2025 九年级数学下册相似三角形中对应角平分线比例计算示例课件

一、教学目标与设计思路演讲人教学目标与设计思路壹知识回顾与问题导入贰定理推导：对应角平分线比例等于相似比叁例题解析：从基础到综合的分层训练肆课堂练习与反馈矫正伍总结升华与作业布置陆目录2025九年级数学下册相似三角形中对应角平分线比例计算示例课件01教学目标与设计思路教学目标与设计思路作为一线数学教师，我始终认为，几何教学的核心不仅是公式的记忆，更是逻辑推理能力的培养与数学思想的渗透。本节课聚焦“相似三角形中对应角平分线的比例计算”，既是对相似三角形性质的深化，也是后续学习相似多边形、三角函数等内容的重要基础。结合新课标要求与九年级学生的认知特点，我将本节课的目标设定为：1知识与技能目标理解相似三角形对应角平分线的比例等于相似比的定理；01掌握利用相似三角形性质解决对应角平分线长度计算的方法；02能在复杂几何图形中准确识别对应角平分线并建立比例关系。032过程与方法目标通过“观察猜想—推理论证—应用拓展”的探究过程，提升逻辑推理能力与几何建模能力；经历从特殊到一般、从直观测量到严谨证明的思维跨越，体会“转化”与“类比”的数学思想。3情感态度与价值观目标在探究过程中感受几何图形的对称美与数学规律的简洁美；通过小组合作与成果分享，增强学习自信心与团队协作意识。02知识回顾与问题导入1相似三角形的核心性质回顾在学习新课前，我们需要先巩固相似三角形的基础性质。记得上节课，我们通过测量、叠合等方法验证了：若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k（即AB/A'B'=BC/B'C'=CA/C'A'=k），则它们的对应角相等（∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'），对应高、对应中线的比也等于相似比k。例如，若AD是△ABC的高，A'D'是△A'B'C'的对应高，则AD/A'D'=k。2从“高、中线”到“角平分线”的自然过渡这里我想问问同学们：既然对应高、中线的比都等于相似比，那么对应角平分线是否也存在类似的比例关系呢？为了直观感受，我提前让大家准备了两组相似三角形（一组相似比为2:1，另一组为3:2），并分别作出了∠A与∠A'的角平分线AD、A'D'。现在请各小组测量AD与A'D'的长度，计算它们的比值。（巡视课堂，观察学生操作）我看到第三小组的测量数据是：原三角形AD=4cm，相似三角形A'D'=2cm，比值为2:1；第五小组的原三角形AD=6cm，相似三角形A'D'=4cm，比值为3:2。这些数据似乎暗示着：对应角平分线的比可能等于相似比。但测量存在误差，我们需要用严谨的几何证明来验证这个猜想。03定理推导：对应角平分线比例等于相似比1明确概念：什么是“对应角平分线”？首先，我们需要准确定义“对应角平分线”。在相似三角形中，“对应”是指角的位置与大小均相同。例如，若△ABC∽△A'B'C'，且∠A对应∠A'，则∠A的角平分线AD与∠A'的角平分线A'D'是对应角平分线，其中D在BC上，D'在B'C'上。2推导过程：从角平分线定理到相似三角形判定要证明AD/A'D'=k，我们需要结合角平分线定理与相似三角形的判定定理。角平分线定理指出：在△ABC中，AD平分∠A，则AB/AC=BD/DC。这个定理是连接角平分线与边长比例的关键桥梁。已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，∠BAC=∠B'A'C'，AD平分∠BAC交BC于D，A'D'平分∠B'A'C'交B'C'于D'。求证：AD/A'D'=k。证明步骤：由相似三角形性质，∠B=∠B'，∠C=∠C'，AB/A'B'=AC/A'C'=BC/B'C'=k；∵AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'，且∠BAC=∠B'A'C'，2推导过程：从角平分线定理到相似三角形判定∴∠BAD=∠BAC/2=∠B'A'C'/2=∠B'A'D'；在△ABD与△A'B'D'中，∠B=∠B'（相似三角形对应角相等），∠BAD=∠B'A'D'（已证），∴△ABD∽△A'B'D'（AA相似判定）；由相似三角形性质，AD/A'D'=AB/A'B'=k（对应边成比例）。（边讲解边板书，重点标注每一步的依据）这里需要特别注意，步骤3中证明△ABD∽△A'B'D'的关键是找到两组对应角相等：一组是原相似三角形的对应角∠B=∠B'，另一组是角平分线分割出的∠BAD=∠B'A'D'。这一步是很多同学容易出错的地方，需要反复强调“对应角”的位置关系。3定理拓展：逆命题是否成立？学有余力的同学可以思考：若两个三角形的一组对应角平分线的比等于相似比，且这两个角相等，能否判定这两个三角形相似？答案是肯定的，同学们可以课后尝试用反证法或SAS相似判定来证明，这将帮助你们更深刻理解定理的本质。04例题解析：从基础到综合的分层训练1基础例题：已知相似比求角平分线长度例1：如图，△ABC∽△DEF，相似比为3:2，∠A的角平分线AG交BC于G，∠D的角平分线DH交EF于H。若AG=9cm，求DH的长度。分析：本题直接应用定理，对应角平分线的比等于相似比。注意相似比的顺序：△ABC与△DEF的相似比为3:2，即AB/DE=3/2，因此AG/DH=3/2。