四川省射洪中学强实班2025-2026学年高一上学期12月期中数学试题

射洪中学高级高一上期强实班半期考试数学试题（考试时间：分钟满分：分）注意事项：答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上写在本试卷上无效.考试结束后，将答题卡交回.第I卷选择题（共分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列关系式中，正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系进行判断即可.【详解】，所以A错误；集合是点集，集合{2}数集，没有包含关系，故B错误；是有理数集，，所以C错误；空集是任何集合的子集，所以D正确.故选：D.2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】第1页/共17页【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.【详解】命题“”为存在量词命题，其否定为：.故选：C3.已知p：，q：，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】解方程和，根据充分条件、必要条件即可求解.【详解】由，得或，由，得或，因为或成立推不出或成立，反之也不成立，所以既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.故选：D4.若为偶函数，为奇函数，且，则的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得，即可求解解析式，通过排除可得答案．第2页/共17页【详解】解：由得：，即，由解得：，由，排除BC．由指数函数的性质（指数爆炸性）排除D．故选：A5.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性与正负值排除判定即可.【详解】函数,故函数是奇函数,图像关于原点对称，排除C、D，当，排除B.故选：A.6.下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】的单调性即可判断AB比第3页/共17页较即可判断C；利用的单调性即可判断D.【详解】对于A，因为为减函数，，所以，故A错误；对于B，因为，，即比较与的大小，，，.故B正确；对于C，因为，故C错误；对于D，可以化为，由对数函数单调递增可知，因为，所以，故D错误.故选：B.7.若函数的取值集合是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】结合不等式恒成立和指数函数的性质分与2的关系讨论可得.【详解】由可得，则当时，不等式，当时，，此时，第4页/共17页当时，，此时，即，当时，，此时，即.综上，实数的取值集合是.故选：D.8.若直角坐标平面内的两点满足条件:①都在函数关于原点对称.则称点对是函数的一对“友好点对”(点对与看作同一对“友好点对”).已知函数(且)，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意求出当时函数关于原点对称的函数，条件转化为函数与可．【详解】解：当时，函数关于原点对称的函数为，即，，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则等价为函数与只有一个交点，作出两个函数的图象如图，第5页/共17页若，则与只有一个交点，满足条件，当时，；若，要使两个函数只有一个交点，则满足（5），即得，得或，，，综上可得的范围是或，即实数的取值范围是，故选：C．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，转化为函数相交是解决本题的关键，属于难题．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．9.已知实数满足，则下列不等式中一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】AC第6页/共17页【分析】根据给定条件，利用不等式性质，结合作差法、特例法比较大小即得.【详解】对于A，由，得，A正确；对于B，由，得，所以，B错误；对于C，由，得，所以，C正确；对于D，当时，，D错误.故选：AC10.已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由韦达定理得根与系数的关系，对选项逐一判断即可得.【详解】由题意可得，且，则，，即，故A、B正确；由，，故，，即，，又，，故，，故C错误；，故D正确.故选：ABD.已知函数实数满足，且，则（）A.第7页/共17页B.C.D.函数有5个互不相等的零点【答案】ACD【解析】A的范围判断B的范围求解判断C，根据将问题转化为函数的图象分别与交点个数之和，数形结合即可判断D.