河南省环际大联考“逐梦计划”2025-2026学年高二上学期阶段考试（一）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省环际大联考“逐梦计划”2025-2026学年高二上学期阶段考试（一）数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由直线方程为可知直线的斜率为，因此倾斜角为．故选：B．2.已知直线，，若，则实数（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】因为直线，，且，则，解得故选：C.3.若方程表示圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为方程表示圆，所以，所以，则实数的取值范围是故选：C.4.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为椭圆的长轴长是短轴长的倍，则，即，故椭圆的离心率为.故选：C.5.直线被圆截得的弦长为（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】圆，所以圆心，半径，所以弦心距为，所以弦长为，故选：C.6.已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】对于椭圆，则，，，所以、，设点，其中，且，故，所以，，故，故当时，取最小值.故选：A.7.已知直线，圆，若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】圆的圆心到直线距离，若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则，即.故选：D.8.若椭圆的离心率为，左顶点为，点、为上任意两点且关于轴对称，则直线和直线的斜率之积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知，椭圆的离心率为，故，设点，则点，其中，因为点在椭圆上，所以，可得，易知点，所以，故选：A.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.直线在y轴上的截距为2B.直线过定点C.过点且平行于直线的直线方程为D.三条直线交于同一点【答案】BCD【解析】对于A项，由可得：，可得直线在轴上的截距是，故A项错误；对于B项，由可得：，因，则有：，故直线恒过定点，故B项正确；对于C项，不妨设平行于直线的直线方程为，因为过点，所以，即，故C项正确；对于D项，，所以，所以三条直线交于同一点，故D项正确.故选：BCD.10.已知圆与圆，下列选项正确的有（）A.若，则两圆外切B.若，则直线为两圆的一条公切线C.若，则两圆公共弦所在直线的方程为D.若，则两圆公共弦的长度为【答案】BD【解析】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，对于A选项，若两圆外切，则，解得，A错；对于B选项，若，圆心到直线的距离为，则直线与圆相切，圆心到直线的距离为，则直线与圆相切，故当时，则直线为两圆的一条公切线，B对；对于C选项，若，因为，此时两圆相交，将两圆方程相减得，即，故当时，两圆公共弦所在直线的方程为，C错；对于D选项，当时，圆心到直线的距离为，此时两圆的公共弦长度为，D对.故选：BD.11.已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（）A.存在点使B.的周长为16C.的最大面积为12D.的最小值为【答案】ACD【解析】由，得.对于A：假设存在点使得，则，所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则，因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即，由可知，圆与椭圆有交点，所以假设成立，即存在点使得，故A正确；对于B：周长为，故B错误；对于C：当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大，所以，故C正确；对于D：，又，所以，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.点关于点的对称点的坐标是__________.【答案】【解析】设点，由题意可知为线段的中点，由中点坐标公式可得，解得，因此点关于点的对称点的坐标是.故答案为：.13.若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则___________．【答案】4【解析】因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为4，所以，解得.故答案为：4.14.若是圆上两点，且，若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】圆的半径，为的中点，且，解得，点的轨迹方程为，又直线过定点，即过定点，且，则点是两垂线的交点，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，的轨迹方程为，由于的斜率存在，所以点的轨迹要去掉点，由已知可得：圆与圆有公共点，，即，又，所以，解得，故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，、、，求：（1）边上的中线所在直线的方程；（2）边上的高所在的直线的方程；（3）三角形的面积.解：（1）由题意可知线段的中点为，所以边上的中线所在直线的方程为，即.（2）直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为，因此边上的高所在的直线的方程为，即.（3）直线的方程为，即，，点到直线的方程为，因此，.16.已知圆的圆心为，且过点.（1）求圆的半径及标准方程；（2）过点直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.解：（1）半径，所以的方程为.（2）当的斜率不存在时，的方程为，与圆相交，圆心到直线的距离，弦长为，满足条件；当的斜率存在时，设直线的方程为，即，圆心到直线的距离，所以弦长，即，所以的方程为或.17.已知椭圆的焦点为、，该椭圆经过点（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上的点满足，求.解：（1）根据题意可设椭圆的标准方程为，由椭圆的定义可得，故，又因为，所以，因此椭圆的标准方程为.（2）由题意可得，故，，，因为，所以，解得，故.18.已知圆圆心在直线上，且与轴相切，直线被圆截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）若直线与圆相切，且与轴、轴分别交于点、.①写出与的关系式；②求面积的最小值，并写出此时的直线的方程.解：（1）不妨设圆心坐标为，由题意可知，该圆的半径为，所以圆的标准方程为，由勾股定理可知，圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，所以，解得，故圆的标准方程为或.（2）①由题意，直线的截距式方程为，化为一般式方程为，若圆的方程为，则圆心到直线的距离为，此时直线与圆相离，不合题意，所以圆的方程为，则圆心到直线的距离为，整理得，故；②，当且仅当时，即当时，等号成立，此时，故面积的最小值为，此时直线的方程为.19.已知椭圆的为2，离心率为为的左，右焦点，是椭圆上的两点.（1）求的方程；（2）若两点都在轴上方，且.①若，求；②求四个点所构成的四边形面积的最大值.解：（1）由已知得，