第4章三角形章末复习课件湘教版八年级数学上册

湘教版（2024）数学8年级上册第4章

三角形章末复习考点1

三角形及其相关概念1.［2025岳阳月考］如图.（第1题）

（第1题）

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三角形（章末复习课件）##幻灯片1：封面-标题：第4章

三角形——章末复习-副标题：七年级数学（下册/上册，根据教材版本调整）-授课教师：XXX-日期：XXXX年XX月XX日##幻灯片2：目录1.本章知识框架梳理2.核心概念回顾（三角形定义、分类等）3.三角形的重要性质（边、角、线段）4.全等三角形的判定与性质5.等腰三角形的性质与判定（含等边三角形）6.三角形的应用（角度计算、线段相等证明）7.易错点辨析与常见错误纠正8.综合题型解析（基础+提升）9.本章思想方法总结10.课堂练习（分层训练）11.作业布置##幻灯片3：本章知识框架梳理```三角形├──

核心概念：│

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定义：由3条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形│

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分类：按边（不等边、等腰、等边）；按角（锐角、直角、钝角）│

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组成元素：顶点、边、内角、外角│

└──

相关线段：中线、角平分线、高、垂直平分线├──

重要性质：│

├──

边的性质：三角形两边之和大于第三边；两边之差小于第三边│

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角的性质：内角和180°；外角和360°；外角=不相邻两内角和；外角>任一不相邻内角│

├──

线段性质：│

│

├──

中线：分对边相等，重心分中线2:1│

│

├──

角平分线：分内角相等，角平分线上点到两边距离相等│

│

├──

高：垂直于对边（或延长线），直角三角形两直角边为高│

│

├──

垂直平分线：线上点到线段两端距离相等，三角形外心是交点│

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稳定性：三角形具有稳定性，四边形不具有├──

特殊三角形：│

├──

等腰三角形：两底角相等；三线合一；两腰相等│

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等边三角形：三边相等；三角均为60°；三线合一（三条中线/角平分线/高重合）│

└──

直角三角形：两锐角互余；勾股定理；斜边中线=斜边一半├──

全等三角形：│

├──

性质：对应边相等、对应角相等、对应线段（中线/角平分线/高）相等│

└──

判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形专属）└──

核心应用：角度计算、线段相等/平行证明、图形折叠/旋转问题、实际应用（测量距离等）```##幻灯片4：核心概念回顾——三角形的定义与分类###1.三角形的定义：**由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形**。-关键词：不在同一直线、三条线段、首尾顺次相接、封闭图形。-表示方法：△ABC（顶点为A、B、C）。###2.三角形的分类：####（1）按边分类：-不等边三角形：三边都不相等的三角形；-等腰三角形：有两条边相等的三角形（相等的边叫腰，第三边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角）；-等边三角形（正三角形）：三边都相等的三角形（特殊的等腰三角形）。####（2）按角分类：-锐角三角形：三个内角都是锐角（小于90°）的三角形；-直角三角形：有一个内角是直角（90°）的三角形（直角所对的边叫斜边，另两条边叫直角边）；-钝角三角形：有一个内角是钝角（大于90°小于180°）的三角形。###小练习：1.下列三角形中，属于等腰直角三角形的是（

）A.三边为3、4、5B.三边为2、2、3C.三边为1、1、√2D.三角为60°、60°、60°

答案：C（等腰+直角，满足1²+1²=(√2)²）。##幻灯片5：三角形的重要性质——边与角的性质###1.边的性质（三边关系）：-三角形任意两边之和大于第三边；-三角形任意两边之差小于第三边。-数学表示：对于△ABC，三边为a、b、c，则|a-b|<c<a+b。-应用：①

判断三条线段能否组成三角形；②

求第三边的取值范围；③

证明线段不等关系。-示例：若三角形两边长为3和5，第三边长为x，则x的取值范围是2<x<8（5-3<x<5+3）。###2.角的性质：####（1）内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。-证明方法：拼图法（剪拼三个内角成平角）、作平行线法。-示例：在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=180°-50°-60°=70°。####（2）外角性质：-三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；-三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。-示例：在△ABC中，∠ACD是外角，若∠A=40°，∠B=70°，则∠ACD=∠A+∠B=110°，且∠ACD>∠A、∠ACD>∠B。####（3）直角三角形特殊性质：两锐角互余（∠A+∠B=90°）。-示例：直角三角形中，一个锐角为35°，则另一个锐角为55°。####（4）多边形内角和/外角和（拓展）：-n边形内角和：(n-2)×180°；-任意多边形外角和：360°。##幻灯片6：三角形的重要性质——相关线段的性质###1.三角形的中线：-定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。-性质：①

