2025 七年级数学上册行程追及问题分析课件

一、追及问题的核心概念：从生活场景到数学定义演讲人追及问题的核心概念：从生活场景到数学定义01追及问题的解题策略：从“套公式”到“建模型”02追及问题的常见类型：分类解析与解题步骤03总结与升华：追及问题的本质与数学思维的成长04目录2025七年级数学上册行程追及问题分析课件各位同学、老师们：大家好！今天我们要共同探讨七年级数学中一个既贴近生活又充满逻辑趣味的主题——行程追及问题。作为一线数学教师，我在多年教学中发现，追及问题是学生从“简单行程计算”向“动态关系分析”跨越的关键内容，也是培养逻辑思维和建模能力的重要载体。它像一把钥匙，能帮我们打开“用数学解释生活”的大门。接下来，我们将从概念解析、类型分类、解题策略到拓展应用，循序渐进地揭开追及问题的全貌。01追及问题的核心概念：从生活场景到数学定义1生活中的追及现象——你我都经历过的“追赶”大家回想一下：早上匆忙上学时，你是否有过“前面同学走得慢，自己加快脚步追上”的经历？体育课上，接力赛中最后一棒队员是否曾因速度更快，逐渐缩短与对手的距离？甚至动画片里，灰太狼追喜羊羊的情节，本质也是追及问题。这些场景的共同特征是：两个运动物体（或人）向同一方向行进，速度快的一方从后方追上速度慢的一方。这就是数学中“追及问题”的生活原型。2数学定义与核心要素从数学角度，追及问题可定义为：两个物体同方向运动时，速度不同的一方从后方追上另一方的过程，其本质是“速度差”对“初始路程差”的弥补。要分析这类问题，必须明确三个核心要素：速度：两个物体的运动速度（v₁、v₂，且v₁＞v₂）；时间：从出发到追上所用的时间（t）；路程差：初始时两个物体之间的距离（s₀），或因出发时间不同产生的先行路程（s₀）。这三个要素通过一个关键公式关联：追及时间=路程差÷速度差（即t=s₀÷(v₁-v₂)）。这个公式是解决所有追及问题的“基石”，但它是如何推导出来的呢？我们不妨用“相对运动”的思路理解：假设慢者静止，快者以“速度差”（v₁-v₂）靠近慢者，那么需要覆盖的“路程差”s₀，所需时间自然是s₀除以速度差。02追及问题的常见类型：分类解析与解题步骤追及问题的常见类型：分类解析与解题步骤追及问题的复杂性源于“初始条件”的差异。根据出发时间和出发地点的不同，可分为两类典型问题：同地不同时出发和同时不同地出发。我们逐一分析。2.1类型一：同地不同时出发——“先出发的人，后来者如何追上？”情景描述：两个物体从同一地点出发，但其中一个先出发一段时间，另一物体后出发（速度更快），最终后者追上前者。关键分析：先出发的物体在后者出发前已行进一段路程，这段路程即为“路程差”（s₀=v₂×t₀，其中t₀为先出发的时间）；后者出发后，两者的速度差（v₁-v₂）将逐渐缩小这个路程差，直到追上。例题1：小明早上7:00从家出发，以50米/分钟的速度步行上学；7:10妈妈发现他忘带课本，骑自行车以200米/分钟的速度追赶。问妈妈何时能追上小明？追及问题的常见类型：分类解析与解题步骤解题步骤：确定路程差：小明先出发10分钟，已走50×10=500米（s₀=500米）；确定速度差：妈妈速度200米/分钟，小明速度50米/分钟，速度差=200-50=150米/分钟；计算追及时间：t=500÷150≈3.33分钟（即3分20秒）；确定追上时刻：妈妈7:10出发，3分20秒后是7:13:20。易错提醒：部分同学会误将“总时间”算成小明的总步行时间（10+3.33=13.33分钟），但题目问的是“妈妈何时追上”，需从妈妈出发时间开始计算。追及问题的常见类型：分类解析与解题步骤2.2类型二：同时不同地出发——“同方向不同起点，快者如何追上？”情景描述：两个物体同时出发，但起点不同（快者在后方，慢者在前方），最终快者追上慢者。关键分析：初始时两者的距离即为“路程差”（s₀）；由于同时出发，追及时间t内，快者行进的路程=慢者行进的路程+初始路程差（v₁×t=v₂×t+s₀），整理后即t=s₀÷(v₁-v₂)，与核心公式一致。例题2：甲乙两车同时从A、B两地出发，同向而行（甲在B地，乙在A地，A在B前方30千米处）。甲车速度60千米/小时，乙车速度45千米/小时，问甲车多久能追上乙车？