2025-2026学年八年级数学上学期因式分解全章复习含答案

1 1 1 3 4 4 5 5 6 6 8 9 11 11 11 13 13 15 15 17 20 20【例题1】（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是()A．a2+2a)(2a-1)=2a3+3a2-2aB．(a+2)(a-2)=a2-4C．2m2n-mn2=mn(2m-n)D．x2-2x+2=(x-1)2+1【答案】C【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，据此判断即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键.故选：C.【变式1】（25-26七年级上·上海金山·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是()A．24=2×2×6B．a2-b2-1=(a+b)(a-b)-1C．-4y2+4y-1=-2D．m2-2m-1=mm-2-【答案】C根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可.【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是()A．x2+4x-4=(x+2)(x-2)+4xB．(x+3)(x-3)=x2-9C．(x-y)2=x2-2xy+y2D．x3-x2+x=x(x2-x+1)【答案】D【分析】本题考查因式分解的定义，掌握知识点是解题的关键.解：选项A：右边为(x+2)(x-2)+4x，不是积的形式；选项D：右边为x(x2-x+1)，是积的形式，符合因式分解.【★题型2】利用因式分解定义求参数值为()【答案】B【分析】本题考查了多项式乘多项式，将因式分解后的形式展开，与原多项式立方程，求解即可.解：(a+2)(a+m)=a2+(m+2)a+由一次项系数得，m+2=5，解得m=3；解得m=3；【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·月考）如果2x+1是6x2+mx-5的一个因式，则m的值为A．-6B．6C．7D．-7【答案】D根据2x+1是6x2+mx-5的一个因式得出x的值，再将x的值代入原式求解m即可.解：∵2x+1是6x2+mx-5的一个因式，:2x+1=0，将代入得，6x2+mx-5:m=-7.【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知多项式2x2+3x-b分解因式的结果为A．3，-5B．-5，4C．20，4D．20，-4【答案】C【分析】本题主要考查分解因式，先变形为2x2+(2c-5)x-5c=2x2+3x-b，然后根据对应项相等计算求解即可.解：∵(2x-5)(x+c)=2x2+2xc-5x-5c=2x2+(2c-5)x-5c，:2x2+(2c-5)x-5c=2x2+3x-b，【★题型3】求公因式【例题3】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）用提公因式法分解因式，多项式3x2-9x中能提出的公因式是()【答案】B【分析】本题考查提取公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键．通过提取公因式法，找出多项式各项的公因式，包括系数和字母部分.解：Q多项式3x2-9x中，系数3和9的最大公因数为3，字母部分x2和x的公因式为x，:多项式3x2-9x中公因式为3x，【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）n为正整数，若2an-1-4an+1的公因式是M，则M等于A．an-1B．2anC．2an-1D．2an+1【答案】C【分析】本题主要考查提公因式，熟练掌握提公因式是解题的关键；因此求解.解：2an-1-4an+1=2an-1(1-2a2)，所以公因式M=2an-1；【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式b2(x-3)+b(x-3)的正确结果是()A．(x-3)(b2+b)C．(x-3)(b2-b)D．b(x-3)(b-1)【答案】B【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，首先把x-3整体作为公因式提出来，可得：原式(x-3)+b(x-3)=(x-3)(b2+b)-12【★题型4】提取公因式（1）9x2y+3xy2（2）2a(y-z)-3b(z-y)【答案】（1）3xy(3x+y)2）(y-z)(2a+3b)【小题1】解：9x2y+3xy2=3xy(3x+y)【小题2】解：2a(y-z)-3b(z-y)=2a(y-z)+3b(y-z)=(y-z)(2a+3b)【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）将4a2b(x+y)3-6ab2(x+y)2因式分解，则应提取的公【答案】2ab(x+y)2即可确定公因式.解：4a2b(x+y)3-6ab2(x+y)2因式分解时，应提取的公因式是2ab(x+y)2.故答案为：2ab(x+y)2.【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若m+n=3，mn=-4，则m2n+mn2的值为.【答案】解：∵m+n=3，mn=-4，:m2n+mn2=mn(m+n)=(-4)×3=-12故答案为：-12.【★题型5】判断能否用公式法进行因式分解【例题5】（25-26八年级上·山东淄博·月考）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有()（1）4x2-1（2）9a2b2-3ab+1（3）x2-x+（4）-x2-y2【答案】B【分析】本题考查了因式分解中的公式法，具体包括平方差公式和完全平方公式．依次对每个多项式进行判断是否符合公式特征，从而确定能分解的个数.解1）4x2-1=(2x+1)(2x-1)，符合题意；（2）9a2b2-3ab+1不能运用公式法分解因式，不符合题意；（3）x2-x+符合题意；（4）-x2-y2不能运用公式法分解因式，不符合题意.