《生活中的圆周运动》教案

《生活中的圆周运动》教案教学目标及教学重点、难点【教学目标】能根据所学知识分析生活中的各种圆周运动现象，在此过程中体会模型建构的方法。知道航天器中的失重现象。了解生产生活中的离心现象及其产生的原因。【难点】火车转弯时合力方向的判定，过山车过最高点的速度条件。【重点】从生活情境中抽象出圆周运动的模型，找出向心力由什么力提供。教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图环节一：圆周运动知识复习环节二：火车转弯环节三：汽车过拱形桥环节四：航天器中的失重现象环节五：离心运动1同学们好，这节课我们来学习生活中的圆周运动。在前面几节中，大家学习了关于圆周运动的一些基本知识，包括描述圆周运动的物理量以及向心力和向心加速度的概念。在开始这节课的学习之前，我们先来简单回顾一下这些知识。2我们知道，做匀速圆周运动的物体，需要一个指向圆心的力，叫做向心力。向心力的大小可以用物体的质量，物体做圆周运动的半径以及线速度、角速度或周期等物理量来表示，表达式可以写成Fn=mv2r当物体做匀速圆周运动的时候，合力等于向心力。也就是说，外界提供给物体的力，等于物体所需要的向心力，供需平衡，这时候物体就能够做匀速圆周运动。从本质上讲，这是牛顿第二定律在圆周运动中的应用，只不过这时候的加速度a应该是向心加速度an需要注意的是，向心力并不是物体真实受到的力，它是按照效果命名的力，所以我们在做物体受力分析的时候并不能画出向心力。我们通常说是什么力或者是哪些力的合力充当或者提供了向心力。在解决问题的时候，往往找出向心力是由什么力来提供的是解决问题的关键。这节课我们利用之前学过的知识，来解决生活中的一些问题。3接下来我们来研究几个实例。第一个是火车转弯，第二个是汽车过拱形桥，第三个是航天器中的失重现象，第四个是离心运动。第四个实例打了星号，表示是自主学习的内容。4我们先来看火车转弯。请同学们先看一段视频。（放视频）坐过火车的同学可能体验过这样的情景。铁路上有弯道，火车在转弯的时候，如果弯道是一段圆弧，那么火车做的是圆周运动。不知道同学们有没有考虑过这样一些问题：火车在转弯的时候，是什么力提供了向心力？这个力需要多大？铁轨在弯道处的设计有什么特点？有哪些需要特别考虑的地方？下面，我们通过一个具体的问题来看。5假设有一辆质量m=60t的机车，以v=10m/s的速度匀速通过一段半径R=100m的弯道。如果两条轨道的高度相同，轮缘受到的水平压力为多大？如果要使轮缘不受侧向压力，应该如何设计轨道？问题是这样的。那么，什么是轮缘？为什么轮缘会受到水平压力？为了搞清楚这些问题，我们需要先介绍一下火车车轮和铁轨的结构。6坐过火车的同学，不知道你们有没有注意过火车车轮和铁轨的形状。铁轨的截面是上下宽、中间窄的形状，类似汉字工人的“工”，又叫工字钢。火车的车轮，各处的半径并不相同，车轮的内侧有一圈凸出的边缘，叫做轮缘。火车行驶时，轮缘卡在轨道的内侧，能够限制火车始终在轨道上行驶，不至于轻易脱轨。火车转弯时是在水平面内做圆周运动。（动画）如果两条轨道等高的话，火车在转弯的时候，轮缘会受到轨道给它的侧向压力。这个侧向压力就提供了火车转弯时候所需要的向心力。弯道处的两条铁轨，离圆心较近的一条我们叫做内轨，离圆心较远的一条我们叫做外轨。由于侧向压力指向圆心，所以这个压力是外轨给轮缘的。由于外轨给轮缘的侧向压力提供了向心力，所以，如果我们算出来火车转弯需要的向心力是多大，就能知道轮缘受到的水平压力是多大了。7让我们再回顾一下刚才的问题，这里有些数据我们先要记住，机车的质量是60t，速度大小是10m/s，弯道的半径是100m。下面我们来做一下计算。8刚才已经分析了，如果两轨的高度相同，火车转弯所需的向心力由外轨对轮缘的压力提供。（动画）根据向心力的表达式，Fn=mv2R9有一个办法是把轨道的一侧垫高，使弯道处的外轨略高于内轨。这样，轨道平面与水平面有一个夹角θ，铁轨对火车支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧。它与重力mg的合力F就充当了火车转弯时需要的向心力。这里需要注意的是，火车在转弯的时候是在水平面内做圆周运动。