解题步骤：追及问题的常见类型：分类解析与解题步骤确定路程差：初始时甲在乙后方30千米（s₀=30千米）；确定速度差：甲速度60，乙速度45，速度差=60-45=15千米/小时；计算追及时间：t=30÷15=2小时。拓展思考：若两车反向而行，是否还能“追上”？此时属于“相遇问题”，需用“速度和”计算相遇时间，但追及问题必须是同方向！03追及问题的解题策略：从“套公式”到“建模型”1解题四步法：理清思路的“导航仪”A通过前两类问题的分析，我们可以总结出解决追及问题的通用步骤：B画示意图：用线段图标出两个物体的初始位置、运动方向、速度和时间，直观呈现路程差；C确定变量：明确已知量（v₁、v₂、s₀或t₀）和未知量（t或s）；D列等式：根据“快者路程=慢者路程+路程差”建立方程（v₁×t=v₂×t+s₀）；E求解验证：计算结果后，代入原题验证是否符合实际（如时间不能为负，速度差必须为正）。2常见误区与应对方法在教学中，我发现学生常犯以下错误，需重点关注：误区1：混淆“路程差”与“总路程”。例如，例题1中，小明7:00到7:10走的500米是路程差，而非总路程；妈妈追上时，小明的总路程是50×(10+3.33)=666.5米，妈妈的路程是200×3.33≈666米（近似值合理），两者相等，验证正确。误区2：忽略“速度差”的方向性。追及问题中，快者速度必须大于慢者，否则无法追上（速度差为负时，时间为负，无实际意义）。误区3：未统一单位。如速度单位是“米/分钟”，时间单位需用“分钟”；若速度是“千米/小时”，时间单位用“小时”，避免单位混乱导致错误。3动态思维训练：从“静态计算”到“过程分析”追及问题的核心是“动态关系”，需引导学生想象运动过程：快者每分（秒、小时）比慢者多走“速度差”的距离，因此需要“路程差÷速度差”的时间来弥补初始差距。例如，例题2中，甲车每小时比乙车多走15千米，要追上30千米的差距，自然需要2小时——这是“每小时弥补15千米，30千米需要2小时”的直观理解。四、拓展应用：环形跑道上的追及问题——“循环追赶，何时相遇？”1环形追及的特殊性在直线追及中，路程差是固定的；但在环形跑道（如400米跑道）上，快者追上慢者时，可能已经多跑了一圈、两圈……因此，环形追及的路程差是“n倍跑道长度”（n为正整数），具体取决于追赶次数。2典型例题与分析例题3：小红和小明在400米环形跑道上同地同向跑步，小红速度3米/秒，小明速度5米/秒。问：（1）第一次追上时，两人各跑了多少米？（2）第二次追上时，小明跑了多久？解题思路：（1）第一次追上时，小明比小红多跑1圈（400米），路程差s₀=400米，速度差=5-3=2米/秒，追及时间t=400÷2=200秒。此时小红跑了3×200=600米，小明跑了5×200=1000米（1000-600=400米，符合路程差）。2典型例题与分析（2）第二次追上时，小明比小红多跑2圈（800米），路程差s₀=800米，追及时间t=800÷2=400秒（或理解为第一次追上后，两人又处于同一起点，再次追上需再跑一圈，故总时间200×2=400秒）。规律总结：环形同地同向追及中，第n次追上时，路程差为n×跑道长度，追及时间t=n×跑道长度÷速度差。04总结与升华：追及问题的本质与数学思维的成长1追及问题的本质：用“相对运动”看世界无论是直线还是环形追及，其本质都是“速度差”对“路程差”的弥补。这种思维方式延伸到物理中，就是“相对速度”的概念——将慢者视为静止，快者以速度差靠近。它教会我们：观察问题时，可以通过“参考系转换”简化复杂运动。2数学思维的成长：从“解题”到“建模”通过追及问题的学习，同学们不仅掌握了一个具体题型的解法，更重要的是学会了：抽象建模：将生活场景转化为数学符号（v、t、s）；逻辑推理：通过“路程=速度×时间”的基本关系，推导出追及问题的核心公式；动态分析：用运动的眼光看待问题，理解“变量之间的依赖关系”。010302043致同学们：数学是生活的“解释器”当你在生活中再次遇到“追赶”场景时，不妨用今天的知识快速计算：爸爸开车送你上学，前面的公交车以40千米/小时行驶，爸爸的车速60千米/小时，两车相距2千米，多久能追上？答案是2÷(60-40)=0.1小时=6分钟—