高三一轮试题数学第48练随机抽样的方法统计图表

第九章统计第48讲随机抽样的方法、统计图表链教材夯基固本激活思维1．(人A必二P181练习T1)为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量．若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5kW·h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数()A．一定为5.5kW·h B．高于5.5kW·hC．低于5.5kW·h D．约为5.5kW·h2．某校的书法绘画、乐器演奏、武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600,400,300．若用分层随机抽样的方法抽取n名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了6名学生，则n的值为()A．20 B．22C．23 D．263．某班有30位同学，他们依次编号为01,02，…，29,30，现利用下面的随机数表选取5位同学组建“文明校园督查组”．选取方法是从随机数表的第1行的第5列和第6列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5位同学的编号为()4179271635860893215795620921092914574955828359837883513478702079932122A．08 B．21C．09 D．144．(人A必二P198练习T1)从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x的值为____；(2)在被调查的用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为____．5．(人A必二P185练习T3改)一支田径队有男运动员56名，女运动员42名，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本．如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取__ __名，女运动员应抽取____名．聚焦知识1．简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个____抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和____法．(3)两种抽样方法的适用范围抽签法适用于总体中个体数不多的情形．随机数法适用于总体量较大，样本量较小的情形．2．分层随机抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层随机抽样．(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层随机抽样．(3)应用方法：①每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为____．②如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，两层的总体平均数分别为eq\x\to(X)，eq\x\to(Y)，总体平均数为eq\x\to(W)，样本平均数为eq\x\to(w)，则eq\x\to(w)＝eq\f(m,m＋n)eq\x\to(x)＋eq\f(n,m＋n)·eq\x\to(y)，eq\x\to(W)＝eq\f(M,M＋N)eq\x\to(X)＋eq\f(N,M＋N)eq\x\to(Y)．③在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数eq\x\to(w)估计总体平均数eq\x\to(W)．3．频率分布直方图的性质(1)小矩形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝____，各小矩形的面积表示相应各组的频率，即频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于____．(3)eq\f(频数,相应的频率)＝样本容量．研题型能力养成举题说法抽样方法例1(1)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法为从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08 B．07C．02 D．01(2)(2024·莆田二检)某校高三年级有男生600人，女生400人．为了获得该校全体高三学生的身高信息，采用按比例分配的分层随机抽样法抽取样本，得到男生、女生的平均身高分别为173cm和163cm，估计该校高三年级全体学生的平均身高为()A．167cm B．168cmC．169cm D．170cm简单随机抽样和分层随机抽样是高中统计学中常用的两种随机抽样方法．随机数法是简单随机抽样方法之一，制作随机数表、确定始读数、按需取数是其三个关键环节；分层随机抽样是一种按比例分配，详见“聚焦知识”．变式1(2023·新高考Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法做抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有()A．Ceq\o\al(45,400)·Ceq\o\al(15,200)种 B．Ceq\o\al(20,400)·Ceq\o\al(40,200)种C．Ceq\o\al(30,400)·Ceq\o\al(30,200)种 D．Ceq\o\al(40,400)·Ceq\o\al(20,200)种统计图表(条形图、扇形图、折线图)例2(1)某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图(1)和图(2)所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则样本容量和该地区的初中生近视人数分别为()图(1)图(2)(例2(1))A．100,50 B．100,1050C．200,50 D．200,1050(2)随机抽取某高速收费站一天内9个不同的时段(每时段1小时)人工收费和ETC收费口进出站的车辆数，统计数据如折线图所示：则估计全天24个时段中，ETC收费口进出该站的车辆数比人工收费口的多80辆以上的时段有()A．6个 B．7个C．8个 D．9个常见统计图表的特点与区别(1)扇形图：用于直观描述各类数据占总数的比例，易于显示每组数据相对于总数的大小．