换句话说，转弯时，火车重心的高度是不变的。所以，重力与支持力的合力的方向也是沿着水平方向指向圆心。合力的大小可以用重力和倾角θ来表示。合力F的大小为mg（动画）我们写出合力充当向心力的表达式。根据牛顿第二定律F=ma，我们把F换成mgtanθ，把a换成向心加速度v2r，整理可以得到tanθ的表达式。（动画）把已知的数据带进去，10如果火车转弯的速度比较大，需要的向心力更大，那这个时候合力不足以提供向心力，火车的车轮就会挤压外侧的铁轨。（动画）如果火车的速度比较小，那么火车就会有向内运动的趋势，就会挤压内侧的铁轨。所以，在设计轨道倾角的时候，既要考虑火车转弯半径的大小，又要考虑火车通过的速度。只有火车以合适的速度通过弯道，才不会对铁轨造成挤压。11实际中，铁轨在弯道处也是采用了这样的设计。我们注意到，画面中转弯的火车，车身是略向内侧倾斜的，外轨略高于内轨，这样，以合适速度通过的火车就能减少对铁轨的挤压。其实，不仅是火车转弯，如果你细心观察，会发现类似的设计还出现在其他的地方。（动画）例如，在高速公路的转弯处和场地自行车比赛的赛道上，路面也有一定的倾斜度。你能试着解释其中的原因吗？与火车转弯类似，这样的设计可以使支持力的一部分来帮助提供向心力，从而减少了汽车或自行车在路面上发生侧滑的可能。以上，是我们研究的第一个实例。12下面我们来看第二个实例：汽车过拱形桥。汽车在过拱形桥时做的是什么样的运动？汽车在经过拱形桥最高点时受力情况如何？我们还是先通过一个具体的问题来研究。13汽车过拱形桥时的运动也可以看作圆周运动。质量为m的汽车在拱形桥上以速度v前进，设桥面的圆弧半径为r，求汽车通过桥的最高点时对桥的压力大小。与刚才的例子不同，这是一个竖直面内的圆周运动。竖直面内的圆周运动注意不要忘记重力。由于我们考虑的是最高点的情况，圆心在汽车的正下方，所以我们只要分析汽车在竖直方向的受力即可。我们选取汽车为研究对象，在竖直方向上，汽车受到重力mg与桥给的支持力FN。这两个力的合力充当了汽车做圆周运动需要的向心力。向心力的大小可以根据汽车的速度v和桥面圆弧的半径r求得，那么我们就可以知道汽车受到的支持力。汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力和反作用力，大小相等。所以，知道了支持力，14刚才已经分析了，在最高点，重力与支持力的合力充当向心力。（动画）根据牛顿第二定律F=ma，我们把F换成mg−FN，把a换成向心加速度v2r，就可以写出mg−FN=mv2r，（动画）整理一下，可以得到F15另外，我们还可以对这个结果做一些讨论，看一看汽车对桥的压力跟汽车的速度有什么关系。（动画）可以看到，随着速度的增加，压力会减小。但是压力减小是有一个限度的，压力最小就是0。这种情况下，汽车的速度是一个临界值。（动画）代入FN'=0，我们可以算出，临界速度v=gr。也就是说，一般来说，汽车对地面的压力过小是不安全的，所以汽车在过拱形桥最高点时，速度最好不要超过gr这个临界值。另一方面，对于同样的车速，如何设计拱桥能使汽车安全通过呢？是圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全？请同学们课下思考。16如果你会分析汽车过拱形桥的问题了，那我们现在来看一个类似的问题：如果汽车通过一段圆弧形的凹形路面，那么在凹形路面的最低点，汽车给路面的压力是多大呢？我们还是先分析汽车的受力情况。在竖直方向上，汽车受到重力mg与地面给的支持力FN。这两个力的合力充当了汽车做圆周运动需要的向心力。（动画）因为此时圆心在汽车的正上方，所以合力的方向竖直向上。于是，我们可以类似地列出合力充当向心力的表达式，（动画）注意这里是FN−mg=mv2r。解出FN，（动画）再根据牛顿第三定律就可以得到汽车对桥的压力FN17除了汽车过拱形桥，竖直面内的圆周运动还有许多实例。下面的内容我们作为拓展，供基础较好的同学学习。可能有些同学坐过过山车，坐的时候我们都会系安全带。但是，当过山车运动到轨道最高点时，如果没有安全带，坐在其中的乘客是不是一定掉下来呢？18为了分析这个问题，我们先来看一段实验录像。（放视频）从录像中我们可以看到，即使小球没有安全带，它在圆轨道的最高点也没有掉下来。