2025年大三（统计学）数理统计考核题

2025年大三（统计学）数理统计考核题

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______第I卷（选择题共30分）答题要求：本大题共10小题，每小题3分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，X̅为样本均值，S²为样本方差，则下列说法正确的是（）A.X̅服从正态分布N(μ,σ²/n)B.nS²/σ²服从自由度为n-1的χ²分布C.(X̅-μ)/(S/√n)服从自由度为n-1的t分布D.以上都不对答案：A2.在假设检验中，显著性水平α的意义是（）A.原假设H₀成立，经检验被拒绝的概率B.原假设H₀成立，经检验不能被拒绝的概率C.原假设H₀不成立，经检验被拒绝的概率D.原假设H₀不成立，经检验不能被拒绝的概率答案：A3.已知总体X的均值μ和方差σ²都存在，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，样本均值X̅和样本方差S²，则μ的无偏估计量是（）A.X̅B.S²C.(X₁+X₂)/2D.以上都不是答案：A4.对于回归直线方程ŷ=b₀+b₁x，以下说法错误的是（）A.b₁表示x每变动一个单位，ŷ的平均变动值B.b₀是回归直线在y轴上的截距C.回归直线一定过样本点的中心(x̅,y̅)D.回归直线方程是通过最小二乘法得到的，使得样本点到直线的垂直距离平方和最小答案：D5.设X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，总体均值为μ，样本均值为X̅，则样本均值X̅的方差为（）A.σ²/nB.σ²C.σ²/(n-1)D.以上都不对答案：A6.在一元线性回归分析中，判定系数R²的取值范围是（）A.[0,1]B.(-∞,1]C.[0,+∞)D.(-∞,+∞)答案：A7.已知样本容量n=16时，样本均值X̅=20，样本标准差S=4，则总体均值μ的置信度为0.9置信区间为（）（t₀.₀₅(15)=1.7531）A.(18.2469,21.7531)B.(19.7531,20.2469)C.(18.3469,21.6531)D.(19.6531,20.3469)答案：A8.设总体X服从参数为λ的泊松分布，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则λ的最大似然估计量是（）A.X̅B.S²C.1/X̅D.以上都不是答案：A9.在方差分析中，检验统计量F的值越大，说明（）A.组间方差越大B.组内方差越大C.因素的影响越显著D.因素的影响越不显著答案：C10.已知总体X服从正态分布N(0,1)，X₁,X₂,X₃是来自总体X的数据，则Y=X₁²+X₂²+X₃²服从（）分布A.正态分布B.χ²分布，自由度为1C.χ²分布，自由度为3D.t分布，自由度为3答案：C第II卷（非选择题共70分）（一）填空题（共15分）答题要求：本大题共5小题，每小题3分。请将答案填写在题中的横线上。1.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，样本均值X̅=10，样本方差S²=4，n=25，则μ的置信度为0.95的置信区间为________________。（t₀.₀₂₅(24)=2.0639）答案：(9.1653,10.8347)2.在假设检验中，若原假设H₀为真，拒绝原假设的概率称为________________。答案：第一类错误（或弃真错误）3.已知总体X的概率密度函数为f(x)=2x,0<x<1，则总体均值E(X)=________________。答案：2/34.在一元线性回归模型y=β₀+β₁x+ε中，ε服从________________分布。答案：正态分布5.设总体X服从参数为p的0-1分布，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则p的最大似然估计量是________________。答案：X̅（二）简答题（共15分）答题要求：本大题共3小题，每小题5分。简要回答问题。1.简述无偏估计量的定义。答案：设θ̂是总体参数θ的估计量，若E(θ̂)=θ，则称θ̂是θ的无偏估计量。即无偏估计量的均值等于被估计的总体参数。2.简述假设检验的基本步骤。答案：（1）提出原假设H₀和备择假设H₁；（2）选择合适的检验统计量；（3）确定显著性水平α；（4）根据样本数据计算检验统计量的值；（5）根据检验统计量的值与临界值比较，作出拒绝或接受原假设的决策。3.简述方差分析的基本思想。答案：方差分析的基本思想是将总变异分解为各个因素的变异，通过比较各因素变异与随机误差变异的大小，来判断各因素对观测变量是否有显著影响。通过计算F统计量，比较组间方差与组内方差的比值，若F值大于临界值，则认为因素对观测变量有显著影响。（三）计算题（共20分）答题要求：本大题共2小题，每小题10分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1.设总体X服从正态分布N(μ,1)（μ未知），X₁,X₂,X₃是来自总体X的样本，考虑μ的三个估计量：θ̂₁=(X₁+X₂)/2，θ̂₂=(X₁+2X₂)/3，θ̂₃=(X₁+X₂+X₃)/3。（1）证明θ̂₁,θ̂₂,θ̂₃都是μ的无偏估计量；（2）比较θ̂₁,θ̂₂,θ̂₃的有效性。答案：（1）证明：E(θ̂₁)=E((X₁+X₂)/2)=(E(X₁)+E(X₂))/2=(μ+μ)/2=μ，所以θ̂₁是的无偏估计量；同理可证E(θ̂₂)=μ，E(θ̂₃)=μ，所以θ̂₂,θ̂₃都是μ的无偏估计量。（2）计算方差：D(θ̂₁)=D((X₁+X₂)/2)=(D(X₁)+D(X₂))/4=(1+1)/4=1/2；D(θ̂₂)=D((X₁+2X₂)/3)=(D(X₁)+4D(X₂))/9=(1+4)/9=5/9；D(θ̂₃)=D((X₁+X₂+X₃)/3)=(D(X₁)+D(X₂)+D(X₃))/9=(1+1+1)/9=1/3。因为D(θ̂₃)<D(θ̂₁)<D(θ̂₂)，所以θ̂₃最有效。2.对某地区10户家庭