2025 九年级数学下册相似三角形中对应高线比例计算典型例题课件

一、教学目标定位：明确方向，锚定核心素养演讲人CONTENTS教学目标定位：明确方向，锚定核心素养知识铺垫：温故知新，搭建思维阶梯核心探究：推导证明，揭示比例本质典型例题：分层突破，深化应用能力总结提升：凝练核心，构建知识网络课后作业：分层巩固，满足个性需求目录2025九年级数学下册相似三角形中对应高线比例计算典型例题课件01教学目标定位：明确方向，锚定核心素养教学目标定位：明确方向，锚定核心素养作为一线数学教师，我始终认为，一节数学课的成功与否，首先取决于教学目标是否精准对接学生的认知发展需求。基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“图形的相似”模块的要求，结合九年级学生已掌握的相似三角形判定与基本性质（如对应边成比例、对应角相等），本节课的教学目标可从以下三个维度构建：1知识与技能目标STEP1STEP2STEP3理解相似三角形对应高线的定义，能准确识别相似三角形中“对应高线”的位置关系；掌握“相似三角形对应高线的比等于相似比”这一性质的推导过程，能运用该性质解决与高线长度、相似比相关的计算问题；能结合相似三角形的面积比、周长比等其他性质，综合解决涉及高线比例的复杂问题。2过程与方法目标通过“观察猜想—推理论证—应用验证”的探究过程，培养学生从特殊到一般的归纳能力与逻辑推理能力；在例题分析中，引导学生建立“相似比”这一核心桥梁，学会将高线比例问题转化为相似三角形基本性质的应用问题，提升数学建模能力。3情感态度与价值观目标通过对相似三角形对称性、比例美的体验，激发学生对几何图形的探究兴趣；在解决实际问题（如测量建筑物高度）的过程中，体会数学与生活的联系，增强用数学眼光观察世界的意识。02知识铺垫：温故知新，搭建思维阶梯知识铺垫：温故知新，搭建思维阶梯在正式探究对应高线的比例关系前，必须确保学生已扎实掌握相似三角形的基础理论。我常说：“几何学习就像建房子，每一块砖都要码稳。”以下是本节课需要回顾的关键知识点：1相似三角形的定义与符号表示定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形；符号：若△ABC∽△A'B'C'，则∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，且$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$（k为相似比）。2相似三角形的基本性质1对应角相等；2对应边的比等于相似比；3周长比等于相似比；4面积比等于相似比的平方（这一点后续与高线比例结合时会用到）。3三角形高线的定义与作用030201定义：从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点到垂足间的线段叫做三角形的高线；作用：高线是连接三角形“边”与“面积”的桥梁（面积=底×高÷2），也是研究三角形形状（如锐角、直角、钝角三角形）的重要元素。过渡：当两个三角形相似时，它们的对应边、对应角已有明确的比例关系，那么对应边上的高线是否也存在某种规律？这正是我们接下来要探索的核心问题。03核心探究：推导证明，揭示比例本质1问题引入：从特殊到一般的猜想我曾在课堂上展示过这样一组图形：△ABC∽△A'B'C'，相似比为2:1，其中BC边上的高为AD，B'C'边上的高为A'D'。学生通过测量发现AD=2A'D'，初步猜想“相似三角形对应高线的比等于相似比”。为验证这一猜想，我们需要进行严格的推理论证。2定理推导：逻辑严谨，步步有据已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，即$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$，AD⊥BC于D，A'D'⊥B'C'于D'。求证：$\frac{AD}{A'D'}=k$。证明过程：由相似三角形的性质可知，∠B=∠B'（对应角相等）；因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'=90（高线的定义）；在△ABD和△A'B'D'中，∠B=∠B'，∠ADB=∠A'D'B'，因此△ABD∽△A'B'D'（两角分别相等的两个三角形相似）；2定理推导：逻辑严谨，步步有据由相似三角形的性质可得$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$（对应边成比例）。结论：相似三角形对应高线的比等于相似比。关键点强调：“对应”二字是核心，高线必须是对应边上的高线（如AD对应A'D'，分别在对应边BC和B'C'上）；推导过程中用到了“相似三角形的判定（AA）”和“相似三角形的性质（对应边成比例）”，体现了知识的连贯性；该定理可推广到对应中线、对应角平分线，其比例均等于相似比（这一点可作为课后思考，鼓励学生自主推导）。04典型例题：分层突破，深化应用能力典型例题：分层突破，深化应用能力数学知识的价值最终体现在应用中。为帮助学生熟练运用“对应高线比例等于相似比”这一性质，我设计了以下三类例题，从基础到综合，逐步提升思维难度。1基础型例题：直接应用相似比求高线长度例1：已知△ABC∽△DEF，相似比为3:2，△ABC中BC边上的高为9cm，求△DEF中EF边上的高。