四川省泸县第五中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题（解析版）

高2025级高一上学期第三学月考试

数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写

在答题卡上.

2．考生必须保持答题卡的整洁.

第I卷选择题（58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合M{x|3x1}，N{x|1x4}，则MN（）

A.x1x1B.xx3

C.x|3x4D.xx4

【答案】C

【解析】

【分析】直接根据并集含义即可得到答案.

【详解】由题意得MNx|3x4.

故选：

C.

π

2.命题“x0,，ex2sinx2x”的否定是（）

2

ππ

A.“x0,

，ex2sinx2x”B.“x0,，ex2sinx2x”

22

ππ

C.“x0,，ex2sinx2x”D.“x0,，ex2sinx2x”

22

【答案】C

【解析】

【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题.

π

【详解】依题意全称量词命题“x0,，ex2sinx2x”的否定为：

2

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π

存在量词命题“x0,，ex2sinx2x”.

2

故选：C

3.已知a,bR，且ab，则下列不等式中一定成立的是（）

A.a1bB.ab1

C.a1b1D.a1b1

【答案】A

【解析】

【分析】根据不等式的性质进行判断即可.

【详解】因为a,bR，且ab，

所以a1b1，a1b1，故CD错误；

因为ab，10，所以a1b0即a1b恒成立，故A正确；

取a1，b0，则ab，但此时ab1，故B未必成立.

故选：A

4.不等式x23x4的解集为（）

A.x4x1B.x1x4

C.xx4或x1D.xx1或x4

【答案】C

【解析】

【分析】把原不等式两边同时乘以1，把二次项系数化为正值，因式分解后可求得一元二次不等式的解集．

【详解】由x23x4得x23x40，即x4x10，解得x<4或x1，

所以不等式x23x4的解集为xx4或x1．

故选：C

logxx3,x0

若函数2，则

5.fxxff3

2,x0

135

A.B.C.D.3

322

【答案】A

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【解析】

【分析】首先计算f3，然后再计算ff3的值.

【详解】f3log2333log230,

1

ff3flog32log23.

23

故选A.

【点睛】本题考查了分段函数求值，属于计算题型.

x22x,xm

6.已知函数fx在R上单调递增，则实数m的取值范围是（）

x,xm

A.m1B.m3

C.1m3D.m1或m3

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数的单调性及断点处左侧的函数值不大于右侧函数值得到不等式，解得即可.

2

【详解】因为yx22xx11在1,上单调递增，yx在R上单调递增，

x22x,xm

又fx在R上单调递增，

x,xm

m1

所以，解得，

2m3

mm2m

即实数m的取值范围是m3.

故选：B

7.已知ab1，logam2，logbm3，则logabm（）

1156

A.B.C.D.

6565

【答案】D

【解析】

【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果.

1111

【详解】由换底公式得，logma，logmb，

logam2logbm3

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116

所以logabm.

logmablogmalogmb5

故选：D.

x

8.已知x1,y1，x2,y2是函数y2的图象上两个不同的点，则（）

yyxxyyxx

A.log1212B.log1212

222222

yyyy

C.log12xxD.log12xx

22122212

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

xx1x2

【详解】由题意不妨设x1x2，因为函数y2是增函数，所以022，即0y1y2，

xx

2x12x212yyx1x2

对于选项AB：可得2x1·2x222，即12220，

22

x1x2

y1y22x1x2

根据函数ylog2x是增函数，所以loglog2，故B正确，A错误；

2222

对于选项D：例如x10,x21，则y11,y22，

yy3yy

可得log12log0,1，即log121xx，故D错误；

22222212

11

对于选项C：例如x1,x2，则y,y，

121224

yy3yy

可得log12loglog332,1，即log123xx，故C错误，

222822212

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.钝角都是第二象限角

B.第二象限角大于第一象限角

π

C.终边落在y轴上的角的集合可表示为kπ,kZ

2

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π5π

D.若sinxcosx0，则xx2kπx2kπ,kZ

44

【答案】ACD

【解析】

【分析】由象限角的定义即可判断A、B选项，由终边相同的角即可判断C选项，由三角函数的定义即可

判断D选项.

π

【详解】钝角的范围为,π，都是第二象限角，故A正确;

2

225是第二象限角，45是第一象限角，22545，故B错误;

π

终边落在y轴上的角的集合可表示为{|kπ,kZ}，故C正确;

2

π5π

若sinxcosx0，则sinxcosx，则2kπx2kπ，kZ，

44

π5π

故xx2kπx2kπ,kZ，故D正确.

44

故选：ACD.

