2025 九年级数学下册二次函数图像左右平移后与 y 轴交点变化课件

一、教学背景分析演讲人目录01.教学背景分析07.课后作业布置03.教学重点与难点05.活动6：典型例题解析02.教学目标设定04.教学过程设计06.课堂小结与知识升华2025九年级数学下册二次函数图像左右平移后与y轴交点变化课件01教学背景分析教学背景分析作为初中数学“函数与图像”模块的核心内容，二次函数的图像变换是衔接一次函数与高中函数的重要桥梁。在九年级下册的教材体系中，学生已掌握二次函数的基本形式（一般式、顶点式）、图像的顶点、对称轴等核心特征，以及上下平移对图像的影响规律。而“左右平移后与y轴交点的变化”这一课题，既是对平移变换知识的深化，也是对函数与坐标轴交点问题的综合应用，更是培养学生“数形结合”“代数推理”等数学核心素养的关键载体。从学情来看，九年级学生已具备初步的函数图像分析能力，但对“平移方向与表达式变化的对应关系”（如“左加右减”的符号规则）仍存在理解偏差；对“函数与y轴交点”的本质（即x=0时的函数值）虽能计算，但难以将其与图像平移的动态过程联系起来。因此，本节课需通过“具体实例→观察归纳→代数验证→几何解释”的递进式探究，帮助学生突破“符号规则与几何变化的对应”这一认知难点。02教学目标设定知识与技能目标掌握二次函数图像左右平移后与y轴交点坐标的计算方法；归纳并验证“左右平移量与y轴交点纵坐标变化量”的定量关系。理解二次函数图像左右平移的表达式变化规律（“左加右减”）；过程与方法目标通过“特例计算—数据对比—规律猜想—代数证明”的探究过程，提升归纳推理与逻辑验证能力；结合图像动态演示，体会“数”（表达式）与“形”（交点位置）的相互转化，深化数形结合思想。情感态度与价值观目标在探究中感受数学规律的简洁性与普适性，激发对函数变换的探索兴趣；通过小组合作与成果展示，培养交流分享与严谨求证的科学态度。03教学重点与难点教学重点与难点重点：二次函数图像左右平移后与y轴交点的变化规律及推导过程。难点：从具体实例中抽象出“平移量m与交点纵坐标变化量Δy”的定量关系，并理解其几何意义。04教学过程设计1情境引入：从生活现象到数学问题（展示图片：两座抛物线型拱桥，一座未平移，另一座整体水平移动后横跨不同位置的河道）“同学们，这是某城市的两座景观拱桥，设计师将其中一座向左平移了2米。观察图片，平移后的拱桥与‘水位线’（即y轴）的交点位置发生了什么变化？如果我们用二次函数描述拱桥的形状，那么左右平移后，函数与y轴的交点会如何变化？这就是我们今天要探究的核心问题。”（设计意图：以生活实例激发兴趣，将“y轴交点”与“实际位置”关联，降低抽象感。）4.2知识回顾：二次函数的平移与y轴交点的本质1情境引入：从生活现象到数学问题活动1：复习平移规则与交点定义提问1：二次函数的顶点式是什么？顶点坐标如何表示？（学生回答：y=a(x-h)²+k，顶点(h,k)）提问2：将图像向左平移m个单位，顶点坐标如何变化？表达式如何调整？（学生讨论后总结：顶点变为(h-m,k)，表达式为y=a(x-h+m)²+k，即“左加右减”）提问3：函数与y轴的交点坐标如何求？（学生回答：令x=0，求y值，即(0,y(0))）（教师补充强调：y轴交点的本质是“x=0时的函数值”，这是后续计算的关键。）活动2：特例计算，观察变化给出具体函数：y=x²（记为原函数C₀），分别向左平移2个单位（C₁：y=(x+2)²）、向右平移3个单位（C₂：y=(x-3)²）。1情境引入：从生活现象到数学问题活动1：复习平移规则与交点定义任务：计算C₀、C₁、C₂与y轴的交点坐标，填写表格：|函数|表达式|与y轴交点坐标（x=0时y值）||------|--------------|---------------------------||C₀|y=x²|(0,0)||C₁|y=(x+2)²|(0,4)||C₂|y=(x-3)²|(0,9)|提问4：观察表格，左右平移后，y轴交点的纵坐标如何变化？（学生发现：向左平移2个单位，y从0→4；向右平移3个单位，y从0→9；变化量分别为+4、+9）1情境引入：从生活现象到数学问题活动1：复习平移规则与交点定义提问5：平移量（m）与变化量（Δy）有何关系？（学生猜想：Δy=m²，其中向左平移m取正，向右平移m取正？）（设计意图：通过具体数值计算，让学生初步感知规律，为后续一般化推导铺垫。）3深入探究：从特例到一般的规律推导活动3：一般式推导，验证猜想设原二次函数为顶点式y=a(x-h)²+k（a≠0），其与y轴交点为(0,a(0-h)²+k)=(0,ah²+k)。01将图像向左平移m个单位（m>0），新函数表达式为y=a(x-h+m)²+k，与y轴交点为(0,a(0-h+m)²+k)=(0,a(m-h)²+k)。02计算交点纵坐标的变化量Δy=[a(m-h)²+k]-[ah²+k]=a(m²-2hm+h²)-ah²=am²-2ahm。033深入探究：从特例到一般的规律推导活动3：一般式推导，验证猜想同理，向右平移m个单位（m>0），新函数表达式为y=a(x-h-m)²+k，与y轴交点为(0,a(-h-m)²+k)=(0,a(h+m)²+k)，变化量Δy=a(h+m)²+k-(ah²+k)=am²+2ahm。