《鹦鹉定理》导读及讨论100

《鹦鹉定理》导读及讨论12

鹦鹉定理：跨越两千年的数学之旅

作者：丹尼斯‧居耶德中译者：汉斯出版社：台北市究竟出版社出版年份：2003出版资料：平装共430页，定价390元国际书码：ISBN957-607-942-X3英文版出版资料书名：TheParrot’sTheorem:ANovel作者：DenisGuedj英译者：FrankWynne出版社：London:Weidenfeld&

Nicolson出版年份：2000出版资料：Hardcopy,vii+344pp.国际书码：ISBN0-297-64578-14前言这是怎么样的一本数学普及书籍，可以让法国中小学生喜爱？2003年，当我协助审订本书之中译本时，就十分好奇何以本书在法国竟然与《苏菲的世界》相提并论。本书作者简介，丹尼斯‧居耶德是巴黎第八大学教授，讲授科学史与科学小说的撰写课程。为了教导儿童与大人学习数学，他甚至亲自设计相关的课程与游戏。此外，他也参与编导数学戏剧，还曾得奖，可见他是一位十分有「代言能力」的科（数）学史家。5内容简介本书共有二十六章，再加上没编序号的最后一章「结局」（余音裊裊！），共有二十七章，内容洋洋洒洒，堪称巨著。在最后那简短「结局」中，作者安排了一场鸟会，地点亚马逊雨林。当时，群鸟正在检视鹦鹉（名叫席德尼或玛玛盖娜）转述艾勒加有关哥德巴赫猜想的证明：6(页429)「在这令人屏息的静默中，玛玛盖娜正在向这场鸟会，一行一行解释着艾勒加交托给牠的证明。……艾勒加在哥德巴赫猜想的证明中的某一点，是错的……。」7本书情节（plot）

之一鹦鹉的「忧心」当然合理，这也是本书不得不然的结局。截至目前，哥德巴赫猜想(Goldbachconjecture)－任何一个大于2的偶数，都可以写成两个质数的和－尚未解决。以此一猜想为主题的数学小说有《遇见哥德巴赫猜想》。8事实上，这是本书的谜团之一，也是小说张力十足的原因，因为艾勒加认为他已经成功地证明了哥德巴赫猜想与费玛最后定理(FermatLastTheorem)，然后，将这些（证明）秘密交付给他雨林中饲养的鹦鹉席德尼。艾勒加丧生在巴西雨林中的自宅一场无名火、席德尼则被带到巴黎。于是，神奇的巧合事件开始接二连三发生。9故事场景转换故事场景先是在巴黎（而且主要在巴黎）（鹦鹉第一次现身），然后是意大利西西里的叙拉古(Syracuse，阿基米德的家乡)，最后，则是巴西亚马逊雨林，鹦鹉回到故乡，向群鸟「开示」哥德巴赫猜想之证明。10故事梗概这只鹦鹉被一位失聪的男孩麦克斯，无意间从跳蚤市场救回，而他的住处正好是一位巴黎的书店老板鲁西。麦克斯母亲贝荷特（实际为养母）为鲁西工作，得以带着三个小孩（包括双胞胎兄妹强纳森和丽亚）住在书店。鲁西正是艾勒加失联五十年之久的大学同窗好友。在鹦鹉被带回书店时，鲁西恰好收到老友艾勒加临死托「书」的来信，后者提及他已经将自己的雨林图书馆的收藏，寄到巴黎请老友保存。11数学知识范围作者所引述的这一批藏书之内容，主要围绕在算术、欧氏几何、三角、代数、解析几何、对数以及微积分等相关数学知识之发展，构成了本书之主要骨干。12中文版编辑中译版编辑特色：运用漫画素描及简短说明，提供本书主要人物介绍，依序如下：席德尼（又名玛玛盖娜）皮耶‧鲁西（巴黎1001页书店老板，八十四岁，双脚行动不便，只能以轮椅代步）麦克斯‧里亚德（贝荷特养子，后天失聪，能读唇语）强纳森和丽亚（双胞胎兄妹）贝荷特（麦克斯和双胞胎兄妹母亲，有着一段不为人知的过去）、艾勒加（亚马逊雨林的数学隐士）阿伯特（六十岁老翁，出租车司机）1314本书各章标题1.手中的鸟：好奇的鹦鹉、欧几里得家庭、名叫「存有」与「空无」的两个朋友；2.实际与想象：漂流的藏书与家庭密辛。3.玻璃金字塔：泰利斯与数学的发韧、鲁西先生濒临危险、金字塔之行。4.雨林图书馆：装饰房间的书、数学史纲要、没有证件的鹦鹉；5.数学的三个年代：千年历程与应得的早餐。15作者所谓的数学的三个年代第一阶段：古希腊数学