分对边为两条相等的线段；②

三角形的三条中线交于一点（重心），重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍；③

中线将三角形分成面积相等的两个三角形。-示例：△ABC中，AD是中线，BD=DC=2，则BC=4；若△ABD面积为5，则△ABC面积为10。###2.三角形的角平分线：-定义：平分三角形一个内角的射线，交对边于一点，这条射线叫做三角形的角平分线。-性质：①

分内角为两个相等的角；②

三角形的三条角平分线交于一点（内心），内心到三边的距离相等；③

角平分线上的点到角两边的距离相等（角平分线性质定理）。-示例：△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAD=30°，则∠BAC=60°；若点D到AB的距离为2，则点D到AC的距离也为2。###3.三角形的高：-定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。-性质：①

高与对边垂直（或垂直于延长线）；②

三角形的三条高交于一点（垂心）；③

直角三角形的两条直角边互为高，斜边上的高=（两直角边乘积）÷斜边。-示例：直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则斜边AB=5，斜边上的高CD=（3×4）÷5=2.4。###4.线段的垂直平分线（中垂线）：-定义：垂直于一条线段且平分这条线段的直线。-性质：①

垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；②

三角形三边的垂直平分线交于一点（外心），外心到三个顶点的距离相等（外接圆半径）。-示例：若直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，则PA=PB。##幻灯片7：全等三角形的判定与性质###1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形（对应顶点、对应边、对应角分别相等）。###2.全等三角形的性质：-对应边相等；-对应角相等；-对应中线、对应角平分线、对应高相等；-面积相等、周长相等。###3.全等三角形的判定方法（重点）：|判定方法|适用条件|注意事项||----------|----------|----------||SSS（边边边）|三边对应相等|适用于所有三角形||SAS（边角边）|两边及其夹角对应相等|夹角必须是两边的夹角，不能是对角||ASA（角边角）|两角及其夹边对应相等|夹边是两角的公共边||AAS（角角边）|两角及其中一角的对边对应相等|可由ASA推导得出，适用于所有三角形||HL（斜边、直角边）|斜边和一条直角边对应相等|仅适用于直角三角形，需注明“Rt△”|###4.全等三角形的应用步骤：-找：找出已知条件中的相等边、相等角（包括公共边、公共角、对顶角等隐含条件）；-选：根据已知条件选择合适的判定方法（如已知两边找夹角用SAS，已知三边用SSS）；-证：写出证明过程，注明依据；-用：利用全等性质得出所需结论（如线段相等、角相等）。###示例：已知：如图，AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C。证明：在△ABD和△CDB中，$\begin{cases}AB=CD（已知）\\AD=BC（已知）\\BD=DB（公共边）\end{cases}$∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）。##幻灯片8：特殊三角形——等腰三角形与等边三角形###1.等腰三角形的性质与判定：####（1）性质：-两腰相等（AB=AC）；-两底角相等（∠B=∠C，“等边对等角”）；-三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（AD既是角平分线，也是中线和高）；-等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线。####（2）判定：-两边相等的三角形是等腰三角形（“等角对等边”）；-两角相等的三角形是等腰三角形。###2.等边三角形的性质与判定：####（1）性质：-三边相等（AB=BC=AC）；-三角均为60°（∠A=∠B=∠C=60°）；-三线合一（三条中线、三条角平分线、三条高均重合）；-是轴对称图形，有3条对称轴（各边的垂直平分线）。####（2）判定：-三边相等的三角形是等边三角形；-三角均相等的三角形是等边三角形；-有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。###示例：已知：等腰△ABC中，AB=AC，∠B=50°，求∠A的度数。解答：∵AB=AC，∴∠B=∠C=50°（等边对等角），∴∠A=180°-50°-50°=80°。##幻灯片9：易错点辨析与常见错误纠正|常见错误|错误原因|纠正方法|示例||----------|----------|----------|------||三角形三边关系应用错误（忽略“任意”）|认为“两边之和大于第三边”只需满足一组|牢记“任意”两边之和大于第三边，判断时需验证最小两边之和大于最大边|错误：3、4、7能组成三角形（3+4=7，不满足）；正确：3、4、7不能组成三角形，3、4、5可以（3+4>5）||混淆三角形的外角性质（忽略“不相邻”）|误将外角等于“相邻内角和”或“任意内角”|明确外角性质：外角=**不相邻**两内角和，外角>**不相邻**任一内角|错误：△ABC中，∠ACD是外角，∠ACD=∠A+∠ACB（相邻）；正确：∠ACD=∠A+∠B（不相邻）||全等三角形判定时“边边角（SSA）”误用|认为SSA能判定全等，忽略其不稳定性|牢记全等判定只有SSS、SAS、ASA、AAS、HL，SSA不能判定全等（直角三角形中SSA即HL，需注明）|错误：△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，∴△ABC≌△DEF（SSA）；正确：SSA不能判定，需换用其他方法||等腰三角形“三线合一”应用错误（忽略条件）|认为任意三角形的中线、角平分线、高都重合|明确“三线合一”仅适用于等腰三角形，且是“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”重合|错误：△ABC中，AD是中线，∴AD⊥BC（未说明AB=AC）；正确：等腰△ABC中，AB=AC，AD是中线，∴AD⊥BC（三线合一）||等边三角形判定错误（忽略等腰条件）|认为“有一个角是60°的三角形是等边三角形”|明确判定条件：有一个角是60°的**等腰三角形**才是等边三角形|错误：∠A=60°，∴△ABC是等边三角形；正确：AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形||三角形高的位置判断错误（认为高都在内部）|忽略钝角三角形的高在外部，直角三角形的高在边上|明确：锐角三角形高全在内部，直角三角形两条高在边上，钝角三角形两条高在外部|错误：钝角三角形的三条高都在三角形内部；正确：钝角三角形有两条高在外部，一条在内部|##幻灯片10：综合题型解析——基础题###题型1：三角形边与角的计算-例1：若三角形三边长分别为2、x、5，且x为整数，则x的可能值为______。