这是什么原因呢？19我们可以把过山车的轨道简化为竖直面内的圆轨道，圆心为O，半径为R，把车中的乘客看作一个小球，质量为m。小球通过最高点时的速度设为v。我们想求一下，在最高点，小球和轨道之间的压力是多大。在最高点，小球受到竖直向下的重力，此外，还可能受到轨道给它的竖直向下的压力FN。重力与压力的合力充当了向心力。于是，我们可以写出mg+FN=mv2R。20从表达式中可以看出，如果小球通过最高点时的速度越小，那么小球和轨道之间的压力就越小。但是压力减小有一个限度，压力最小就是0。当v=gR时，FN类似地，对于过山车来说，只要它在轨道最高点的速度足够大，那么即使没有安全带，其中的乘客也不会掉下来。但是，现实中，为了更加保险，我们还是一定要系安全带的。21现在让我们回到汽车过拱形桥的问题。请同学们想象一下：如果拱形桥的半径足够大，大到和地球的半径一样大，汽车的速度又足够快，快到刚好能够腾空而起，那么会出现什么样的情况？车内的人又有什么样的感觉呢？其实，这样的场景并不是什么天方夜谭，它已经实现了，不过不是在汽车上，而是在航天器中。22下面我们来看第三个实例：航天器中的失重现象。我们先来看一段视频。（放视频）飞船中的失重现象十分有趣。为什么会出现这样的现象呢？23我们以绕地球做匀速圆周运动的宇宙飞船为例做些说明。飞船轨道的圆心在地心。（动画）飞船距地面的高度为100〜200km，而地球的半径约为6400km，所以飞船距地面的高度比地球半径小很多，飞船的轨道半径近似等于地球半径R。（动画）我们知道，飞船中的航天员处于失重状态。（动画）如何解释这个现象呢？是因为航天员在飞船中不受地球的引力吗？我们先要纠正一个错误认识，就是认为航天员在飞船中不受地球的引力。飞船距离地面的高度相比地球半径小很多，所以在飞船这个高度，航天员不仅受到地球的引力，而且引力的大小与她在地面受到引力的大小相差不多。实际上，正是由于地球引力的存在，才使航天器连同其中的航天员有可能做环绕地球的圆周运动。下面我们研究飞船中航天员的受力情况。（动画）航天员受到的地球引力近似等于她在地面受到的重力mg，除此以外，航天员还可能受到飞船座舱对她的支持力FN航天员同飞船一起绕地球做匀速圆周运动。对航天员来说，是引力与支持力的合力充当向心力，而向心力的大小与飞船的线速度和轨道半径有关，我们据此可以解出支持力的大小。下面我们来列式。24由于重力与支持力的合力充当向心力，（动画）我们可以写出mg−FN=mv2R。（动画）解出FN=mg−mv2R。（动画）我们发现，25最后，我们来看一看离心运动。这部分内容打星号了，表示是自主学习的内容。首先说明一件事情：离心是一种现象，它并不是力，我们不讲离心力。这里涉及到物体做圆周运动时，受力的供与需的问题。物体做圆周运动，需要向心力，大小可以用mω2r来表示。如果外界给物体的力F恰好能够提供物体所需的向心力，那么物体就做圆周运动。一旦外力F26（放视频）我们刚才看到了离心运动的几种应用。其实，离心运动的应用远不止这些。你还能想到生活中有哪些地方利用了离心现象呢？27虽然离心运动有这么多的应用，但它有时也会带来危害。我们来看一段视频。（放视频）28水平公路上行驶的汽车，在转弯时也需要向心力。我们分析一下转弯时汽车的受力情况。汽车受到竖直向下的重力与地面给的竖直向上的支持力。由于汽车在竖直方向上始终没有位移，这两个力是平衡的。汽车在水平面内做圆周运动，所以，可能提供向心力的只有地面给的水平方向的摩擦力。我们假设汽车在转弯时车轮与地面间不打滑，那么这个摩擦力是静摩擦力。静摩擦力有一个限度，叫最大静摩擦力，我们用fmax来表示。如果转弯时速度过大，所需向心力很大，大于最大静摩擦力fmax时，汽车将做离心运动而造成事故。因此，在公路弯道，车辆不允许超过规定的速度。下面我们通过一个具体的例子来算一算，为了不让汽车做离心运动，转弯时的车速不能超过多少？29设汽车的质量为m，转弯时的车速为v，水平弯道的半径为R，车轮与地面间的动摩擦因数为μ。假定最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。为了不让汽车做离心运动，转弯时的车速不能超过多少？30我们分析一下刚才的问题。