(2)条形图：主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，适用于描述离散型数据．(3)直方图：主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，直方图适用于描述连续型数据．(4)折线图：主要用于描述数据随时间的变化趋势．变式2(多选)某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布的饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则()90后从事互联网行业者岗位分布图A．互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比80后多B．90后互联网行业中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前多D．互联网行业从业人员中90后占一半以上频率分布直方图例3(多选)某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则()A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35%B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时C．估计该地初一年级有10%的学生做作业的时间超过4小时D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间解决频率分布直方图问题，主要依据频率分布直方图的制作方法与其性质(详见“聚焦知识”)并结合统计中的相关概念处理．变式3(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如图所示的频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中不正确的是()A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间随堂内化1．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01,02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第5行：66674037146405711105650995866876832037905716031163149084452175738805905223594310若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是()A．10 B．09C．71 D．202．采用分层随机抽样的方法对某校共600名高三年级学生的身高(单位：cm)进行调查，估计得到该年级男生、女生和全体学生的平均身高分别为170.0,160.4,165.6，则该年级的男生人数约为()A．315 B．320C．325 D．3303．(多选)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2022年1月至2024年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．(多选)某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如图所示的扇形图和条形图，则()A．该校高一学生总人数为700B．该校高一学生中选考物化政组合的人数为80C．该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多D．用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生中抽取20人，则生史地组合抽取6人5．(2024·石家庄三模)为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如图所示的频率分布直方图，则直方图中实数a的值为____．

配套热练一、单项选择题1．已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为240,160,160．现采用分层随机抽样的方法从中抽取n名同学去某敬老院参加慈善活动，其中高一年级被抽取的人数为9，则n等于()A．21 B．24C．27 D．302．某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在[70,100]内．现将所有学生的体能测试成绩按[70,80)，[80,90)，[90,100]分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图．若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在[90,100]内的被抽取的学生人数为()A．4 B．6C．8 D．103．已知下表为随机数表的一部分，将其按每5个数字编为一组：080151772745318223742111578253772147740243236002104552164237291486625236936872037662113990685141422546427567889629778822已知甲班有60位同学，编号为01～60，现在利用上面随机数表的某一个数为起点，以简单随机抽样的方法在甲班中抽取4位同学，则抽到的4位同学的编号不可能是()A．08,01,51,27 B．27,02,52,25C．15,27,18,74 D．14,22,54,274．(2024·鹰潭一模)南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人费洛伦斯·南丁格尔(FlorenceNightingale)设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量(单位：亿人次)，并绘制成南丁格尔玫瑰图(如图所示)，根据此图，下列说法正确的是()A．2015年至2022年，知识付费用户数量先增加后减少B．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2022年最多C．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍二、多项选择题5．某学校为了解同学们某天上学的交通方式，在高一年级开展了随机调查，将学生某天上学的交通方式归为四类：A为家人接送，B为乘坐地铁，C为乘坐公交，D为其他方式，学校把收集到的数据整理绘制成条形图和扇形图，如图只给出了其中部分信息，根据图中信息，下列说法正确的是()学生上学交通方式条形图学生上学交通方式扇形图A．