（教师板书推导过程，强调每一步的代数依据，如完全平方公式的展开。）活动4：对比特例，验证规律回到之前的特例：原函数y=x²（即a=1,h=0,k=0）。向左平移2个单位（m=2）：Δy=1×2²-2×1×0×2=4，与计算结果一致；3深入探究：从特例到一般的规律推导活动3：一般式推导，验证猜想向右平移3个单位（m=3）：Δy=1×3²+2×1×0×3=9，与计算结果一致。1再取另一例：原函数y=2(x-1)²+3（a=2,h=1,k=3），向右平移2个单位（m=2）。2原交点纵坐标：2×1²+3=5；3新函数表达式：y=2(x-1-2)²+3=2(x-3)²+3；4新交点纵坐标：2×(-3)²+3=2×9+3=21；5Δy=21-5=16；6根据公式计算：Δy=2×2²+2×2×1×2=8+8=16，完全一致。7（学生分组验证不同a、h、m值的情况，教师巡视指导，解决计算错误。）83深入探究：从特例到一般的规律推导活动3：一般式推导，验证猜想活动5：几何视角解释规律结合图像动态演示（使用几何画板）：原函数顶点为(h,k)，与y轴交点为(0,ah²+k)；向左平移m个单位后，顶点变为(h-m,k)，此时图像在x=0处的“竖直高度”由顶点横向移动引起的水平距离变化决定——原顶点到y轴的水平距离为|h|，平移后变为|h-m|，因此x=0处的函数值变化与这两个距离的平方差相关（因二次函数的“开口宽窄”由a决定）。（设计意图：通过代数推导与几何直观的结合，帮助学生从“数”和“形”两个维度理解规律，突破抽象思维障碍。）05活动6：典型例题解析活动6：典型例题解析例1：已知二次函数y=-(x+2)²+5，将其向右平移4个单位后，求新函数与y轴的交点坐标。解析步骤：原函数与y轴交点：x=0时，y=-(0+2)²+5=-4+5=1；向右平移4个单位，m=4，a=-1,h=-2（原顶点式中h=-2）；新交点纵坐标=原纵坐标+Δy=1+[am²+2ahm]=1+[(-1)×16+2×(-1)×(-2)×4]=1+(-16+16)=1；活动6：典型例题解析验证：新函数表达式为y=-(x+2-4)²+5=-(x-2)²+5，x=0时y=-4+5=1，结果一致。例2：若二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）向左平移3个单位后，与y轴交点的纵坐标比原函数增加了18，求a的值。解析思路：原函数与y轴交点为(0,c)；向左平移3个单位后，表达式为y=a(x+3)²+b(x+3)+c=ax²+(6a+b)x+(9a+3b+c)；新交点纵坐标为9a+3b+c；活动6：典型例题解析变化量Δy=(9a+3b+c)-c=9a+3b=18；但原函数的顶点式为y=a(x+b/(2a))²+(c-b²/(4a))，即h=-b/(2a)；根据规律Δy=am²-2ahm=a×9-2a×(-b/(2a))×3=9a+3b，与步骤4一致，因此9a+3b=18，需更多条件求a？（学生发现题目可能隐含原函数为y=ax²，即b=0，此时9a=18，a=2）（教师强调：当题目未明确函数形式时，需注意是否隐含“顶点在原点”等条件，避免漏解。）活动7：学生易错点总结活动6：典型例题解析通过学生练习反馈，总结常见错误：平移方向与符号混淆（如向左平移m个单位，错误写成“-m”）；计算Δy时忽略a的影响（如认为Δy=m²，而实际与a相关）；顶点式中h的符号错误（如y=a(x-5)²的h=5，而非-5）。（设计意图：通过例题应用与错误分析，强化规律的灵活运用，提升解题准确性。）06课堂小结与知识升华1核心知识回顾二次函数左右平移的表达式变化：左移m个单位→y=a(x-h+m)²+k；右移m个单位→y=a(x-h-m)²+k；与y轴交点的本质：x=0时的函数值，即(0,y(0))；平移后交点纵坐标的变化规律：左移m个单位：Δy=am²-2ahm；右移m个单位：Δy=am²+2ahm；（其中h为原函数顶点的横坐标，a为二次项系数）2数学思想提炼从特殊到一般：通过具体函数实例归纳规律，再通过一般式推导验证普适性；符号意识：平移方向的“左加右减”符号规则与交点变化量的符号（Δy的正负）需准确对应。数形结合：通过图像平移的动态过程理解代数表达式的变化，通过交点坐标的计算验证图像特征；3情感升华“今天我们通过观察、计算、推导，揭示了二次函数左右平移与y轴交点变化的规律。这一过程不仅让我们掌握了具体的数学知识，更重要的是学会了用‘代数推导’验证‘直观猜想’，用‘几何视角’解释‘代数结果’——这正是数学探索的魅力所在。希望同学们在后续学习中，继续保持这种‘大胆猜想、严谨求证’的科学态度！”07课后作业布置课后作业布置基础题：已知y=3(x-1)²+2，向左平移5个单位后，求新函数与y轴的交点坐标；若二次函数y=-2x²向右平移m个单位后，与y轴交点纵坐标为-8，求m的值。拓展题：探究：若二次函数图像左右平移后，与y轴交点不变，需满足什么条件？（