（公元前700年至公元700年）第二阶段：阿拉伯数学

（公元800年至1400年）第三阶段：西方文明世界的数学

（公元1500年至1900年）166.朋友与敌人：第二封信、可疑的死亡与费玛的最后定理。7.数目的游戏：毕氏学派、秘密仪式与数的乐章。8.分数罢了：无理数、想象之旅与证明不可能。9.航向亚历山大港的夜船：黑领带、白沙与欧几里得《几何原本》简介。10.意大利烩饭与炖鸡：阿波罗尼奥斯与希巴克斯、三角学的兴起，精彩的辩论和有意义的咖哩饭。1711.三个难题：雅典的瘟疫，喜庇亚斯、希波克拉底和柏拉图与古代的三大数学问题。12.大玻璃升降机：阿拉伯世界的数学，诗、代数与奥马珈音13.零的故事：零的力量、婆罗摩笈多、阿尔花拉子密及茶道。14.第五设准：东京的歹徒、门纳劳斯和纳西尔‧阿尔图西，解释的三角学和幸运的推车。15.秘密与谎言：费波那契数列、塔尔塔利亚、卡丹诺与费拉里，归于零以及追捕麦克斯。1816.少即是多：记号与符号、虚数与求解卡丹诺方程式。17.名声：阿贝尔与加罗瓦、巴黎科学院和期盼已久的证明。18.无限大与空无之间：笛卡儿、巴斯卡与费玛，解析几何与数论，牛顿、莱布尼兹与微积分。19.窄小的页框：巴斯卡和机率，数论与费玛最后定理。20.一撮羽毛：天空的，尤拉和神奇数，纳皮尔、对数与一场中风。1921.布丁证明：哥德巴赫猜想，费玛第二定理、不求回报的爱，以及费玛最后定理如何挽救一条生命。22.数学没有不可能的事：三个希腊数学难题与突兀的意外。23.第三人：第三者、秘密画廊与艾勒加的忠实友人。2024.多即是少：阿基米德，以及叙拉古围城、弹道学的发韧与失败的尝试。25.清澈湛蓝的天空：雨林上的高空、孤鸟、午后的灭绝。26.踏脚石：一家团聚，向席德尼与某些解释举杯致敬。21观察与评论本书一开始艾勒加写给鲁西的信，显然模仿了如下版本：法国天才数学家加罗瓦决斗前夕留下给朋友的遗书。作者安排两条叙事轴线：(1)数学史纪事；(2)围绕在鲁西身旁的故事，以及破解艾勒加的生死之谜。本书所选择叙述的几位数学家传奇，譬如毕氏学派与守密传统等等，显得相当自然。

22比喻此外，如瓦理斯

(Wallis)破解保皇党密件，也扣紧了本书角色与情节（页289）。凸显阿拉伯数学家奥马珈音（或奥马‧海亚姆），一方面当然表示他对阿拉伯数学贡献的高度肯定，另一方面，显然也是隐喻鲁西等「同窗」三人组，以及后来的暗杀行动。23比喻说明数学「定义」：「就像戏剧一样，《几何原本》的前几行首先叙述几何学的十三幕伟大故事中的角色，这是欧几里得定义的角色。」将定义