若该校高一年级有学生2000人，则高一年级约有1200人乘坐公共交通工具上学B．估计某天该校高一年级有eq\f(1,4)的学生家人接送上学C．扇形图中B的占比为38%D．估计该校学生上学交通方式为乘坐地铁或者其他方式的人数占全校学生人数的一半6．(2018·全国乙卷)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例下列结论中正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半7．为了更好地支持中小型企业的发展，我市决定对部分企业的税收进行适当地减免．某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是()A．样本数据落在区间[300,500)内的频率为0.45B．若规定年收入在500万元以内的中小型企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策C．若该调查机构调查了100家中小型企业，则年收入不少于400万元的有80家D．估计样本的中位数为480万元三、填空题8．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200件、400件、300件、100件．为检验产品的质量，现用分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取____件．9．某班共有学生40人，将一次数学考试成绩(单位：分)绘制成频率分布直方图如图所示，则成绩不低于85分的人数为____．10．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号：001,002，…，699,700．从中抽取70个样本，若从下图提供的随机数表中第3行第12列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是___．322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345四、解答题11．某校高三(1)班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计得到如下频率分布表：分组频数频率[180,210)40.1[210,240)8s[240,270)120.3[270,300)100.25[300,330]nt(1)求分布表中s，t的值；(2)某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这40名学生中按时间用分层随机抽样的方法抽取20名学生进行研究，问：应抽取多少名第一组的学生？12．(2024·成都二模)高考赋分成绩的具体算法是：先将原始成绩按从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例分别约为15%,35%,35%,13%,2%．依照转换公式，将五个等级的原始分分别转换到100～86,85～71,70～56,55～41，40～30五个分数区间，并对所得分数的小数点后一位进行“四舍五入”，最后得到保留为整数的转换分成绩，并作为赋分成绩．具体等级比例和赋分区间如下表：等级ABCDE比例15%35%35%13%2%赋分区间100～8685～7170～5655～4140～30已知某次调研考试化学科目考试满分为100分．(1)已知转换公式符合一次函数模型，若学生甲、乙在本次考试中化学的原始成绩分别为84,78，转换分成绩为78,71，试估算本次化学原始成绩B等级中的最高分；(2)现从本次调研考试的化学成绩中随机选取100名学生的原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，求出图中a的值，并用样本估计总体的方法，估计本次化学原始成绩B等级中的最低分．第九章统计第48讲随机抽样的方法、统计图表激活思维1.D【解析】由样本的数字特征与总体的数字特征的关系，可知全市居民用户日用电量的平均数约为5.5kW·h.2.D【解析】因为武术爱好小组的人数占总人数的比值为eq\f(300,600＋400＋300)＝eq\f(3,13)，所以根据分层随机抽样的特点得eq\f(6,n)＝eq\f(3,13)，解得n＝26.3.C【解析】从随机数表的第1行的第5列和第6列数字开始，则取得的数字分别为27，16，35(舍去)，86(舍去)，08，93(舍去)，21，57(舍去)，95(舍去)，62(舍去)，09，最终取得的第5个编号为09.4.(1)0.0044【解析】(1)由(0.0060＋x＋0.0036＋0.0024×2＋0.0012)×50＝1，解得x＝0.0044.(2)70【解析】(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50×100＝70.5.1612【解析】田径队运动员的总人数是56＋42＝98，要得到容量为28的样本，占总体的比例为eq\f(2,7)，于是应该在男运动员中随机抽取56×eq\f(2,7)＝16(名)，在女运动员中随机抽取28－16＝12(名).聚焦知识1.(1)不放回地(2)随机数2.(3)①比例分配3.(1)频率(2)1举题说法例1(1)D【解析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，故符合条件的依次为08，02，14，07，01，故第5个数为01.(2)C【解析】估计该校高三年级全体学生的平均身高为0.6×173＋0.4×163＝169(cm).变式1D【解析】根据分层随机抽样的定义知初中部共抽取60×eq\f(400,600)＝40(人)，高中部共抽取60×eq\f(200,600)＝20(人)，根据组合公式和分步计数原理，则不同的抽样结果共有Ceq\o\al(\s\up1(40),\s\do1(400))·Ceq\o\al(\s\up1(20),\s\do1(200))种．例2(1)D【解析】由题意知，被抽取的小学生有80人，则样本容量为80÷40%＝200，所以该地区的学生人数为200÷2%＝10000，所以该地区的初中生近视人数为10000×35%×30%＝1050.(2)C【解析】由图可知，9个时段内，ETC收费进出该站的车辆数比人工收费口的分别多40辆、60辆、60辆、70辆、70辆、80辆、90辆、90辆、100辆，其中ETC收费口进出该站的车辆数比人工收费口的多80辆以上的时段有3个，故估计全天24个时段中，ETC收费口进出该站的车辆数比人工收费口多80辆以上的时段有eq\f(3,9)×24＝8(个).