河北省唐县第一中学高三上学期期中调研考试数学试题

届高三年级上学期中调研考试数学本试卷满分分，考试时间分钟.一、单选题1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质解不等式，求出集合A和集合B，再取并集即可求解.【详解】由解得，故集合，由解得，故集合，所以.故选：A.2.已知复数为纯虚数，则实数（）A.B.1C.3D.或1【答案】B【解析】【分析】利用纯虚数的概念可得所满足的条件，计算求解即可.【详解】因为复数纯虚数，所以，解得.故选：B.3.函数在上单调递增的必要不充分条件为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】第1页/共19页在在解即可.【详解】由函数在上单调递增，得在上恒成立，则，解得，因此A是充分条件，B是充要条件，C是既不充分也不必要条件，D是必要不充分条件.故选：D4.已知等比数列，则（）A.3B.±3C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算得解.【详解】在等比数列中，，由，得，而，因此，又，且同号，则，所以.故选：C5.已知，分别是正方体的棱，误的是（）A.B.平面平面C.四面体的体积为定值D.平面【答案】C【解析】【分析】A，利用线面垂直的判定定理证明平面即可；B，根据平面平面第2页/共19页判断；C，根据到平面的距离，到的距离为定值，的长不是定值判断；D，根据平面平面判断.【详解】如图所示：，分别是正方体的棱，对于A，，，，、平面，平面，平面，，故A正确；对于B，∵平面平面，平面与平面重合，∴平面平面，故B正确；对于C，到平面的距离为定值，到的距离为定值，的长不是定值，∴四面体的体积不为定值，故C错误；对于D，∵平面平面，平面，平面，故D正确．故选：C．【点睛】方法点睛：证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；④面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑤面面垂直的性质．6.已知直线与：交于在上的投影向量的模为，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据条件，将问题转化成圆心到直线的距离为，利用点到线的距离公式，即可求解.第3页/共19页又易知直线过定点，如图，过作于，因为在上投影向量的模为，则，所以，则，解得，故选：D.7.已知数列的前n项和为，满足，对于恒成立，则的最小值为（）A.B.0C.1D.4【答案】B【解析】【分析】由累乘法求得，再结合错位相减求和，即可求解.【详解】由题，，又符合上式，所以则，①，，②，由①②，得，第4页/共19页所以，若对于恒成立，即对恒成立，所以对恒成立，所以，所以.故选：B8.已知函数，若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是A1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出图像,由已知得，令t=,用t表示出两个实数根，，然后令g(t)，对函数g(t)求导即可得到所求最大值.【详解】作出的函数图像如图所示：由可得，∴，即.不防设，则，令，则，，∴，令，则，∴当时，，当时，，∴当时，取得最大值.第5页/共19页【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查了数形结合的思想方法应用，属于中档题．二、多选题9.已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（）A.B.在区间上的最小值为C.是图象的一个对称中心D.将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称【答案】BCD【解析】正确答案.A的最小正周期A错误；对于B，由题图可知，，且函数图象过点，当时，，解得，所以.当时，，由正弦函数的单调性知，函数在上单调递增，所以函数在区间上的最小值为，故B正确；对于C，因为，所以点是函数图象的一个对称中心，第6页/共19页对于DD正确.故选：BCD.10.设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是（）A.若且，则双曲线的两条渐近线的方程是B.若，则的面积等于C.若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3D.以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切【答案】BCD【解析】【分析】将且，带入方程求解渐近线方程即可判断A；，结合双曲线的定义求解即可判断B点坐标代入的方程，然后计算离心率的取值范围即可判断C是的中位线，两圆的半径之和，故两圆外切，即可判断D.【详解】当且时，的渐近线斜率为，选项A错误；，故选项B正确；把点坐标代入的方程得：，选项C正确；第7页/共19页如图，两圆的圆心距是的中位线，两圆的半径之和，故两圆外切，选项D正确.故选：BCD已知是定义在上的偶函数，且，则（）A.的图象关于直线对称B.为奇函数C.的图象关于点对称D.【答案】BCD【解析】，即可得函数的对称性，从而判断ABC，进一步得函数的周期性，进而根据周期性判断D.【详解】因为是偶函数，且，所以，，因此的图象关于点对称，也关于点对称，即，即，所以为奇函数，故A错误，B和C正确；因为，所以，于是，所以，又，所以，故D正确．故选：BCD.三、填空题12.焦点在直线上抛物线的标准方程为______．第8页/共19页【解析】【分析】先求出直线与坐标轴的点的坐标，然后根据抛物线方程的定义求出结果即可.【详解】抛物线的标准方程中，焦点必在坐标轴上，先求直线和坐标轴的交点：直线与轴的交点为，与轴的交点为，所以抛物线的焦点为或．当焦点为时，抛物线方程为；当焦点为时，抛物线方程为．综上，抛物线的标准方程为或．故答案为：或．13.