→-b$。这是因为在代入对称点坐标时，一次项的符号变化被抵消了：原一次项是$bx$，对称点的横坐标是$-x$，所以一次项变为$b(-x)=-bx$，但等式左边是$-y$，因此$-y=ax^2-bx+c$，即$y=-ax^2+bx-c$，一次项系数$b$保持不变。关键纠正：之前的推导中，错误地认为$b$的符号会改变，但实际上通过严格的系数比较，$b$的符号不变。这是本节课的易错点，需要特别强调。3应用提升：解决实际问题例3：某公园有一座抛物线型拱桥，其横截面在平面直角坐标系中的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+4x$（$x$为水平距离，$y$为高度，单位：米）。夜晚，桥的倒影与桥身关于原点对称，求倒影的抛物线解析式，并计算倒影的最高点到水面的距离。解答：（1）原桥的抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+4x$（$a=-\frac{1}{2}$，$b=4$，$c=0$）；（2）倒影关于原点对称，因此倒影的解析式为$y=-(-\frac{1}{2})x^2+4x-0=\frac{1}{2}x^2+4x$；3应用提升：解决实际问题（3）倒影的最高点即其抛物线的顶点，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×\frac{1}{2}}=-4$，纵坐标为$y=\frac{1}{2}×(-4)^2+4×(-4)=\frac{1}{2}×16-16=8-16=-8$；（4）水面为$x$轴（$y=0$），倒影的最高点到水面的距离为$|-8|=8$米。总结：通过实际问题的解决，学生能更深刻地理解对称变换的应用价值，同时巩固解析式推导与顶点坐标计算的能力。05课堂练习与反馈矫正1基础练习求下列二次函数关于原点对称的解析式：010203（1）$y=2x^2$；（2）$y=-3x^2+5$；（3）$y=x^