变式2BCD【解析】设整个互联网行业总人数为a，对于A，互联网行业中从事技术岗位的90后人数为56%a×39.6%＝22.176%a，小于80后的总人数38%a，但80后中从事技术岗位的人数比例未知，故A错误；对于B，90后从事技术岗位的人数为56%×39.6%a＝22.176%a，超过总人数的20%，故B正确；对于C，互联网行业中从事运营岗位的90后人数为56%a×17%＝9.52%a，超过80前的总人数6%a，且80前中从事运营岗位的人数不超过80前的总人数，故C正确；对于D，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，故D正确．例3ABC【解析】对于A，超过3小时的概率估计为(0.3＋0.2＋0.1＋0.1)×0.5＝0.35＝35%，故A正确；对于B，超过2小时的概率估计为(0.5＋0.4＋0.3＋0.2＋0.1＋0.1)×0.5＝0.8，所以估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时，故B正确；对于C，做作业的时间超过4小时的概率估计为(0.1＋0.1)×0.5＝0.1＝10%，故C正确；对于D，做作业的时间在2小时至3小时之间的概率估计为(0.5＋0.4)×0.5＝0.45，所以没有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间，故D错误．变式3C【解析】该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02＋0.04＝0.06＝6%，故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04＋0.02×3＝0.10＝10%，故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比率估计值为0.10＋0.14＋0.20×2＝0.64＝64%>50%，故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(万元)，超过6.5万元，故C错误．随堂内化1．B【解析】从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，找出4个不重复的且在01～50内的编号，14，05，11，09，20，则得到的第4个样本编号是09.2.C【解析】设该年级的男生人数为x，则女生人数为600－x，则eq\f(x,600)·170.0＋eq\f(600－x,600)·160.4＝165.6，即170x＋600×160.4－160.4x＝165.6×600，即9.6x＝600×(165.6－160.4)＝600×5.2，所以x＝eq\f(600×5.2,9.6)＝325.3.BCD【解析】对于A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错误；对于B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于C，观察折线图，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份，故C正确；对于D，观察折线图，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确．4.BC【解析】对于A，选科为政史地的人数为200，占比为0.25，则该校高一学生共有200÷0.25＝800(人)，故A错误；对于B，选科为物化生的人数为800×0.35＝280，选科为物化政的人数为eq\f(800－200－280－160,2)＝80，故B正确；对于C，选考历史的人数为200＋160＝360，选考物理的人数为280＋80＋80＝440，选考物理的人数比选考历史的人数多，故C正确；对于D，选科为生史地的学生人数占比为eq\f(160,800)＝0.2，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取20人，生史地组合应抽取20×0.2＝4(人)，故D错误．5.0.015【解析】由直方图可知，组距为10，所以10×(0.005＋a＋0.020＋0.040＋0.020)＝1，解得a＝0.015.配套精炼1.A【解析】由题意可知，eq\f(240,240＋160＋160)＝eq\f(9,n)，解得n＝21.2.B【解析】由频率分布直方图可知，体能测试成绩在[90，100]内的被抽取的学生人数为0.03×10×20＝6.3.C【解析】因为60位同学的编号为01～60，所以利用随机数法抽到的4位同学的编号不可能大于60，即不可能是选项C中的74.4.D【解析】对于A，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A错误．对于B，C，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年，0.96－0.48＝0.48；2017年，1.88－0.96＝0.92；2018年，2.95－1.88＝1.07；2019年，3.56－2.95＝0.61；2020年，4.15－3.56＝0.59；2021年，4.77－4.15＝0.62；2022年，5.27－4.77＝0.5，则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故B，C错误．对于D，由5.27>10×0.48，则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D正确．5.ABD【解析】因为乘坐公交的调查人数为60，所占比例为25%，所以调查的总人数为60÷25%＝240.对于A，乘坐公共交通工具上学的人数为2000×eq\f(84＋60,240)＝1200，所以A正确；对于B，家人接送的学生所占的比例为eq\f(240－84－60－36,240)＝eq\f(1,4)，所以B正确；对于C，扇形图中B的占比为eq\f(84,240)×100%＝35%，所以C错误；对于D，eq\f(84＋36,240)×100%＝50%，所以D正确．6.BCD【解析】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A不正确；新农村建设前其他收入为0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后养殖收入为0.6M，所以增加了一倍，所以C正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的30%＋28%＝58%>50%