山大附中2025-2026学年高二12月月考 数学试题及答案

山西大学附中

2025～2026学年第一学期高二(12月)考试(总第四次)

数学试题

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的)

1.顶点在原点，焦点是F(0,3)的抛物线的标准方程是()

A.B.x²=12yD.y²=12x

2.已知椭圆C的左、右焦点分别为F₁,F₂,上顶点为A,若AF₁⊥AF₂,

则C的长轴长为()

A.8√2B.4√2C.8D.4

3.渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是()

A.B.1C.2D.√2

4.一条光线沿直线2x-4y-1=0入射到直线x+y=0后反射，则反射光线所在的直线方

程为()

A.4x-2y-1=0B.4x-2y+1=0C.4x+2y+1=0

D.4x+2y-1=0

5.已知动圆C与圆(x+1)²+y²=1外切，同时与圆(x-1)²+y²=25内切，则动圆C的圆

心轨迹方程为()

A.B.C.D.

6.设抛物线C:x²=8y的焦点为F,A(4,5),点B在C上，则△FAB的周长的最小值为

()

A.8B.10C.12D.16

7.若直线1:mx-y-m=0与曲线C:x=√4+y²有两个不同的交点，则实数m的取值范

围是()

A.(-1,1)B.

C.D.(-∞,-1)U(1,+∞)

8.椭圆C的左右焦点为F₁,F₂,点P为椭圆上不在坐标轴上的一

点，点M、N满足FM=MP,2ON=OP+OF₂,若四边形MONP的周长等于4b,则椭

圆C的离心率为()

A.B.

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.已知点P(4m+3,-3m-4),若点Q在圆C:(x-1)²+y²=1上，则()

A.点P在直线3x+4y+7=0上

B.点P可能在圆C上

C.PQ的最小值为1

D.圆C上至少有2个点与点P的距离为1

10.已知点F₁、F₂分别为双曲线C:1的左、右焦点，点P为C上一动点，则下

列说法正确的是()

A.双曲线C与双曲线有相同的渐近线

B.若|PF₁|=2|PF₂|,则△PF₁F₂的周长为12+2√6

C.若PF₁⊥PF₂,则△PF₁F₂的面积为2√3

D.直线1与双曲线交于A,B两点，若AB的中点坐标是,则直线1的方程

为2x+8y+7=0

11.已知抛物线C:x²=2py(p>0)的焦点为F,若抛物线C在

两点处的切线交于点P(x,y。),与x轴分别交于点M、N.则下列结论一定正确的是()

A.B.

,则直线AB过点FD.若,则直线AB过点F

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.若经过双曲线的一个焦点，且垂直于实轴的直线1与双曲线交于A,B

两点，则线段AB的长为

13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:(x-a)²+(y-a+2)²=1,点A(0,2),若圆C

上存在点M,满足M|A²+|MO²=10,则实数a的取值范围是_·

14.椭圆C:的左、右焦点分别为F₁、F₂,点P是椭圆C上除长轴端点外的

任一点，连接PF₁、PF₂,设∠F₁PF₂的平分线PQ交椭圆C的长轴于点Q(m,0),则m

的取值范围为

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(13分)已知圆C:x²+y²-8x+12=0,直线1:x+ay+2a=0.

(1)当a为何值时，直线1与圆C相切；

(2)当直线1与圆C相交于A,B两点，且|AB|=2√2时，求直线1的方程.

16.(15分)已知抛物线C:y²=4x,定点M(0,1).

(1)过点M且过抛物线C的焦点F的直线，交抛物线C于A、B两点，求A|B;

(2)求过点M且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线方程.

17.(15分)已知椭圆E:1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),过F的直线与E交于

A,B两点.当A为E的上顶点时，A|F|=3.

(1)求E的方程；

(2)过点A作1:x=9的垂线，垂足为M.证明：直线MB过定点.