【详解】函数，所以，所以，故A正确；由实数满足，知函数图象与有三个不同的交点，作出函数的图象，如图：结合图象，可得，故选项B错误；根据二次函数的对称性知，，又，所以，所以，故C正确；，由题意，所以函数零点个数为三个方程解的个数之和，即函数的图象分别与，，交点个数之和，由C可知，，，结合图象可知，第8页/共17页函数图象与有一个交点，函数的图象与有三个交点，函数的图象与有一个交点，所以函数有5个互不相等的零点，故D正确.故选：ACD【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．第卷非选择题（共分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12.求函数的定义域______．【答案】【解析】【分析】根据函数有意义，得，解对数不等式，即可求解.【详解】要使原函数有意义，则，即，解得或．所以，函数的定义域为．故答案为：13.若时，，则a的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】通过分析函数和的图象关系，结合已知条件确定的取值范围.和时，的图象在图象下方，所以.第9页/共17页令，则，所以，解得.故答案为：.14.已知函数，的零点分别为，，且，，则______；若恒成立，则整数的最大值为______.（参考数据：，，，.）【答案】①.2②.6【解析】与图象的交点的横坐标为函数与对数函数的关系可知函数、的图象关于对称，作出图象，利用对称性可得第一空答案；由零点存在定理可得，且，从而得，即可得第二空答案.【详解】解：令，由；令，则，所以与图象的交点的横坐标即为两函数的零点.又因为，其图象是将的图象向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到的，由反比例函数的性质可知曲线的图象关于对称，又因为的图象也关于对称，第10页/共17页当，时，点与点关于对称，所以，可得，，令，则，因为在上均为单调递增函数，所以在上为单调递增函数，即在上单调递增，由，可得，，由零点存在定理可得，则，且，因为恒成立，所以整数的最大值为.故答案为：2；6.【点睛】关键点点睛：本题的关键是得出函数、的图象关于对称并作出第11页/共17页四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（1）计算；（2）计算.【答案】（1）2）【解析】【分析】（1）直接根据对数求值求解即可；（2）利用指数的运算法则即可得解.1）；（2）.16.已知集合.（1）求集合A；（2）若集合，求实数k的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】1）求出函数的值域即可求解；（2）解一元二次不等式，再根据补集交集运算求解即可.【小问1详解】第12页/共17页，所以.【小问2详解】，所以，，即，又因为，所以，所以，因为，所以.17.某路段需铺设防滑沥青，总长度为，设施工队每天铺设的长度为，每天的费用为万元，当时，，当时，.（1）求完成该路段的铺设工作的总费用.（总费用=每天的费用施工天数）（2）当为多少时，完成该路段的铺设工作的总费用最低？最低总费用是多少？【答案】（1）（2）当时，总费用最低，最低总费用是8万元.【解析】1）由题意得铺设完工所需时间为天，根据题意分析得出函数解析式即可；（2）根据（1）中函数的解析式利用函数单调性和基本不等式分析求解即可.【小问1详解】由题意，铺设完工所需时间为天，当时，,当时，，第13页/共17页所以.【小问2详解】当时，是减函数，所以当时，，当时，，当且仅当时等号成立，，因为，所以当时，总费用最低，最低总费用是8万元.18.已知函数（a为实数）是奇函数.（1）求a的值；（2）解不等式：；（3）若实数时，恒有，求t的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）结合指数运算，根据奇函数的定义列式求解；（2）将不等式等价化简得，然后结合对数概念利用指数函数单调性解不等式即可；（3）结合奇函数性质和单调性可得，，，进一步即可求解【小问1详解】由题意函数是定义在上的奇函数，所以，第14页/共17页所以；【小问2详解】由（1）知，则，所以，由函数单调递增得，所以原不等式的解集为；【小问3详解】，因为是奇函数，所以，显然的定义域为，当增大时，增大，此时减小，也减小，此时也减小，所以是上的减函数，所以由，可得，由题意得，，所以，，由对勾函数性质，可知在上单调递减，所以，即的取值范围为.19.已知函数，其中.（1）证明：函数的图象是中心对称图形；第15页/共17页（3）令，若，使得，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】1）计算出函数定义域后，验证是否为定值即可得；（2）结合函数定义域，计算大于是否恒成立即可得；（3）由题意可得，结合函数单调性可得，利用换元法与对勾函数性质可得，解出即可得解.【小问1详解】由题意可得，即，即，，故关于中心对称；【小问2详解】当时，，则，故当时，；【小问3详解】当时，单调递减，单调递增，则单调递减，又关于中心对称，故在上单调递减，则