(definition)视为角色

(character)！24比喻在隐喻的运用方面，如Goldbach（哥德巴赫）拆成goldbach(黄金河)，趣味十足，令人莞尔。尤（欧）拉家曾遭祝融之灾，有赖他的记忆力，才得以迅速恢复研究，同时，他致友人（包括哥德巴赫）的信函也保存了他的部分研究成果。这个插曲经由艾勒加致鲁西的信函，也在小说的叙事中得到呼应。25角色安排有关角色安排，值得注意的有鹦鹉vs.麦克斯的对比，其中鹦鹉能讨论数学但不轻易说话，麦克斯失聪但可以读唇语。因此，这两个角色何时与如何发声，始终充满了戏剧张力！26数学（史）知识内容尽管这本小说戏剧性十足，不过，作者绝不回避数学知识（或理论）之说明，即使他较少刻意说明数学之应用。显然由于他以数学史为题旨，按鲁西与艾勒加的藏书索引卡之对话方式，进行历史叙事。艾勒加的内容完全数学化，鲁西的说明则比较直观：27「这个数学编年史无法神奇到让他理解每个数学概念－这也不是数学史的作用。他只是想让自己熟悉各种主题，好在稍后能有效地处理各种数学内容。」(p.84)譬如有关π是无理数乃至超越数的问题，鲁西就尽其所能地说明，至少给了读者一个相关知识的轮廓。（页361-362）28数学史与文学创作素养十分精彩的数学小说：作者相当成功地安排两条叙事主轴，情节既平行对比，又互相烘托呼应，还有，他始终以丰富的意象，融数学与数学史于小说故事情节之中。对于稍有一点数学史素养的读者而言，本书还表现了极为难得的洞识，可以丰富史学的想象。29阿拉伯数学史作者利用第12、13、14章来说明阿拉伯数学。在第12章中，作者先介绍奥马珈音（或奥马‧海亚姆）的代数贡献，以及他著名的四行诗集《鲁拜集》。如果说泰利斯是第一位希腊数学家，那么，阿尔‧花拉子密就是第一位阿拉伯数学家。作者还进一步说明阿尔‧花拉子密所「发明」的al-jabr（即algebra的语源）的意义，譬如针对未知数，他转述说：30阿尔‧花拉子模（密、摩）「对于我要找的东西，我先命名。……他对它做加减乘除，试图找出其值。找出未知值是代数奇妙之处。」(目录页)31作者也澄清所谓的「阿拉伯数码」应该正名为「印度－阿拉伯数码」(Hindu-Arabicnumerals)才是，这是因为印度人不只发明了这十个数码，还率先讨论零(0)是否可以充当除数！

32阿拉伯历史公元750年，伊斯兰王朝已经将它的势力范围，从印度的西端完全延伸到西班牙的部分地区内。扩张的时代即将步入尾声。阿拔斯（Abbasids）-一个崭新的王朝刚刚掌握了政权，他们的第一步，便是建立一个新的帝国首都–这个称为巴格达的新城市，很快就成了王朝的文化中心。巴格达座落在相当于现今伊拉克中心的底格里斯河之上，而这样的地理位置，让它自然而然地成为东、西文化交会的一个据点。33第一批被带到巴格达的科学作品，是有关天文学的书，其出处可能来自印度。第九世纪初期，当时的阿拔斯国王就决定要更积极地去促进帝国的文化与知识层面发展。他们下令兴建「智慧宫」（theHouseofWisdom）-一种科学院，并且开始搜罗希腊文和梵文的学术抄本，同时，还召集了有能力解读这些文本的学者。许多重要的希腊与印度的数学书籍被拿来翻译和研读。一个属于科学与数学创作的全新纪元，便就此展开了。34所有的希腊文本中，最先被翻译的，当然就是欧几里得的《几何原本》，它具有极大的影响。在学习并吸收了欧几里得的进路后，阿拉伯的数学家们便将其全然地采纳使用。他们有许多人开始以严谨的态度陈述各种定理，并且按欧几里得的方式加以证明。

35如同希腊一般，阿拉伯的数学传统中最为著名的，就是他们拥有共通的语言。在幅员辽阔的帝国里，学者们用的是阿拉伯文。然而，并非所有以阿拉伯文作为书写工具的伟大数学家，就一定是阿拉伯人，他们甚至还不一定是穆斯林（回教徒）。共通的语言让他们得以在彼此作品的基础上，创造出焕然一新、生气蓬勃的数学传统。这个传统从九世纪一直到十四世纪，持续活跃了数百年之久。36阿尔•花剌子模阿尔•花剌子模（MuhammadIbnMūsaAl-Khwārizmī）是最早扬名的其中一位阿拉伯数学家，我们从名字推知他来自花剌子模（Khwārizm）这个地方–一个位于现今乌兹别克境内的咸海（theAralSea）以南的城镇，今天叫作海瓦（Khiva）。阿尔•花剌子模活跃于第九世纪中叶，他有一本专门解释用来书写数目及操作算术的十进制位值系统。根据他的说法，此种位值系统源自印度。三百年后，这本书出现了拉丁文译本，并且成为有意学习此种全新记数系统的欧洲人士的主要资料来源。

