2025年鸡爪模型试题及答案

2025年鸡爪模型试题及答案如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在原点(0,0)，顶点B在(4,0)，顶点D在(0,4)。点E为边BC上一点，连接AE，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF（点B对应点D，点E对应点F）。（1）求点F的坐标（用含E点横坐标的代数式表示）；（2）连接EF，交AD于点G，若EG=2GF，求E点坐标；（3）在（2）的条件下，点H为直线EF上一动点，当△HAB的周长最小时，求H点坐标。--如图2，在△ABC中，AB=AC=5，∠BAC=120°，点D为BC边上一点（不与B、C重合），连接AD，将△ABD绕点A顺时针旋转120°得到△ACE（点B对应点C，点D对应点E）。（1）证明：DE=√3AD；（2）若BD=2DC，求△ADE的面积；（3）当AD⊥CE时，求BD的长。--如图3，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，点P为对角线BD上一动点（不与B、D重合），连接PC，将△PBC绕点C顺时针旋转60°得到△QDC（点B对应点D，点P对应点Q）。（1）判断△PCQ的形状并证明；（2）当AP+PQ最小时，求BP的长；（3）若点M为AD的中点，N为PQ的中点，连接MN，求MN的取值范围。--答案与解析第一题（图1）（1）设E点坐标为(4,t)（因E在BC上，BC为x=4，y∈[0,4]）。△ABE绕A逆时针旋转90°，旋转中心A(0,0)，旋转角90°，则点B(4,0)旋转后到D(0,4)（验证：(4,0)绕原点逆时针转90°为(0,4)）。同理，点E(4,t)绕A逆时针转90°，坐标变换规律为(x,y)→(-y,x)，故F点坐标为(-t,4)。（2）由（1）知E(4,t)，F(-t,4)，则直线EF的斜率k=(4-t)/(-t-4)=(t-4)/(t+4)，直线方程为y-t=[(t-4)/(t+4)](x-4)。AD为y轴（x=0），求EF与AD的交点G，令x=0，得y=t+[(t-4)/(t+4)](-4)=t[4(t-4)/(t+4)]=[t(t+4)-4(t-4)]/(t+4)=(t²+4t-4t+16)/(t+4)=(t²+16)/(t+4)，故G(0,(t²+16)/(t+4))。EG与GF的长度比可通过向量或坐标差计算。EG的横坐标差为4-0=4，纵坐标差为t(t²+16)/(t+4)=[t(t+4)-t²-16]/(t+4)=(4t-16)/(t+4)=4(t-4)/(t+4)，故EG=√[4²+(4(t-4)/(t+4))²]=4√[1+((t-4)/(t+4))²]=4√[(t+4)²+(t-4)²]/(t+4)=4√(2t²+32)/(t+4)=4√[2(t²+16)]/(t+4)。同理，GF的横坐标差为0-(-t)=t，纵坐标差为(t²+16)/(t+4)-4=(t²+16-4t-16)/(t+4)=(t²-4t)/(t+4)=t(t-4)/(t+4)，故GF=√[t²+(t(t-4)/(t+4))²]=t√[1+((t-4)/(t+4))²]=t√[(t+4)²+(t-4)²]/(t+4)=t√(2t²+32)/(t+4)=t√[2(t²+16)]/(t+4)。由EG=2GF，得4√[2(t²+16)]/(t+4)=2×[t√[2(t²+16)]/(t+4)]，两边约去√[2(t²+16)]/(t+4)（t+4>0，t∈[0,4]），得4=2t，故t=2。因此E点坐标为(4,2)。（3）由（2）知E(4,2)，F(-2,4)，直线EF的方程：斜率k=(4-2)/(-2-4)=2/(-6)=-1/3，方程为y-2=(-1/3)(x-4)，即y=(-1/3)x+10/3。△HAB的周长=HA+HB+AB，AB=4（固定），故只需最小化HA+HB。