【变式1】下列多项式能用公式法分解因式的有()2①a2-2a-1；②-x2-y2；③-x2+y2；④-a+1；⑤a2-4ab+4b2.【答案】C【分析】本题考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键，直接利用平方公式分别分解因式进而判断即可.解：①a2-2a-1不能用公式法分解因式；③-x2+y2=(y2-x2)=(y+x)(y-x)可以用公式法分解因式；-a+1=2-2××1+12=可以用公式法分解因式；⑤a2-4ab+4b2=a2-2×a×2b+(2b)2=(a-2b)2可【变式2】（24-25七年级下·安徽六安·期末）下列多项式中，能用公式法分解因式的是()A．x2-xyB．x2+y2C．x2-y2D．x2+xy【答案】C【分析】本题主要考查了分式因式，熟知分解因式的方法a2±2ab+b2=(a±b)2，a2-b2=(a+b)(a-b).解：A．x2-xy：可提取公因式x得x(x-y)，属于提公因式法，非公式法，不符合题意.B．x2+y2：平方和无法在实数范围内用公式法分解，不符合题意.C．x2-y2：可利用平方差公式分解为(x+y)(x-y)，符合题意.D．x2+xy：可提取公因式x得x(x+y)，同样属于提公因式法，非公式法，不符合题意.【★题型6】运用公式法进行因式分解（1）2x2-722）4a2b+b3-4ab2.【答案】（1）2(x-6)(x+6)2）b(2a-b)2【分析】本题考查因式分解，熟记、乘法公式是解答的关键.解1）解：原式=2(x2-36)（2）解：原式=b(4a2-4ab+b2)2a-b)2.（1）1-4x22）a2(b-1)+9(1-b).【答案】（1）(1-2x)(1+2x)2）(b-1)(a-3)(a+3)【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键.解1）解：1-4x2=(1-2x)(1+2x)；（2）解：a2(b-1)+9(1-b)(b-1)-9(b-1)=(b-1)(a2-9)=(b-1)(a-3)(a+3).（1）3a+3a3-6a2（2）x4-18x2+81【答案】（1）3a(a-1)22）(x-3)2(x+3)2【分析】本题考查了因式分解，包括提取公因式法，公式法，以及完全平方公式与决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法并能针对不同题型使用不同方法.（2）通过完全平方公式和平方差公式进行因式分解.解1）解：3a+3a3-6a21+a2-2a)a2-2a+1)=3a(a-1)2；（2）解：x4-18x2+81=(x2)2-18x2+81=(x2-9)2=(x-3)2(x+3)2.【★★题型7】运用公式法进行因式分解（1）2a2+4ab+2b22）(x-2)(x-4)+1.【答案】（1）2(a+b)22）(x-3)2【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键.（2）先把原多项式化成一般式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可.解1）解：2a2+4ab+2b2a2+2ab+b2)2；（2）解：(x-2)(x-4)+1=x2-2x-4x+8+1=x2-6x+9=(x-3)2.（1）(a+b)2-(2b-3a)22）-x2y2-xy-.【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键.解1）解：(a+b)2-(2b-3a)2=(a+b+2b-3a)(a+b-2b+3a)=(3b-2a)(4a-b)；（2）解：-x2y2-xy-（1）3a2x2y-6axy22）m2(m-n)-m(n-m)2；（3）(2x+y)2-(x+2y)24）x(4-x)-4.【答案】（1）3axy(ax-2y)2）mn(m-n)3）3(x+y)(x-y)4）-(x-2)2【分析】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键.（2）将式子整理为m2(m-n)-m(m-n)2，再提取公因式m(m-n)，即可解题；解1）解：3a2x2y-6axy2=3axy(ax-2y)；（2）解：m2(m-n)-m(n-m)2=m2(m-n)-m(m-n)2=m(m-n)(m-m+n)=mn(m-n)；（3）解：(2x+y)2-(x+2y)2=(2x+y+x+2y)(2x+y-x-2y)=(3x+3y)(x-y)=3(x+y)(x-y)；（4）解：x(4-x)-4=-x2+4x-4=-x2-4x+4)=-(x-2)2.考点五：平方差公式和完全平公式式组综合【★★题型8】提取公因式（1）a2(x-2a)2-a(2a-x)22）36a(a-b+c)+12b(b-a-c)【答案】（1）a(x-2a)2(a-1)2）12(a-b+c)(3a-b)【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键.（1）将(2a-x)2化为(x-2a)2之后，提公因式即可；（2）将b--ac化为-(a-b+c)之后，提公因式即可.解1）解：a2(x-2a)2-a(2a-x)2(x-2a)2-a(x-2a)2=a(x-2a)2(a-1)；（2）解：36a(a-b+c)+12b(b-a-c)=36a(a-b+c)-12b(a-b+c)=12(a-b+c)(3a-b).【变式1】（25-26七年级上·上海虹口·期中）因式分解：2m(m-3)2-6m2(3-m)+8m(m-3).【答案】2m(m-3)(4m+1)【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提解即可.解：原式=2m(m-3)2+6m2(m-3)+8m(m-3)=2m(m-3)(4m+1).（1）5a2b3-20ab2+5ab2）6x(x-y)2+3(y-x)3.【答案】（1）5ab(ab2-4b+1)2）3(x-y)2(x+y)【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.