解答：由相似三角形对应角平分线的比等于相似比，得AG/DH=3/2，代入AG=9cm，解得DH=9×2/3=6cm。易错点提醒：相似比的顺序容易颠倒，需明确“前项”对应原三角形，“后项”对应相似三角形。例如，若题目说“△DEF∽△ABC，相似比为2:3”，则DH/AG=2/3，结果仍为6cm，但比例关系的表述不同。2综合例题：结合角平分线定理与相似三角形例2：如图，△ABC中，∠BAC=60，AB=6cm，AC=4cm，AD平分∠BAC交BC于D；△A'B'C'∽△ABC，相似比为1:2，A'D'是∠B'A'C'的角平分线，交B'C'于D'。求A'D'的长度。分析：本题需要分两步解决：首先在△ABC中求出AD的长度，再利用相似比求出A'D'。求AD的长度时，需用到角平分线定理与余弦定理（或面积法）。解答步骤：在△ABC中，由角平分线定理，BD/DC=AB/AC=6/4=3/2，设BD=3x，DC=2x，则BC=5x；由余弦定理，BC²=AB²+AC²-2ABACcos∠BAC=6²+4²-2×6×4×cos60=36+16-24=28，2综合例题：结合角平分线定理与相似三角形∴BC=2√7，即5x=2√7，x=2√7/5，BD=6√7/5，DC=4√7/5；在△ABD中，应用余弦定理求AD：AD²=AB²+BD²-2ABBDcos∠ABD，但∠ABD的余弦值未知，可改用角平分线长度公式：AD=2ABACcos(∠BAC/2)/(AB+AC)=2×6×4×cos30/(6+4)=48×(√3/2)/10=24√3/10=12√3/5（cm）；∵△A'B'C'∽△ABC，相似比为1:2，2综合例题：结合角平分线定理与相似三角形∴A'D'/AD=1/2，A'D'=(12√3/5)×(1/2)=6√3/5（cm）。方法总结：当需要计算角平分线实际长度时，若已知角的大小，可直接使用角平分线长度公式（AD=2bccos(α/2)/(b+c)，其中b、c为角的两边，α为角的大小）；若未知角度，可通过角平分线定理结合余弦定理分步求解。3拓展例题：复杂图形中的对应关系识别例3：如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于F，△ABE与△DFE相似。若∠ABE的角平分线BG交AE于G，∠DFE的角平分线FH交DE于H，且AB=4，DF=2，求BG/FH的值。分析：本题的关键是确定相似三角形的相似比，并找到对应角平分线。首先证明△ABE∽△DFE，再确定对应角（∠ABE对应∠DFE），最后应用定理计算比例。解答步骤：∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD=4，AD∥BC，∴∠ABE=∠DFE（内错角相等），∠BAE=∠FDE（同位角相等），∴△ABE∽△DFE（AA相似）；相似比k=AB/DF=4/2=2（注意对应边：AB对应DF，AE对应DE）；3拓展例题：复杂图形中的对应关系识别∵BG、FH分别是对应角∠ABE、∠DFE的角平分线，∴BG/FH=k=2。思维提升：在复杂图形中，要通过平行、对边相等、公共角等条件寻找相似三角形的对应关系，明确“对应角”的位置是解题的关键。05课堂练习与反馈矫正1基础巩固（5分钟独立完成）若△MNO∽△PQR，相似比为5:3，∠M的角平分线长为10cm，求∠P的角平分线长度。△XYZ中，∠X=90，XY=3，XZ=4，XW平分∠X交YZ于W；△X'Y'Z'∽△XYZ，相似比为2:1，X'W'是∠X'的角平分线，求X'W'的长度。2小组合作（8分钟）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=120，AB=6，AD=2，AM平分∠BAC交BC于M，AN平分∠DAE交DE于N。求证：AM/AN=3，并求△ABC与△ADE的面积比。（巡视指导，重点关注学生是否能正确识别对应角平分线，以及面积比与相似比的关系）3典型错误分析通过学生练习反馈，常见错误集中在：相似比的顺序颠倒（如将原三角形与相似三角形的顺序搞反）；复杂图形中对应角的识别错误（如误将非对应角的角平分线当作对应角平分线）；角平分线长度计算时忘记使用角平分线定理或余弦定理。针对这些问题，我会通过投影展示错误解法，引导学生共同分析纠正，强化“对应”意识与“步骤完整性”。030405010206总结升华与作业布置1知识网络构建本节课我们沿着“观察猜想—推理论证—应用拓展”的路径，探索了相似三角形对应角平分线的比例关系，得出核心结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。这一结论与对应高、对应中线的比例关系共同构成了相似三角形“对应线段比等于相似比”的完整体系，是解决几何计算与证明问题的重要工具。2数学思想渗透在探究过程中，我们运用了“类比”思想（从高、中线类比到角平分线）、“转化”思想（将角平分线比例问题转化为三角形相似问题）、“数形结合”思想（通过图形测量与代数推导验证猜想）。这些思想方法将贯穿整个几何学习，希望同学们用心体会。3分层作业设计基础题：课本P45练习1、2（巩固对应角平分线比例的直接应用）；提高题：如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD平分∠BAC；△A'B'C'∽△ABC，且A'D'=3，求△A'B'C'的周长（综合应用角平分线定理与相似三角形周长比）；