2025 七年级数学上册角平分线的判定定理应用课件

一、教学背景分析：为何要学？演讲人目录01.教学背景分析：为何要学？07.教学反思：以生为本，以思为魂03.教学重难点突破：如何抵达目标？05.教学过程设计：课堂如何落地？02.教学目标设定：我们要到哪里去？04.误区1：忽略“在角的内部”06.课后作业设计：巩固与延伸2025七年级数学上册角平分线的判定定理应用课件作为深耕初中数学教学十余年的一线教师，我始终相信：几何定理的教学不应是冰冷的符号堆砌，而应是一场从观察到猜想、从验证到应用的思维旅程。今天，我们将围绕“角平分线的判定定理”展开深入探究，这既是对“角平分线性质定理”的逆向延伸，也是后续学习三角形内心、角平分线相关作图等内容的重要基础。让我们从“已知”走向“未知”，从“理解”迈向“应用”。01教学背景分析：为何要学？1教材地位与作用角平分线的判定定理是人教版七年级数学上册第四章“几何图形初步”的核心内容之一。在知识体系中，它前承“角平分线的定义”“角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边的距离相等）”，后启“三角形的内心”“角平分线的尺规作图”以及九年级“相似三角形”“解直角三角形”等内容。从能力培养角度看，定理的探究过程能有效训练学生的逆向思维、逻辑推理能力和几何语言表达能力，是初中几何“从实验几何向论证几何过渡”的关键节点。2学情分析：学生的“已知”与“未知”通过前期学习，七年级学生已掌握：①角平分线的定义（一条射线将角分成两个相等的角）；②点到直线的距离的概念（垂线段的长度）；③全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）；④角平分线的性质定理（若点在角平分线上，则到两边距离相等）。但他们的“未知”在于：如何从性质定理出发逆向推导判定定理？如何区分“性质”与“判定”的逻辑关系？如何在复杂图形中准确应用判定定理解决问题？这些正是本节课需要突破的重点。02教学目标设定：我们要到哪里去？1知识与技能目标01准确表述角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上；02能用符号语言规范书写判定定理的推理过程；03能运用判定定理解决“判断点是否在角平分线上”“证明两条射线重合”“解决实际测量问题”等典型问题。2过程与方法目标通过“观察猜想—实验验证—逻辑证明”的探究过程，体会逆向思维在几何定理发现中的作用；01在“性质定理”与“判定定理”的对比中，理解“原命题”与“逆命题”的关系；02通过分层练习，提升从复杂图形中提取关键信息、构建几何模型的能力。033情感态度与价值观目标在定理探究中感受几何的对称美与逻辑美，增强对几何学习的兴趣；通过小组合作交流，培养质疑精神与团队协作意识；在解决实际问题中体会“数学源于生活，服务于生活”的学科价值。03教学重难点突破：如何抵达目标？1教学重点：判定定理的理解与应用突破策略：通过“三阶段探究”实现从直观感知到理性认知的跃升：1教学重点：判定定理的理解与应用：情境引入，激发猜想展示生活实例：工人师傅要平分一个角，但忘记带量角器，他用了这样的方法——在角的内部取一点P，分别向两边作垂线段PM、PN，测量发现PM=PN，于是确定射线OP是角平分线（如图1）。引导学生思考：“为什么PM=PN就能说明OP平分∠AOB？”从而引出“到角两边距离相等的点是否在角平分线上”的猜想。（插入图1：∠AOB，点P在内部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN，OP为射线）第二阶段：实验验证，强化感知学生分组操作：在练习本上任意画一个角∠AOB，在内部取点P，用三角板作PM⊥OA、PN⊥OB，测量PM、PN长度；若PM=PN，用量角器测量∠AOP与∠BOP是否相等。重复3次不同角度的角（如30、60、90），记录数据。通过实验发现：当PM=PN时，∠AOP=∠BOP恒成立，初步验证猜想。1教学重点：判定定理的理解与应用：情境引入，激发猜想第三阶段：逻辑证明，形成定理引导学生将猜想转化为数学命题：“已知：点P在∠AOB的内部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，且PM=PN。求证：OP平分∠AOB。”分析证明思路：要证OP平分∠AOB，即证∠AOP=∠BOP；已知PM=PN，PM⊥OA，PN⊥OB，可考虑证明△OMP≌△ONP。规范书写证明过程：∵PM⊥OA，PN⊥OB（已知），∴∠OMP=∠ONP=90（垂直的定义）。在Rt△OMP和Rt△ONP中，OP=OP（公共边），1教学重点：判定定理的理解与应用：情境引入，激发猜想∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）。02∴OP平分∠AOB（角平分线的定义）。04PM=PN（已知），01∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）。03由此得出判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。052教学难点：定理的灵活应用与“性质”“判定”的区分突破策略：通过“对比辨析—分层练习—错例剖析”三轮强化：2教学难点：定理的灵活应用与“性质”“判定”的区分|定理类型|条件|结论|逻辑关系|1|----------------|---------------------|---------------------|------------------|2|性质定理|点在角平分线上|到角两边距离相等|由“位置”推“数量”|3|判定定理|到角两边距离相等|点在角平分线上|由“数量”推“位置”|4强调：两者是互逆命题，性质定理是“角平分线”的“性质”，判定定理是“角平分线”的“判定方法”。