10.已知a0，b0，ab1，则下列结论成立的是（）

111a

A.的最小值为4B.的最小值为3

abab

111

C.的最小值为2D.a的最小值为1

1a2bb

【答案】AB

【解析】

1b

【分析】对A，由“1”的代换结合基本不等式求解；对B，由1利用基本不等式求解；对C，由

aa

11

1a2b3ab2，利用基本不等式求解判断；对D，作差a1，判断a1得解.

bb

1111baba

【详解】对于A，ab2224，

abababab

1

当且仅当ab时，取等号，故A正确；

2

1abb1ababa

对于B，1，故1123，

aaaababab

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1

当且仅当ab时，取等号，故B正确；

2

对于C，由a0,b0,ab1，

可知1a2b3ab2，且1a0，2b0，

1111112b1a11a2b

，

1a2b2222

1a2b21a2b21a2b22b1a

不等式取等号的条件是1a2b1，即a0,b1，

11

与题设a0,b0矛盾，故的最小值大于2，故C错误；

1a2b

111b21b1b

对于D，a1b0，

bbbb

1

故a1，最小值大于1，故D错误.

b

故选：AB.

11.已知函数f(x)是R上的奇函数，且过点（3,2），对于一切正实数m,n，都有

1

f(mn)f(m)f(n)1．当x,时，f(x)0恒成立，则（）

3

A.f93

B.f(x)在R上是单调函数

C.f(x)有三个零点

11

D.当f(x)(2,3)时，x(3,9),

2781

【答案】ACD

【解析】

1

【分析】对于A，赋值mn3即可判断；对于B，分别赋值mn1、m3,n和mn0求出

3

11

f0和f(0)0即可判断；对于C，探究f(x)在(0,)上的单调性，结合f0、f(0)0和

33

1

函数奇偶性即可判断；对于D，由函数单调性以及研究特殊值f(9)3,f(3)2，f2，

27

1

f3即可得解.

81

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【详解】由题f32，

对于A：令mn3，f(9)f(3)f(3）13，所以A正确；

对于B：令mn1，f(1)f(1)f(1)1，得f(1)1；

111

令m3,n，f(1)f(3)f1，得f0，

333

令mn0，f(0)f(0)f01，得f(0)0，所以B不正确；

11

对于C：当x0时，f(1)f(x)f1，得f(x)f2，

xx

11

故f(3x1)f2，即f(3x1)2f

3x13x1

又f(3x1)f(3)f(x1)1f(x1)1即f(x1)f(3x1)1，

11

所以f(x1)2f11f，设x2x10，

3x13x1

11x2

则f(x2)f(x1)f(x2)1ff(x2)f1f()，

3x13x13x1

x2x21

因为x2x10，所以1，，

x13x13

1

因为当x,时，f(x)0恒成立，

3

x2

所以f0，即f(x2)f(x1)0，

3x1

故f(x)在(0,)上单调递增，

1

又f(0)0，f0，且函数f(x)是R上的奇函数，

3

1

所以f0，故f(x)有三个零点．所以C正确；

3

对于D：当x(0,)时，

因为f(x)在(0,)上单调递增，f(3)2，f(9)3，所以3x9；

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111111

当x(0,)时，因为fff11，fff12，

9332739

1

f2，

27

1111

fff13，f3，

819981

11

由奇函数f(x)在(,0)上单调递增，所以x；

2781

11

所以当f(x)(2,3)时，x(3,9),.所以D正确.

2781

故选：ACD．

【点睛】关键点睛：探究函数f(x)零点个数和根据函数值f(x)(2,3)，求解变量x的关键是巧妙赋值实

x

2>1>

现f(x2)f(x1)f()f0，从而结合奇偶性探究得出函数在R上的单调性.

3x13

第II卷非选择题（92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

2m

12.已知函数fxm3m3x是幂函数，则m的值为__________．

【答案】1或4

【解析】

【分析】根据幂函数的定义求出m的值即可.

【详解】由题意知，m23m31，解得m1或m4.

故答案为：1或4.

13.已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为6，当该扇形面积最大时，其圆心角为，则

20212021

sincoscossin_________．

【答案】cos1

【解析】

【分析】根据扇形的面积公式结合均值不等式得到2，再利用诱导公式化简得到答案.

6

【详解】根据题意：62rl2rr，故r，

2

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2

121618189

Sr

222444，

424

4

当，即2时等号成立.

2021π2021πππ

sincoscossinsincoscossinsin0cos1cos1.

22

故答案为：cos1.

14.已知3a23b，则2ab的最小值为______．

【答案】3log32

【解析】

【分析】令t3a23b，t2，通过指数式与对数式互化用t表示出a,b，再借助基本不等式进行求解

即可.

ab

【详解】令t323，t2，则alog3t，blog3t2，

t2

2ab2logtlogt2log，

333t2

2

t2t24t2444

令m，t2，则mt242t248，当且

t2t2t2t2

4

仅当t2，即t4时等号成立，

t2

t2

loglog8，即2ablog383log32.

3t23

故答案为：3log32.

【点睛】关键点点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均

为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15记全集UR，已知集合Axa1xa5,aR，Bx1x4．

.

（1）若a2，求AB；

ð

（2）若AUBR，求a的取值范围．

【答案】（1）AB{x|1x4}

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（2）1,0．

【解析】

【分析】（1）根据交集的定义即可求解,

ðð

（2）由UBxx1或x4，即可根据AUBR求解.