事实上，algorithm出自他的名字！3738阿尔•花剌子模的《还原和对消的规则》（al-jabrw’al-muqābala）：以二次方程式作为开端，接着讨论实用几何、简易线性方程，以及如何运用数学知识来解决遗产问题，而其中最著名的部分，便是二次方程式。阿尔•花剌子模在书里阐述如何求解二次方程式，并且，还替像巴比伦数学那样纯粹利用几何进路的方法做出论证。39阿尔•花剌子模以后，代数学摇身一变成为阿拉伯数学相当重要的一部分。有些数学家致力于此学科的奠基工作，并为代数学的方法提供欧式风格的证明（Euclidean-styleproofs），另外有些数学家则拓展了这些方法。阿拉伯数学家学会了多项式的运算、某些代数方程的求解，甚至还有其他许多东西。不过，阿拉伯人处理代数问题并不像我们一样使用符号，而是完全使用文字。举例：「三份地产（properties）共值四份物件（things）和二个德拉克马（dirhems）」表示方程式「3x平方＝4x+2」。同样地，所有的解答也是一字一句用文字写成。40

奥玛‧珈音(欧玛‧海雅姆)奥玛‧珈音（UmarAl-Khāyammī，西方则称作OmarKhayyam欧玛‧海雅姆）是阿拉伯最著名的数学家之一，他大约活跃在1048至1131年间。今天多数人认为他是一个诗人，但在当时，他同时也是有名的数学家、科学家和哲学家。奥玛‧珈音著作代数书籍的目的之一，便是想要找出三次方程式的解法。虽然最后他并没能如愿，但是，他却找到了几何的解法。他指出：若想替三次方程式找出一个数字解，这种几何的作法并没有太大的效用。几个世纪以后，这一个他用文字纪录留下的挑战，终于被意大利的代数学家给解决了。41

《鲁拜集》57

啊！别人岂不说我的修历使岁月好算？不，唯有将未降生的明日，已逝去的昨天从历书上消除，岁月才有改变。英国19世纪诗人华兹华斯所编辑。

42阿尔•卡西（Al-Kashi）代数学之外，阿拉伯数学家在几何学和三角学方面也有重要贡献。研究几何学里最基本的观念，特别是欧几里得的第五设准（亦即平行公设）。三角学与天文学：三角学的发展最后又引发了方程式近似解的研究，而最著名的例子就是十四世纪阿尔•卡西（Al-Kashi）所提的n次方根的近似解法。4344阿尔‧卡西的早年生活并不富裕，到处流浪兼职谋生，直到1418年，他才在撒马尔干的一所学校内谋得职位，这所学校正是由他一生中最大的资助者

创办。1424年：他逼近圆周率

的近似值精确至小数点以下第十六位，在人类研究圆周率的历史上留下辉煌的一页！1427年：他撰写了关于算术、代数及测量的作品《算数者之钥》，详细论述十进制记数系统、数的开高次方根、及求解代数问题。利用求解三次方程式得到正弦函数

的近似值。45科学与赞助：阿拉伯的例子在阿拉伯文明中，科学与其赞助者之间的关系，当然充满了伊斯兰教义的特色。数学史家VictorKatz注意到：伊斯兰学者让「他们自己的数学浸满了他们所信奉的神之灵感」。诚然，在「过去年代中，那些有创造性的数学家，总是使研究大大地超越了当代的需要，但是，在伊斯兰世界中，许多人感到这只是真主的要求，至少是在其初期，伊斯兰文化并不把『世俗知识』视为与『神赐文化』相冲突，而是当作通向后者的一条道路。因而，学术研究得到鼓励，那些被证明具有创造火花的人们，也常常得到统治者（通常是世俗与宗教双方）的支持，从而得以尽可能追循他们自己的想法。」至于「数学家的回报，则是在他们著作的开端和结尾时，总是祈求神的保佑，甚至整个正文中，有时也提及神的恩宠。」Katz参照西欧基督教vs.科学的矛盾紧张关系。重臣或统治者对于科学的赞助，在中国历史上也屡见不鲜，不过，后者应该都欠缺伊斯兰世界特有的宗教色彩。46数学与文化:以数学小说阅读为进路洪万生台湾师范大学数学系退休教授【本着作除另有注明外，采取创用CC「姓名标示－非商业性－相同方式分享」台湾3.0版授权释出】47数学普及与数学史：