2教学难点：定理的灵活应用与“性质”“判定”的区分基础题（直接应用）例1：如图2，△ABC中，∠C=90，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E。若DE=3，AC=5，求CD的长。（学生易混淆性质与判定，需引导：AD是角平分线（已知），用性质定理得CD=DE=3；若已知CD=DE，用判定定理得AD平分∠BAC。）（插入图2：Rt△ABC，∠C=90，AD为角平分线，DE⊥AB）变式题（结合其他定理）例2：如图3，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F。求证：PD=PE。2教学难点：定理的灵活应用与“性质”“判定”的区分基础题（直接应用）（需分两步：①由BP平分∠ABC，PD⊥AB，PF⊥BC，用性质定理得PD=PF；②由CP平分∠ACB，PE⊥AC，PF⊥BC，用性质定理得PE=PF；③等量代换得PD=PE。此题也可反向思考：若PD=PE，能否用判定定理证点P在∠BAC的平分线上？为后续“三角形内心”作铺垫。）（插入图3：△ABC，BP、CP为角平分线，PD、PE、PF为垂线段）实际应用题（建模应用）例3：校园内有一块三角形空地（如图4），学校计划在空地上建一个小型图书角，要求图书角到两边AB、AC的距离相等，且在△ABC内部。请用尺规作图确定图书角的位置（不写作法，保留作图痕迹）。2教学难点：定理的灵活应用与“性质”“判定”的区分基础题（直接应用）（引导学生转化为数学问题：找∠BAC内部到AB、AC距离相等的点，即∠BAC的平分线上的点；进一步思考：若要求到三边距离相等，需作三条角平分线的交点——内心，为后续学习埋下伏笔。）（插入图4：△ABC，AB、AC为两边，需确定点P到AB、AC距离相等）04误区1：忽略“在角的内部”误区1：忽略“在角的内部”反例：在∠AOB的外部取一点P，使PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，且PM=PN，此时OP不是∠AOB的平分线（如图5）。强调定理中“角的内部”是关键条件。（插入图5：∠AOB，点P在外部，PM=PN，但OP不平分∠AOB）误区2：混淆“距离”与“线段长度”反例：点P到OA的距离是垂线段PM的长度，若P到OA的某条斜线段长度等于到OB的垂线段长度，不能用判定定理。强调“距离”必须是垂线段的长度。05教学过程设计：课堂如何落地？1情境导入（5分钟）播放视频：装修工人用“角平分仪”平分墙角（原理：构造全等三角形，使两边上的刻度相等，从而确定角平分线）。提问：“角平分仪的设计利用了哪些数学知识？如果只有一把刻度尺和三角板，如何验证一个点是否在角平分线上？”引发学生思考，自然引出课题。2探究新知（20分钟）活动1：回顾旧知提问：“角平分线的性质定理是什么？用符号语言如何表示？”（学生回答，教师板书：∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，∴PM=PN）追问：“如果已知PM=PN，能否得到OP平分∠AOB？这是性质定理的什么命题？”（逆命题）活动2：实验猜想学生分组操作：用透明胶片画∠AOB，在内部任取点P，作PM⊥OA、PN⊥OB，测量PM、PN；调整P的位置，使PM=PN，观察OP是否平分∠AOB。记录3组数据后，小组汇报结论：“当PM=PN时，OP平分∠AOB”。活动3：逻辑证明教师引导学生将实验结论转化为数学命题，分析已知、求证，共同完成证明过程（如前所述）。强调“HL”判定的使用条件（直角三角形、斜边公共、直角边相等）。3应用提升（15分钟）练习1（基础）：课本P135习题4.3第5题（判断三个点是否在角平分线上，直接应用判定定理）。练习2（变式）：如图6，△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DE=DF，∠BAC=60，求∠BAD的度数。（需用判定定理证AD平分∠BAC，再求角度）练习3（拓展）：设计一个方案，不用量角器，仅用三角板和刻度尺，找出一张不规则纸片上角的平分线。（学生展示方案，教师点评：作两边的垂线段，找到距离相等的点，连接顶点与该点）（插入图6：△ABC，D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF）4总结反思（5分钟）学生总结：“我学会了……我发现……我还有疑问……”（鼓励学生从知识、方法、情感三方面总结）。教师提炼：①知识：角平分线的判定定理（条件：角内部、到两边距离相等；结论：在角平分线上）；②方法：“猜想—验证—证明”的探究方法，“性质”与“判定”的互逆关系；③思想：几何中的“位置与数量”转化思想，数学建模思想。06课后作业设计：巩固与延伸1基础巩固（必做）课本P136习题4.3第8题（证明两条射线重合，应用判定定理）；完成《同步练习册》中“角平分线判定定理”基础题组（3道题，涉及简单推理）。2能力提升（选做）如图7，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠BAC的平分线上。（需综合应用内角、外角平分线的判定定理）1调查生活中角平分线判定定理的应用实例（如木工工具、测量仪器），撰写一篇200字的数学短文。2（插入图7：△ABC，外角∠CBD、∠BCE的平分线交于F）307教学反思：以生为本，以思为魂教学反思：以生为本，以思为魂本节课以“问题链”驱动探究，从生活情境到数学定理，从实验操作到逻辑证明，学生始终是思维的主体。课堂中，学生对“角的内部”这一条件的忽略、对“性质”与“判定”的混淆，提醒我在后续教学中需加强对比练习；而小组实验时学生的积极参与、拓展题中创意方案的提出，让我更坚信：几何教学的魅力在于“让思维可见”。未来，我将继续以“用定理