福建省莆田市城厢区莆田市文献中学2025-2026学年八年级上学期第二次月考数学试卷(含答案)

2025-2026学年文献中学八年级上学期第二次月考试卷数学试题一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（）A．B． C． D．2．小亮有两根长度为5cm和9cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（）A．3cm B．4cm C．9cm D．16cm3．下列运算正确的是（）A． B． C． D．4．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（）A．a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x C．5x2+10x＝5x（x+2） D．x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）25．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（）A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线6．已知等腰三角形两条边的长分别为3和6，则它的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．167．如图，点E，F在AC上，且AE＝CF，∠AFB＝∠CED，添加下列一个条件后，仍不能判定△ABF≌△CDE的是（）A．AB＝CD B．∠B＝∠D C．BF＝DE D．AB∥CD8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P是AD的中点，连接BP，若AB＝8，AC＝6，△PBD的面积是6，则△ADC的面积是（）A．8 B．9 C．10 D．119．若4y2+my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（）A．﹣8 B．±8 C．16 D．±1610．仔细观察，探究规律：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1，则算式20+21+22+23+24+…+22024+22025值的个位数字为（）A．1 B．3 C．5 D．7二．填空题（每题4分，共24分）11．从镜子中看到的这个号码，实际上是．12．计算：（﹣0.25）2024×42025＝．13．已知am＝2，an＝3，则am+n＝．14．已知A（a﹣2，﹣1）与点B（﹣1，b+2）关于x轴对称，则a+b＝．15．已知等腰三角形的底角是15°，腰长是10cm，则其腰上的高是cm．16．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为．三．解答题（共9小题，共86分）17．将下列各式因式分解．（1）（2）18．先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中，b＝2．19．如图，在钝角△ABC中，AB＝AC．（1）尺规作图：在边BC上确定一点D，使得AD＝BD（保留作图痕迹，标注相应字母，不写作法）；（2）在（1）的基础上，若AC＝CD，求∠BAC的度数．20．数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合是初中数学非常重要的思想方法之一，数形结合可以使数与形之间相互转化．如图，现有A、B、C三种卡片若干．（1）观察图1，请用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式；（2）观察图2，分解因式：3a2+5ab+2b2．21．小南同学在物理课上知道了摆动现象是由杠杆原理，重力作用，动能与势能转换以及阻力的影响共同作用的结果．这一原理在很多领域都有应用，如摆钟，秋千等．为了对其作进一步的探究．小南同学自制了一个钟摆球，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置；当小南同学推动小球时，小球从OA位置摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，且测得点B到OA的距离为7cm；当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的点A，B，C，O在同一平面内），过点C作CE⊥OA于点E，测得点C到OA的距离为16cm．（1）判断CE与OD的数量关系，并说明理由；（2）求两次摆动中的点B和点C的高度差DE的长．22．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（﹣3，3），C（﹣2，4）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并直接写出点C′的坐标；（2）在坐标轴上找一点Q，使△ABQ与△ABC全等，请直接写出一个符合条件的点Q的坐标；（3）点F在y轴上，且△ACF为等腰三角形，满足条件的点F有个．23．将边长为x的小正方形ABCD和边长为y的大正方形CEFG按如图所示放置，其中点D在边CE上．（1）若x+y＝10，y2﹣x2＝20，求y﹣x的值；（2）连接AG，EG，若x+y＝8，xy＝14，求阴影部分的面积．24．材料一：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如96＝252﹣232，则96是和谐数；材料二：对于一个三位自然数M，去掉个位数字后成为一个两位数M1，去掉百位数字后成为一个两位数M2，若为整数，则称M是一个关于9的对称数．如，则称545是关于9的对称数．（1）请判断56是否是和谐数？如果是，请找出平方差为56的连续的两个奇数．（2）证明：任何一个和谐数一定是8的倍数．（3）已知一个三位数既是和谐数，又是关于9的对称数，求满足条件的所有三位数．