以远藤宽子的《算法少女》为例洪万生台湾师范大学数学系HPM&MTM48《算法少女》本书有下列三个面向：儿童文学创作历史小说数学普及读物作者远藤宽子任教于国中，是知名的儿童文学作家金石堂书店归类在日本小说专柜49《算法少女》中译本封面50本事《算法少女》作为一本算学文本，是在一七七五年（安永四年）出现在江户。在一九七三年，由远藤宽子根据它的一个手抄本，改写为现代白话语的一本同名的历史小说问世。现代版的《算法少女》，作者对数学史实的用心考究，除了日本江户时期数学史的适当铺陈外，小说情节丰富缤纷，人物刻画温暖而又富含正义，是一部非常适合青少年阅读的历史小说名作。在江户时代，和算(wasan)究竟是如何在庶民之间扩展的？学习和算的乐趣为何？本书都有生动的描述。

51故事梗概一七七五年的江户时代，町上医师千叶桃三，教导女儿小章学习算法（数学），小章拥有出众的数学能力。有一天，浅草寺因浴佛节而举行盛典。小章指出一面献给观世音菩萨的「算额」上的题目有错误，因而引起了当时的藩主注意，进而想要召见这位少女小章。小章竟因此卷入了当时的算法主流「关流」的流派之争，因为小章学习的是非主流的「上方」算法。于是，在一场策划下，她必须与另一位学习关流算法的少女一较长短！52有马赖徸(1714-1784)大名

九留米藩（今福冈县）第七代领主。托名丰田文景，撰《拾玑算法》，解答150个问题，包含关流的主要内容，首度将关流不外传的「点窜术』公诸于世，使关流代数学广为人知，促进了和算的进步和普及。明和五年(1768)，招聘藤田贞资为其藩之「算学师范」。53武士关孝和54算学家群像藤田贞资(1734-1807)：关流，有马家臣。在有马赞助下，于1781年刊《精要算法》，指出：「算数，有用之用，无用之用，无用之无用。」本书广受欢迎，门人遍及各地，在各地神社寺院奉纳算额，影响益胜。铃木彦助(1747-1817，本名会田安明)：创立最上流。曾从中西流的冈崎安之习算，可能也从本多利明处阅得关流传书。1769年前往江户，入幕府旗本铃木清左卫门家，改姓铃木，担任御普请。1785年，出版《改精算法》以订正藤田贞资《精要算法》的错误，拉开了与藤田贞资长达20年的论战。1787年，因幕府役人调整，他被辞而成为浪人，又恢复本性会田，专心数学研究与数学教育工作。55算学家群像本多利明，又作本田利明：出身关流，但勇于学习兰学和西学，是著名的实学思想家。1766年，他在江户音羽一丁目开办天算学私塾，传授天文、地理和测量之学。1809年他受聘于加贺藩，奉禄为二十人扶持（一人扶持单位相当于每月男性给五合口粮，女性给三合，按月支付）。镰田俊清：宅间流（活动于大阪地区）二传弟子，本流派似乎也受到关流的影响。56寺子屋教授读、写、算的庶民初级教育机构，教师多半为武士或浪人，也有僧侣或神社主持，女性的教师也不罕见，教室一般就是老师家中的房间。有3-4万之多。江户时代日本人的识字率超过30%与此有关，这或许是明治维新(1868)得以成功的最大关键。小章的算法私塾！57江户文化推手的更迭宽永文化(十七世纪前半期）：朝廷元禄文化（十七世纪末期）：富商化政文化（十九世纪前半期）：町人。特色：通俗且唯美，多样化发展后扩展到地方。化政文化能够从江户扩展到全国，主要是因为大部分的庶民在寺子屋习字，识字率大幅提升之故。58向数学史取经数学家的社会地位(socialstatus)数学知识的脉络意义(contextualmeaning)《算法少女》的数学问题在一个半圆内，有一个内接直角三角形。当这个直角三角形的内接