18.(17分)双曲线C的中心在原点0,焦点在x轴上，且焦点到其渐近线y=±2x的距

离为2.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过点P(0,2)的直线1与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点，与其渐近线分别

交于M,N(从左至右)两点.

①证明：|AM=|BN;

②若求直线1的方程.

19.(17分)已知A(-2,0),B(2,0),点M(x₀,y。)(x₀≥0)满足

(1)求动点M的轨迹方程Ω;

(2)在二次曲线中，我们常把存在相同对称轴和焦点的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称

为“组合曲线”.已知曲线Ω与抛物线y²=2px(p>0)构成“组合曲线”T.设过点F(1,0)的

直线交“组合曲线”T于G,H两点，记r₁=|FG|,r₂=|FH|.

①若直线的斜率为2√6,求ri+r₂的值；

②求的最值.

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2025～2026学年第一学期高二(12月)考试(总第四次)

数学试题(参考答案)

题号12345678910

答案BCDAACBCACABD

题号11

答案ABD

三、填空题

12.【答案】4

13.【答案】[0,3]

14.【答案】

四、解答题

15.【答案】(1)圆C的标准方程为(x-4)²+y²=4,圆心C(4,0),半径为2,

若直线1与圆C相切，则有,解得……5

分

(2)设圆心C(4,0)到直线l的距离为d,则

即(√2)²+d²=4,即d=√2,由,解得a=-1或a=-7

所以直线l的方程为x-y-2=0或

x-7y-14=0......................................................................13分

15.【答案】(1)由题意可得F(1,0),直线AB的方程为,即y=-x+1,........2

分

联立解方程组·,可得x²-6x+1=0,

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则x₁+x₂=6,................................................................................................4

分

,............................................................................................6

分

(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x=0,与抛物线只有一个交点(0,0),

当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+1,

联立,得ky²-4y+4=0,

当k=0时，方程的解为y=1,此时直线与抛物线只有一个交点，

当k≠0时，则△=16-16k=0,解得k=1,直线方程为y=x+1

所以：x=0或y=x+1或y=1…………………15

分

17.【答案】(1)记E的半焦距为c,由右焦点为F(1,0)可得：c=1,而|AF|=√b²+c²=a=3,

故b=√a²-c²=2√2,于是E的方程为……4

分

(2)不妨设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

设lAB:x=my+1,联立

有(8m²+9)y²+16my-64=0,可得

即my₁y₂=4(y₁+y₂),………8

分

易知M(9,y),直线MB的斜率为

故直线MB的方程可表示为

分

当y=0时，显然y≠y₂,

所以直线MB过定点

(5,0)....................................................................................................................13分

而当AB斜率为0时，直线MB就是x轴，也过点(5,0)...............................................................14

分

综上，直线MB过定点(5,0)..................................................................................................................................................................15

分

18.【答案】(1)因为双曲线C的渐近线为v=±2x,

由双曲线的焦点在x轴上时，则双曲：

渐近线的方程为焦点F(±c,0),

所以解得a=1,b=2,

所以双曲线的方程为……………4

分

(2)①由(1)知双曲线的方程为

其渐近线的方程为y=±2x,设直线1:y=kx+2,

因为直线1交C双曲线的左右两支分别于A,B,所以-2<k<2,

得(4-k2)x2-4kx-8=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

所以

分

联立,解得,则,…………8

分

联立,解得,则,………….9

分

,………………11

分

=(1+k2)[

=(1+k2)

]

=(1+k2)[

所以|AM|=

|BN|.………13分

②由A,M,N,B共线，可,·…14

分

由①可

解得k²=3,所以k=±√3符合题意，所以直线1的方程为y=±√3x+2…………17

分

19.【答案】(1)

所以Ω的方程为…4

分

(2)①根据(1)可知Ω的焦点为(1,0),则抛物线方程.

解得x=-6(舍去)或

因此“组合曲线”厂为曲线组合而成，

如图，实线部分记为“组合曲线”T,其中

由于kw=2√