由于静摩擦力f静充当向心力，我们可以写出f静=mv2R。另一方面最大静摩擦力fmax=μF31除了汽车转弯，离心运动还可能在其他地方造成危害。例如，高速转动的砂轮、飞轮等，都不得超过允许的最大转速。转速过高时，砂轮、飞轮内部分子间的相互作用力不足以提供所需向心力，离心运动会使它们破裂，酿成事故。32下面我们利用这节课介绍的内容来做一道练习。问题是这样的：质量为25kg的小孩坐在秋千上，小孩离系绳子的横梁2.5m。秋千摆到最低点时，如果小孩运动速度的大小是5m/s，他对秋千的压力是多大？g取10m/s2。这个问题怎么解决呢？同学们可以先思考一下。现在我们一起分析。我们将小孩的运动抽象成竖直面内的圆周运动，圆心位于横梁处，半径是2.5m，当小孩运动到最低点时，他受到重力mg与秋千给的支持力FN33由于重力与支持力的合力充当了向心力，我们可以写出FN−mg=mv2R，根据牛顿第三定律，小孩对秋千的压力，FN'=FN=mg+mv34最后，我们来回顾一下这节课的内容。这节课我们先后研究了火车转弯，汽车过拱形桥，航天器中的失重现象和离心运动四个实例。通过这些实例，我们将之前学习的圆周运动的知识运用到生活中。在解决这些问题的时候，我们首先要从实际情境中抽象出圆周运动的模型，找好圆心和半径。往往解决问题的关键是做好物体的受力分析，找到是什么力充当向心力。希望通过对这些问题的研究，同学们能够对圆周运动有更深入的理解。今天的课就到这里了，谢谢大家！通过多个实例，使学生将圆周运动的知识运用到生活中。课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021河北邯郸高一检测)下列措施中不属于防止离心现象造成危害的是()答案A解析公路上的减速带是为了防止汽车超速而产生危险,不属于防止离心现象造成危害;砂轮外侧加防护罩是为了避免砂轮转速过大发生离心现象而分裂飞出;链球运动场地安装防护网是为了防止链球离心飞出而造成危害;弯道限速是为了防止汽车车速过大发生离心现象,造成翻车或侧滑。故选A。2.已知某处弯道铁轨是一段圆弧,转弯半径为R,重力加速度为g,列车转弯过程中倾角(车厢底面与水平面夹角)为θ,则列车在这样的轨道上转弯行驶的安全速度(轨道不受侧向挤压)为()A.gRsinθ BC.gRtanθ D答案C解析受力分析如图所示,当内外轨道不受侧向挤压时,列车受到的重力和轨道支持力的合力充当向心力,故Fn=mgtanθ,Fn=mv2R,解得v=3.(多选)如图所示,宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的空间站中处于完全失重状态,下列说法正确的是()A.宇航员仍受重力的作用B.宇航员受力平衡C.宇航员所受重力等于所需的向心力D.宇航员不受重力的作用答案AC解析做匀速圆周运动的空间站中的宇航员,所受重力全部提供其做圆周运动的向心力,处于完全失重状态,并非宇航员不受重力作用,选项A、C正确,选项B、D错误。4.(2021江苏盐城月考)摆式列车是集计算机技术、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车。当列车转弯时,在电脑控制下,车厢会自动倾斜;直线行驶时,车厢又恢复原状,实现高速行车,并能达到既安全又舒适的要求。假设有一高速列车在水平面内行驶,以180km/h的速度拐弯,由列车上的传感器测得一个质量为50kg的乘客在拐弯过程中所受合力为500N,则列车的拐弯半径为()A.150m B.200mC.250m D.300m答案C解析由F=mv2R得R=mv2F=50×1805.如图所示,公路在通过小型水库泄洪闸的下游时常常要修建凹形路面,也叫“过水路面”。现有一“过水路面”的圆弧半径为50m,一辆质量为800kg的小汽车驶过“过水路面”。当小汽车通过“过水路面”的最低点时速度为5m/s。g取10m/s2,问此时汽车对路面的压力为多大?答案8400N解析汽车在“过水路面”的最低点时受力如图所示由牛顿第二定律得FN-mg=mv2r,解得FN=mg+mv2r=800×10+800×2550N=8400N,根据牛顿第三定律,汽车对路面的压力FN'=FN=8等级考提升练6.