分析：明确已知条件：相似比k=3:2（即$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{3}{2}$）；确定对应关系：BC与EF是对应边，因此BC边上的高AD与EF边上的高DG是对应高线；应用定理：$\frac{AD}{DG}=k$，即$\frac{9}{DG}=\frac{3}{2}$，解得DG=6cm。1基础型例题：直接应用相似比求高线长度易错点提醒：部分学生易混淆相似比的前后项（如将k误为2:3），需强调“相似比是原三角形与相似三角形的对应边之比”，即若△ABC∽△DEF，则k=$\frac{△ABC的边}{△DEF的对应边}$。2逆向型例题：由高线比例求相似比或边长例2：如图，△ABC∽△A'B'C'，A'D'是△A'B'C'中B'C'边上的高，AD是△ABC中BC边上的高，已知AD=12cm，A'D'=8cm，B'C'=10cm，求BC的长度。分析：由定理可知，相似比k=$\frac{AD}{A'D'}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$；因为BC与B'C'是对应边，所以$\frac{BC}{B'C'}=k$，即$\frac{BC}{10}=\frac{3}{2}$，解得BC=15cm。方法提炼：当题目中给出高线长度时，可先通过高线比例求出相似比，再利用相似比求其他对应边的长度，这是“以高求比，以比求边”的典型思路。3综合型例题：结合面积比与高线比例的应用例3：△ABC与△A'B'C'相似，△ABC的面积为36cm²，△A'B'C'的面积为25cm²，△ABC中AB边上的高为6cm，求△A'B'C'中A'B'边上的高。分析：由相似三角形面积比等于相似比的平方，可得$\frac{S_{△ABC}}{S_{△A'B'C'}}=k^2$，即$\frac{36}{25}=k^2$，解得k=$\frac{6}{5}$（相似比取正值）；设△A'B'C'中A'B'边上的高为h，则根据高线比例定理，$\frac{6}{h}=k=\frac{6}{5}$，解得h=5cm。3综合型例题：结合面积比与高线比例的应用拓展思考：若题目中未直接给出面积比，而是给出两三角形的一组对应边和对应高线，能否求出面积比？（答案：能，面积比=（对应边比）×（对应高线比）=k×k=k²，与定理一致。）4实际应用题：测量场景中的高线比例例4：为测量学校旗杆的高度，小明在某一时刻测得自己的身高为1.6m，影长为2m，同时测得旗杆的影长为15m。已知小明的身高与旗杆的高度可视为两个相似直角三角形的对应高线（太阳光线平行，形成相似三角形），求旗杆的高度。分析：构建相似模型：小明（身高）、影长与旗杆（高度）、影长构成两个相似的直角三角形（△ABC∽△A'B'C'，其中∠C=∠C'=90，∠A=∠A'）；对应高线为身高（1.6m）与旗杆高度（h），对应影长为2m与15m；由相似三角形对应高线比等于相似比，且相似比也等于对应影长比，即$\frac{1.6}{h}=\frac{2}{15}$，解得h=12m。教学价值：通过实际问题，让学生体会“数学建模”的过程——将生活场景抽象为几何模型，再利用相似三角形性质解决问题，增强数学应用意识。05总结提升：凝练核心，构建知识网络1核心知识回顾推导过程的关键：利用相似三角形的判定（AA）证明包含高线的小三角形相似；应用场景：已知相似比求高线长度、已知高线长度求相似比或边长、结合面积比解决综合问题。相似三角形对应高线的比等于相似比（$\frac{h}{h'}=k$）；2思想方法小结转化思想：将高线比例问题转化为相似三角形基本性质的应用；模型思想：通过构建相似三角形模型解决实际测量问题；数形结合：利用图形直观理解高线的“对应”关系，避免因图形复杂导致的对应错误。0301023易错点警示混淆相似比的前后项（如将原三角形与相似三角形的顺序颠倒）；01忽略“对应”关系，误将非对应边上的高线代入比例计算；02在综合题中，未正确关联面积比与相似比的平方关系（如误将面积比等于相似比）。0306课后作业：分层巩固，满足个性需求课后作业：分层巩固，满足个性需求为兼顾不同层次学生的学习需求，作业设计分为基础题、提高题和拓展题：1基础题（必做）已知△MNP∽△QRS，相似比为4:3，△MNP中NP边上的高为8cm，求△QRS中RS边上的高；△XYZ与△X'Y'Z'相似，△XYZ中YZ边上的高为10cm，△X'Y'Z'中Y'Z'边上的高为5cm，求它们的相似比。2提高题（选做）两个相似三角形的面积比为9:16，其中一个三角形的某条边上的高为6cm，求另一个三角形对应边上的高（分两种情况讨论）；如图，在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，AC于E，若DE=4，BC=6，△ADE的高为2cm，求梯形DBCE的高（提示：DE与BC平行，△ADE∽△ABC）。3拓展题（探究）自主推导“相似三角形对应中线的比等于相似比”，并与对应高线的推导过程对比，总结它们的共性；查阅资料，了解“相似三角形对应角平分线的比等于相似比”的证明方法，下节课分享。结语：从比例到本质，感受几何之美回顾本节课，我们从相似三角形的基本性质出发，通过严谨的推理论证，得出了“对应高线比例等于相似比”这一重要结论，并通过典型例题体会了它在计算、测量中的应用。正