25．综合与实践【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？【方法探究】（）小明按照课堂上学习的方法在图先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标；【类比推广】（）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址问题”放在坐标系中，设计了如下问题：如图，在平面直角坐标系中，，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，请在图中画出点和点的位置，并求出点的坐标；【拓展创新】（）如图，在平面直角坐标系中，，，点线段上，且，交于点，求点的坐标．2025-2026学年文献中学八年级上学期第二次月考试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DCDCCBABDB10．解：由（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+⋯+x+1）＝xn+1﹣1，∴，令x＝2，n＝2025，则：∵2n的个位数字循环为：2，4，8，6（周期为4），计算2026÷4＝506余2，∴22026的个位数字与22相同，为4，∴22026﹣1的个位数字为4﹣1＝3．故算式值的个位数字为3．故选：B．二．填空题（共6小题）11．8193812．413．614．015．516．3216．解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝2，∴A2B1＝2，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，＝4，B3A3＝2B2A3＝8，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此类推：A6B6＝32B1A2＝32．三．解答题（共8小题）17．解：（1）原式＝（x-2）2（2）原式＝（m﹣2）（n2﹣4）＝（m﹣2）（n+2）（n﹣2）；18．解：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b＝（4a2+4ab+b2﹣4a2+b2）÷2b＝（4ab+2b2）÷2b＝2a+b，∵＝1，b＝2，∴原式＝2×1+2＝4．19．解：（1）如图，点D即为所求；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，设∠B＝∠C＝x，∵AD＝DB，∴∠B＝∠BAD＝x，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝2x，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝2x，∴∠BAC＝3x，∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠BAC＝3x＝108°．20解：（1）由题知，图1的面积可表示为：（a+b）2；图1的面积还可表示为：a2+2ab+b2，所以代数恒等式为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）由图2可知，图2由3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片组成．又因为图2是一个长为3a+2b，宽为a+b的长方形，所以图2的面积可表示为（3a+2b）（a+b），所以3a2+5ab+2b2＝（3a+2b）（a+b）．21．解：（1）CE＝BD．理由如下：∵OB⊥OC，∴∠BOD+∠COE＝90°，∵BD⊥OA，CE⊥OA，∴∠ODB＝∠CEO＝90°，∴∠BOD+∠OBD＝90°，∴∠OBD＝∠COE，在△COE和△OBD中，，∴△COE≌△OBD（AAS），∴CE＝BD；（2）∵点B到OA的距离为8cm，点C到OA的距离为14cm，∴CE＝16cm，AB＝7cm，∵△COE≌△OBD，∴OE＝BD＝7cm，CE＝OD＝16cm，∴DE＝OD﹣OE＝16﹣7＝9（cm），∴两次摆动中点B和C的高度差DE的长为9cm．22．解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；点C′的坐标为（﹣2，﹣4），故答案为：（﹣2，﹣4）；（2）如图所示，△ABQ和△ABQ′即为所求；点Q的坐标为（0，2）或（﹣2，0），故答案为：（0，2）或（﹣2，0）；（3）如图，以A为圆心，AC长为半径作圆与y轴有两个交点，以C为圆心，AC长为半径作圆交y轴两个交点，作AC的垂直平分线交y轴有一个交点，则满足条件的点F共有5个，故答案为：4．23．解：（1）∵y2﹣x2＝20，即（y+x）（y﹣x）＝20，而x+y＝10，∴y﹣x＝2，答：y﹣x的值为2；（2）由题意得，S阴影部分＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABG﹣S△EFG＝x2+y2﹣x（x+y）﹣y2＝x2﹣xy+y2＝[（x+y）2﹣2xy]﹣xy当x+y＝8，xy＝14时，原式＝×（64﹣28）﹣×14＝18﹣7＝11，答：阴影部分的面积是11．24（1）解：56是和谐数，理由如下：∵56＝152﹣132，∴56是和谐数．∴平方差为56的连续的两个奇数是15、13；（2）证明：设连续的两个奇数分别为2k+3，2k+1（k＝0，1，2，…），则（2k+3）2﹣（2k+1）2＝12k+9﹣4k﹣1＝8k+8＝8（k+1），∴任何一个和谐数一定是8的倍数；（3）解：设这个三位数为100a+10b+c（a，b，c均为小于10的自然数，且ab≠0），则＝12a+b+是整数，且＝a﹣b+是整数，a＞b，∴满