解答：根据三边关系，5-2<x<5+2→3<x<7，x为整数，故x=4、5、6。-例2：在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，则∠A=______，∠B=______，∠C=______。

解答：设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，2x+3x+4x=180°→9x=180°→x=20°，故∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°。###题型2：全等三角形的判定与性质-例3：如图，AB=AD，∠BAC=∠DAC，求证：△ABC≌△ADC。

证明：在△ABC和△ADC中，$\begin{cases}AB=AD（已知）\\∠BAC=∠DAC（已知）\\AC=AC（公共边）\end{cases}$∴△ABC≌△ADC（SAS）。###题型3：等腰三角形的性质-例4：等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，若BC=6，则BD=______；若∠BAD=35°，则∠BAC=______，∠B=______。

解答：BD=3（三线合一，AD是中线）；∠BAC=70°（AD是角平分线）；∠B=（180°-70°）÷2=55°。##幻灯片11：综合题型解析——提升题###题型1：角度计算与外角性质综合-例1：如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，CD平分∠ACB，DE∥BC交AC于E，求∠CDE的度数。

解答：①

先求∠ACB=180°-50°-60°=70°；②CD平分∠ACB，∴∠BCD=35°；③DE∥BC，∴∠CDE=∠BCD=35°（内错角相等）。###题型2：全等与等腰三角形综合-例2：已知：如图，△ABC≌△DEF，AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，求证：△DFG是等腰三角形。

证明：①∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE=∠ACB（对应角相等）；②∵∠DFE=∠ACB，∠ACB=∠DGF（对顶角/平行线性质，需结合图形），∴∠DFE=∠DGF；③∴DG=DF（等角对等边），∴△DFG是等腰三角形。###题型3：折叠问题（全等+等腰+勾股定理）-例3：将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处，已知AB=8，AD=10，求CE的长度。

解答：①

折叠后△ADE≌△AFE，∴AF=AD=10，DE=EF；②

在Rt△ABF中，BF=√(AF²-AB²)=√(10²-8²)=6，∴FC=BC-BF=10-6=4；③

设CE=x，则DE=EF=8-x，在Rt△EFC中，EF²=CE²+FC²→(8-x)²=x²+4²→64-16x+x²=x²+16→16x=48→x=3，故CE=3。##幻灯片12：本章思想方法总结1.**分类讨论思想**：涉及三角形的边、角计算或判定时，需考虑不同情况（如等腰三角形的顶角/底角、高的位置等）；2.**转化思想**：将复杂问题转化为简单问题（如利用全等三角形将线段相等转化为对应边相等，利用外角性质将角度转化为内角和）；3.**数形结合思想**：结合图形分析边、角关系，直观理解全等、等腰等性质；4.**方程思想**：在角度计算、折叠问题中，设未知数，利用性质列方程求解；5.**建模思想**：将实际问题（如测量距离、稳定性应用）转化为三角形模型，利用三角形性质解决。##幻灯片13：课堂练习（基础层）1.三角形三边长为4、7、x，则x的取值范围是______；若x为偶数，则x=______。（答案：3<x<11；4、6、8、10）2.在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，则∠C=______，外角∠ACD=______。（答案：60°；130°）3.等腰三角形的一个角为40°，则另两个角为______。（答案：70°、70°或40°、100°）4.如图，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：BD=CD。（提示：用SAS证明△ABD≌△ACD）##幻灯片14：课堂练习（提升层）1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，若CD=5，则AB=______；若