【小问1详解】

由a2，得Ax1x7，所以AB{x|1x4}．

【小问2详解】

ð

依题意，UBxx1或x4，

a11,

ð

因为AUBR，所以解得1a0，

a54,

故a的取值范围为1,0．

cos3πtanπ

16.已知f．

2sinπcosπ

（1）化简f；

π12π

（2）若f，求f的值．

323

1

【答案】（1）f

2cos

2π1

（2）f

32

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式化简即可；

（2）根据诱导公式将所求角转化为已知角求解即可.

【小问1详解】

cos3πcosπcos,tanπtan，

sinπsinπsin,cosπcos，

sin

cos

则costan1；

fcos

2sincos2sincos2cos

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【小问2详解】

π11

fπ

由（1）得，3π2，则cos1，

2cos3

3

2πππ

又coscosπcos1，

333

2π11

f

故32π2．

2cos

3

17.已知关于x的不等式ax23x20的解集为{x|x1或xb}.

（1）求ab的值；

ab

（2）当x0,y0且满足1时，有2xyk23k10恒成立，求k的取值范围.

xy

【答案】（1）3（2）{k|6k3}

【解析】

【分析】（1）根据三个二次的关系将问题转化成1和b是方程ax23x20的两个实数根，利用韦达定

理求出a,b即得答案；

（2）先利用“1”的妙用和基本不等式求出2xy的最小值，再由题意将恒成立问题转化成求解关于k的

一元二次不等式即可.

【小问1详解】

因为不等式ax23x20的解集为{x|x1或xb}，

所以1和b是方程ax23x20的两个实数根，且a0,

3

1b

aa1

故有，解得，故ab3.

2b2

b

a

【小问2详解】

a1ab12

由（1）得，则1即1，

b2xyxy

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124xy4xy

故2xy(2xy)()4428，

xyyxyx

4xy

4xyyxx2

当且仅当时等号成立，由，解得，

yx12y4

1

xy

即当x2,y4时，2xy取得最小值为8.

22

又由2xyk3k10对x0,y0恒成立，可得(2xy)mink3k10，

即k23k108，解得6k3.

故k的取值范围为{k|6k3}.

18.某大学毕业生团队主动创业，计划销售轻食，每个月的店租和水电等成本为2万元，且每销售1份轻食，

*

成本为5元.已知该团队轻食的月销售量为xxN万份，该团队每个月保底能够销售5000份轻食，且

11218

当0.5x4时，月销售收入为x万元；当x4时，月销售收入为

2x15

11

log18x9x万元.

32

（1）求该团队的月销售利润fx（万元）与月销售量为x（万份）之间的函数解析式；

（2）当月销售量为何值时，该团队的月销售利润最小？最小利润为多少万元？

x28

,0.5x4

2x15

【答案】（1）fx

1

log18x9x2,x4

32

31

（2）当月销售量为1万份时，该团队的月销售利润最小，为万元.

10

【解析】

【分析】（1）依题意，由月销售利润=月销售收入－店租和水电成本－轻食成本，直接写出解析式，化简即

可；

（2）由（1）中求得的解析式，分别利用函数的单调性和基本不等式，求得两个式子的最大值，然后作比

较，再取较大的值即可.

【小问1详解】

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11218x28

由题意，当0.5x4时，fxx5x2，

2x152x15

111

当x4时，fxlog18x9x5x2log18x9x2.

3232

x28

,0.5x4

2x15

∴fx；

1

log18x9x2,x4

32

【小问2详解】

x28x1211x121131

当0.5x4时，fx2，

2x152x1102x11010

x12

当且仅当，即x1时取等，

2x1

1131

当x4时，fxlog18x9x2log1849424，

323210

31

因此，当月销售量为1万份时，该团队的月销售利润最小，为万元.

10

x

19.已知函数f(x)1log2x，g(x)2.

（1）若F(x)fg(x)gf(x)，求函数F(x)在x1,4的值域；

g(x)1232020

（2）若H(x)，求HHHH的值；

g(x)22021202120212021

2

（3）令G(x)f8xfxkf(x)，已知函数G(x)在区间1,4有零点，求实数k的取值范围.

16

【答案】（1）4,40；（2）1010；（3）4k.

3

【解析】

2

11

【分析】（1）化简可得F(x)fg(x)gf(x)2x，利用二次函数单调性，即得解；

22

（2）可证明H(x)H(1x)1，倒序相加，即得解；

（）化简可得2，令，函数等价为

3G(x)log2x(4k)log2x4ktlog2x

yh(t)t2(4k)t4k在t0,2上有零点，参变分离即得解

x1log2x

【详解】（1）若F(x)fg(x)gf(x)1log222

2

logx211

(1x)2222x(1x)2x2x2x，

22

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当x1,4上函数F(x)为增函数，

则函数的最大值为F440，函数的最小值为F14，则函数的值域为4,40.

g(x)g(x)2x

（2）若H(x)，则H(x)