已知，且满足，则________．【答案】【解析】【分析】应用同角三角函数关系结合两角差的余弦化简，应用角的范围或应用三角恒等变换结合角的范围得出，最后应用二倍角余弦公式计算.【详解】法一：由，则，因此，又因，所以，所以，则．法二：由，则，结合则，则．第9页/共19页故答案为：.14.已知三棱锥中，，为作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为______.【答案】【解析】【分析】取线段的中点，根据长度关系求出点为三棱锥的外接球球心，再根据的关系求出的最小值即可.【详解】取线段的中点，连接，因，，，则由勾股定理可知，，，则，则点为三棱锥的外接球球心，外接球半径为因，则由勾股定理可知，，因为的中点，则，设球心到过点的三棱锥外接球的截面的距离为，截面圆的半径为，则，欲使截面面积最小，即最小，则要求最大，当垂直截面时，最大，最大值为，则的最小值为，则截面面积的最小值为.故答案为：四、解答题第10页/共19页（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在处取得极值，求的单调区间和最值．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）根据题意可得，可得，进而求解函数的单调区间和最值.【小问1详解】当时，，则，则，又，所以曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】由，，则，所以，则，因为函数在处取得极值，所以，解得，此时，则，令，得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，第11页/共19页则时，函数取得极小值，满足题意，即，则函数的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，函数取得最小值，无最大值.16.已知数列的前项和满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】1）由等差数列的通项公式可得，再由与的关系，即可得到结果；（2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果.【小问1详解】，当时，；当时，，且满足上式，所以.【小问2详解】，第12页/共19页数列的前项和为.17.在平面四边形中，，，，.（1）求的长.（2）若为锐角三角形，求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】1）在中求出，然后利用正弦定理可求出的长；（2）先求出，然后由为锐角三角形，求出角的范围，再利用正弦定理表示出，从而可表示出面积，化简后结合角的范围可求得结果.【小问1详解】在中，，，则，由正弦定理得，，所以，因为第13页/共19页所以；【小问2详解】因为，，所以，所以，因为为锐角三角形，所以，即，解得，在中，由正弦定理得，则，所以，因为，所以，第14页/共19页所以，所以，所以，即.18.如图，四棱锥中，底面，，，.（1）若G点为的重心，求；（2）若，证明：平面；（3）若，且二面角的正弦值为，求.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】1）设出空间的一组基向量，将用基向量表示，运用数量积的运算律即可求得；（2）利用题设条件，先由线线垂直证明平面，得出，再证，在底面上，可得，最后由线线平行证线面平行即得；（3）设，，建立空间直角坐标系，求出相关点和平面法向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式列出方程，求得，即得.【小问1详解】设，，，则，，第15页/共19页如图，连接并延长交于点,连接,则两边取平方得.∴，∴.【小问2详解】因为平面，而平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以.因为，所以，在底面上，可知，又平面，平面，所以平面.【小问3详解】设，，则①，因，如图，第16页/共19页过点作的平行线，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.此时有因设平面的法向量为，则，故可取；又设平面的法向量为，则，故可取；则，由题意，，即②联立①②，解得故【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间向量在证明线面关系，空间角等方面的应用，属于较难题.解题的关键在于结合图形，要么选择空间的一组基底，将相关向量用基底表示，通过向量的线性运算和数量积运算求得结论；要么建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算解决问题.19.定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点．（1）求“共轭点对”中点B所在直线l的方程．（2）设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且1）中的直线l与椭圆C交于两点．①求点，的坐标；②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于．【答案】（1）（2）①，；②证明见解析第17页/共19页【解析】1）设，根据“共轭点对”得直线方程为，化简即可；（2）①联立直线和椭圆的方程，解出即可；②设点，，利用点差法得，设过点P且与直线l平行的直线的方程为，计算直线与椭圆相切时的值，再检验证明此时不满足，则证明出面积小于.【小问1详解】设中点B的坐标为，对于椭圆C：上的点，由“共轭点对”的定义，可知直线l的方程为，即l：．【小问2详解】①联立直线l和椭圆C的方程，得解得或，所以直线l和椭圆C的两个交点的坐标为，．②设点，，则，两式相减得．又，所以，所以，即，线段PQ被直线l平分．设点到直线的距离为d，则四边形的面积．第18页/共19页设过