H在直线EF上，求H使HA+HB最小，即作A关于EF的对称点A'，连接A'B与EF的交点即为H。设A(0,0)关于直线EF:y=(-1/3)x+10/3的对称点A'(m,n)。则AA'中点在EF上，且AA'与EF垂直（斜率为3）。中点坐标(m/2,n/2)，代入EF方程：n/2=(-1/3)(m/2)+10/3→3n=-m+20→m+3n=20。AA'斜率为n/m=3→n=3m。联立得m+3×3m=20→10m=20→m=2，n=6，故A'(2,6)。直线A'B：B(4,0)，斜率k=(0-6)/(4-2)=-3，方程为y-0=-3(x-4)→y=-3x+12。求与EF的交点H：联立y=-3x+12和y=(-1/3)x+10/3，得-3x+12=(-1/3)x+10/3→-9x+36=-x+10→-8x=-26→x=13/4，y=-3×(13/4)+12=-39/4+48/4=9/4。故H点坐标为(13/4,9/4)。--第二题（图2）（1）由旋转知，AD=AE，∠DAE=∠BAC=120°（旋转角120°），故△ADE为顶角120°的等腰三角形。过A作AH⊥DE于H，则DH=HE，∠DAH=60°，DH=AD·sin60°=(√3/2)AD，故DE=2DH=√3AD。（2）AB=AC=5，∠BAC=120°，由余弦定理BC²=AB²+AC²-2AB·AC·cos120°=25+25-2×5×5×(-1/2)=50+25=75，故BC=5√3。BD=2DC，故BD=(2/3)BC=(10√3)/3，DC=(5√3)/3。由旋转△ABD≌△ACE，故CE=BD=(10√3)/3，∠ACE=∠ABD。在△ABC中，AB=AC=5，∠ABC=∠ACB=30°，故∠ACE=30°，∠BCE=∠ACB+∠ACE=60°。在△DCE中，DC=(5√3)/3，CE=(10√3)/3，∠DCE=60°，由余弦定理DE²=DC²+CE²-2DC·CE·cos60°=((5√3)/3)²+((10√3)/3)²2×(5√3/3)×(10√3/3)×1/2=(75/9)+(300/9)-(150/9)=225/9=25，故DE=5。由（1）知DE=√3AD，故AD=DE/√3=5/√3=5√3/3。△ADE的面积=1/2×AD×AE×sin120°=1/2×(5√3/3)²×(√3/2)=1/2×(75/9)×(√3/2)=(75√3)/36=25√3/12。（3）AD⊥CE，设垂足为K。由旋转知∠ACE=∠ABD=30°（△ABC中∠ABC=30°），故CE的倾斜角为30°（以C为顶点）。AD⊥CE，故∠KDC=90°-∠DCE=90°-60°=30°（因∠DCE=∠ACB+∠ACE=30°+30°=60°）。设BD=x，则DC=5√3-x，CE=BD=x。在△DCE中，由正弦定理DC/sin∠DEC=CE/sin∠CDE=DE/sin60°。因AD⊥CE，∠DKE=90°，而∠DAE=120°，AD=AE，故∠ADE=∠AED=30°，所以∠DEC=∠AED+∠AEC=30°+∠ABD=30°+30°=60°（因△ABD≌△ACE，∠AEC=∠ADB，而∠ADB=180°-∠ABD-∠BAD=180°-30°-∠BAD，∠AEC=180°-∠ACE-∠CAE=180°-30°-∠BAD（因∠CAE=∠BAD，旋转角120°，∠BAC=120°，故∠BAD+∠CAD=120°，∠CAE+∠CAD=120°，故∠CAE=∠BAD）），因此∠DEC=60°，∠CDE=180°-60°-60°=60°，△DCE为等边三角形，故DC=CE，即5√3-x=x→x=5√3/2，故BD=5√3/2。--第三题（图3）（1）△PCQ为等边三角形。证明：由旋转知，PC=QC，∠PCQ=60°（旋转角60°），故△PCQ为等边三角形。（2）AP+PQ=AP+PC（因PQ=PC，△PCQ等边）。在菱形ABCD中，BD为对角线，∠ABC=60°，故△ABC为等边三角形，AC=AB=6。点P在BD上，AP+PC的最小值为AC的长度（当P在AC与BD的交点时），但需验证是否符合条件。