(多选)(2021四川成都七中月考)如图所示,都江堰水利工程主要由鱼嘴分水堤、飞沙堰溢洪道、宝瓶口进水口三大部分和百丈堤、人字堤等附属工程构成,科学地解决了江水自动分流(鱼嘴分水堤四六分水)、自动排沙(鱼嘴分水堤二八分沙)、控制进水流量(宝瓶口与飞沙堰)等问题,消除了水患。1998年灌溉面积达到66.87万公顷,灌溉区域已达40余县。其排沙主要原理是()A.沙子更重,水的冲力有限B.弯道离心现象,沙石更容易被分离C.沙石越重,越难被分离D.沙石越重,越易被分离答案BD解析排沙的原理是当水流流过弯道时,由于水运动的速度比沙石大,所以水更容易向凹岸做离心运动,在弯道处沙石与水更容易被分离,A错误,B正确;沙石越重,运动的速度越小,则越容易与水分离,C错误,D正确。7.在世界一级方程式锦标赛中,赛车在水平路面上转弯时,常常在弯道上冲出跑道,其原因是()A.赛车行驶到弯道时,运动员未能及时转动方向盘B.赛车行驶到弯道时,没有及时加速C.赛车行驶到弯道时,没有及时减速D.在弯道处汽车受到的摩擦力比在直道上小答案C解析赛车在水平弯道上行驶时,摩擦力提供向心力,而且速度越大,需要的向心力越大,如不及时减速,当摩擦力不足以提供向心力时,赛车就会做离心运动,冲出跑道,故选项C正确。8.(多选)铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的,已知内外轨道连线与水平面夹角为θ,弯道处的圆弧半径为R,若质量为m的火车以速度v通过某弯道时,内、外轨道均不受侧压力作用,下面分析正确的是()A.轨道半径R=vB.v=gRC.火车速度小于v时,外轨将受到侧压力作用,其方向平行轨道平面向内D.火车速度大于v时,外轨将受到侧压力作用,其方向平行轨道平面向外答案BD解析火车转弯时受力如图所示,火车转弯的向心力由重力和支持力的合力提供,则mgtanθ=mv2R,故转弯半径R=v2gtanθ,转弯时的速度v=gRtanθ,故A错误,B正确;火车速度小于v时,需要的向心力减小,此时内轨对车轮产生一个向外的作用力,即车轮挤压内轨,故C错误;若火车速度大于v时,需要的向心力变大9.一辆运输西瓜的小汽车(可视为质点),以大小为v的速度经过一座半径为R的拱形桥。在桥的最高点,其中一个质量为m的西瓜A(位置如图所示)受到周围的西瓜对它的作用力的大小为()A.mg B.mC.mg-mv2R D答案C解析西瓜和汽车一起做匀速圆周运动,竖直方向上的合力提供向心力,有mg-F=mv2R,解得F=mg-mv210.如图所示,在匀速转动的水平盘上,沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B,它们与盘间的动摩擦因数相同,当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时,烧断细线,则两个物体的运动情况是()A.两物体均沿切线方向滑动B.两物体均沿半径方向滑动,离圆盘圆心越来越远C.两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动,不会发生滑动D.物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动,物体A发生滑动,离圆盘圆心越来越远答案D解析A、B两物体刚好还未发生滑动时,物体A需要的向心力FA=Ffmax+FT=mω2rA,物体B需要的向心力FB=Ffmax-FT=mω2rB,因此FA>FB,烧断细线后,细线上拉力FT消失,对A有Ffmax<mω2rA,物体A做离心运动;对B有Ffmax>mω2rB,物体B随盘一起转动,选项D正确,选项A、B、C均错误。11.(多选)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道,两个弯道分别为半径R=90m的大圆弧和r=40m的小圆弧,直道与弯道相切。大、小圆弧圆心O、O'距离L=100m。赛车沿弯道路线行驶时,路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍。假设赛车在直道上做匀变速直线运动,在弯道上做匀速