解1）解：5a2b3-20ab2+5abab2-4b+1)；（2）解：6x(x-y)2+3(y-x)3=6x(x-y)2-3(x-y)3=3(x-y)2(2x-x+y)=3(x-y)2(x+y).考点六：提取公因式与公式法综合【★★题型9】提取公因式与公式法综合（1）2x2-12x+182）a2(x-y)-16b2(x-y)【答案】（1）2(x-3)22）(x-y)(a+4b)(a-4b)必须先提公因式.解1）解：2x2-12x+18x2-6x+9)=2(x-3)2.（2）解：a2(x-y)-16b2(x-y)=(x-y)(a2-16b2)=(x-y)(a+4b)(a-4b).【变式1】（24-25七年级上·北京·开学考试）因式分解：a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=.【答案】(a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c)【分析】本题主要考查因式分解，原式根据分组分解、公式法、提公因式法进行因式分解即可.解：a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=a3b-a3c+b3c-b3a+c3a-c3ba3b-b3a)-(a3c-b3c)+(c3a-c3b)a2-b2)-c(a3-b3)+c3(a-b)=(a-b)b2(a-c)-c(a2-c2)+ab(a-c)=(a-b)(a-c)b2-c(a+c)+ab=(a-b)(a-c)(b2-c2)+a(b-c)=(a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c).故答案为：(a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c).（1）2mx2-4mx+2m2）(x2+4)2-16x2.（3）(y2-1)2-6(y2-1)+9.【答案】（1）2m(x-1)22）(x+2)2(x-2)23）(y+2)2(y-2)2（3）先把y2-1看成一个整体，利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行分解.解1）2mx2-4mx+2m(x2-2x+1)=2m(x-1)2；（2）(x2+4)2-16x2x2+4)2-(4x)2x2+4+4x)(x2+4-4x)(x-2)2；（3）(y2-1)2-6(y2-1)+9(y2-1-3)2(y2-4)2=(y+2)2(y-2)2.【点拨】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式题的关键.考点七：利用因式分解求值（1）4x(m-2)-3x(m-2)2，其中x=1.5，m=6；（2）(a-2)2-6(2-a)，其中a=-2.【答案】（1）x(m-2)(10-3m)，-482）(a-2)(a+4)，-8（1）直接提取公因式x(m-2)，进而分解因式解1）解：4x(m-2)-3x(m-2)2，=x(m-2)4-3(m-2)=x(m-2)(10-3m)原式=1.5×(6-2)×(10-3×6)=-48；（2）解：(a-2)2-6(2-a)=(a-2)(a-2+6)将a=-2代入得出：原式=(-2-2)×(-2+4)=-8.（1）x4+4x3y+4x2y2，其中x=1，y=.（2）x3y-x2y2+xy3，其中x-y=-2，xy=8.【答案】（1）x2(x+2y)2,42）xy(x-y)2,16（2）先提公因式xy，然后根据完全平方公式因式分解，再将字母的值代入，即可求解.解1）解：x4+4x3y+4x2y2=x2x2+4xy+4y2)=x2(x+2y)2当x=1，y=时，3（2）xy-xy32=xy(x2-xy+y2)2=xy(x-y)2.当x-y=-2，xy=8时，【变式2】先因式分解，再求值：9(a-b)2-4(a+b)2，其中a=，b=-1.【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的式分解，再代值计算即可.解：原式=3(a-b)2-2(a+b)2=(3a-3b)2-(2a+2b)2=(3a-3b+2a+2b)(3a-3b-2a-2b)=(5a-b)(a-5b)；当b=-1时，原式=解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2再将“A”（1）因式分解：1+4(x-y)+4(x-y)2.（2）因式分解：(a2-4a+1)(a2-4a+7)+9【答案】（1）(1+2x-2y)22）(a-2)43）证明过程见分析.【分析】本题考查换元法，完全平方公式，平方差公式.（1）用换元法设x-y=A，将原式化为1+4A+4A2，由完全平方公式得出(1+2A)2，再将A还原即（2）设a2-4a+4=B，将原式化为(B-3)(B+3)+9，即可证得结论.解1）解：设x-y=A，∴1+4(x-y)+4(x-y)2=1+4A+4A2=1+2(x-y)2=(1+2x-2y)2，∴1+4(x-y)+4(x-y)2=(1+2x-2y)2.a2-4a+1)(a2-4a+7)+9=B2-9+9=B2a2-4a+4)2=(a-2)22=(a-2)4，a2-4a+1)(a2-4a+7)+9=(a-2)4.n2+3n)2+2(n2+3n)+1n2+3n+1)2，:n2+3n+1为正整数，【变式1】观察下列式子.①32-12=(3+1)(3-1)=8；②52-32=(5+3)(5-3)=16；③72-52=(7+5)(7-5)=24；④92-72=(9+7)(9-7)=32.（1）求212-192=.【答案】（1）802）8的倍数，证明见分析（1）根据题意得出212-192=(21+19)(21-19)=80；（2）理由平方差公式得出(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n，即可得出两个连解1）解：由题意得212-192=(21+19)(21-19)=80，故答案为：80（2）解：(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)【变式2】观察下列各式：(2+3)2-22=7×3；(4+3)2-42=