菱形对角线BD与AC垂直平分，设交点为O，则AO=3，BO=3√3（因AC=6，∠ABO=30°，BO=AB·cos30°=6×(√3/2)=3√3）。当AP+PC最小时，P在AC上，即P=O，此时BP=BO=3√3。但需确认旋转后Q的位置是否满足PQ=PC。因P=O，△PBC绕C旋转60°，BC=6，∠BCP=30°（O为AC中点，∠ACB=60°，故∠BCP=30°），旋转后Q点满足CQ=CP=CO=3，∠PCQ=60°，故PQ=PC=3，AP+PQ=AO+PQ=3+3=6，确实为最小值。故BP=3√3。（3）连接CN，DQ。由旋转△PBC≌△QDC，故DQ=BP，∠QDC=∠PBC。菱形中AD=AB=6，∠ADC=120°，M为AD中点，故AM=MD=3。N为PQ中点，△PCQ等边，故CN⊥PQ（等边三角形中线、高线重合），CN=(√3/2)PC。MN的长度可通过向量或坐标系计算。以C为原点，CB为x轴，建立坐标系：C(0,0)，B(6,0)，A(3,3√3)，D(-3,3√3)，BD的方程为y=(-√3/3)x+2√3（B(6,0)，D(-3,3√3)，斜率=(3√3-0)/(-3-6)=-√3/3）。设P点坐标为(x,y)在BD上，满足y=(-√3/3)x+2√3。PC的长度=√(x²+y²)=√(x²+((-√3/3x+2√3)²)=√(x²+((1/3)x²-4x+12))=√((4/3)x²-4x+12)=√((4/3)(x²-3x)+12)=√((4/3)(x3/2)²+123)=√((4/3)(x3/2)²+9)，故PC≥3（当x=3/2时，PC=3），PC≤6（当P=B时，PC=6；P=D时，PC=√[(-3)^2+(3√3)^2]=√(9+27)=6）。N为PQ中点，Q由P旋转60°得到，坐标变换：P(x,y)绕C顺时针转60°，Q点坐标为(xcos60°+ysin60°,-xsin60°+ycos60°)=(x/2+(y√3)/2,(x√3)/2+y/2)。N点坐标为[(x+x/2+(y√3)/2)/2,(y(x√3)/2+y/2)/2]=((3x+y√3)/4,(3yx√3)/4)。M点坐标为AD中点，A(3,3√3)，D(-3,3√3)，故M(0,3√3)。MN的距离=√[((3x+y√3)/4-0)²+((3yx√3)/4-3√3)²]。代入y=(-√3/3)x+2√3，化简得MN=√[((3x+(-√3/3x+2√3)√3)/4)²+((3(-√3/3x+2√3)-x√3)/4-3√3)²]=√[((3x-x+6)/4)²+((-√3x+6√3-x√3)/4-3√3)²]=√[((2x+6)/4)²+((-2√3x+6√3-12√3)/4)²]=√[((x+3)/2)²+((-2√3x-6√3)/4)²]=√[(x+3)²/4+((-2√3(x+3))/4)²]=√[(x+3)²/4+(3(x+3)²)/4]=√[(4(x+3)²)/4]=|x+3|。因P在BD上，x∈(-3,6)（D(-3,3√3)，B(6,0)），故x+3∈(0,9)，MN=|x+3|∈(0,9)。但需验证是否正确，当P=B(6,0)，Q点坐标为(6/2+0×√3/2,-6×√3/2+0×1/2)=(3,-3√3)，PQ中点N=((6+3)/2,(0-3√3)/2)=(4.5,-1.5√3)，M(0,3√3)，MN=√[(4.5)^2+(-4.5√3)^2]=√[20.25+60.75]=√81=9；当P=D(-3,3√3)，Q点坐标为(-3/2+(3√3×√3)/2,-(-3)×√3/2+(3√3)/2)=(-3/2+9/2,(3√3)/2+(3√3)/2)=(3,3√3)，PQ中点N=((-3+3)/2,(3√3+3√3)/2)=(0,3√3)，MN=0（但P不与D重合，故MN>0）；当P为AC中点O(3/2,(√3/2)×3)（BD方程y=(-√3/3)x+2√3，当x=3/2，y=(-√3/3)(3/2)+2√3=-√3/2