黑龙江省新时代高中教育联合体2025-2026学年高一上学期期中联考数学试卷（一）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省新时代高中教育联合体2025-2026学年高一上学期期中联考数学试卷（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】全集，，故，由韦恩图得图中的阴影部分表示的集合为.故选：A.2.命题：，的否定是（）．A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】，的否定是，.故选：D.3.若存在，使得成立，则m的取值范围为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】存在，使得成立，所以，，由二次函数的性质可知在上单调递减，所以当时，函数取得最小值5，所以．故选：C.4.两次购买同一种物品，可以用两种不同的购买方案，第一种是不考虑物品单价的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品单价的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购买方案更实惠（）．A.第一种 B.第二种 C.都一样 D.与物品价格有关【答案】D【解析】设两次购买此种商品的单价分别为，，方案一中每次购买这种物品数量为x，方案二中每次购买这种物品所花的钱数为y，其中，，x，y均为正数，∴方案一的平均单价为；方案二的平均单价为，当且仅当时取等号，所以当相等时，两种方案一样，当时，第二种购买方案更实惠．综上，哪种购买方案更实惠与物品价格有关.故选：D．5.已知函数在上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.[0，1]【答案】B【解析】由条件可知，在区间上单调递减，则，即，且在分界点处满足，得，所以.故选：B6.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】因为函数的定义域为，即，则，所以，解得：，所以函数的定义域为.故选：A.7.已知是定义在上的偶函数，当时，，则（）A. B. C.4 D.8【答案】D【解析】由，解得，则.所以，因为是定义在上的偶函数，所以.故选：D.8.已知函数，则下列说法错误的是（）．A.若，，则的图象经过四个象限B.若，则的图象经过三个象限C.若，，则的图象能经过第四象限D.若，则的图象能经过第一象限【答案】D【解析】∵，∴的图象过点，又，对于A，若，，则，，函数的图象由的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到，如下图，故正确；对于B，若，则，，函数的图象由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到，如下图，故正确；对于C，若，，则，，函数的图象由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到，如下图，故正确；对于D，若，则，，函数的图象由的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到，如下图，故错误；故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）．A.已知集合，则集合A有7个真子集B.“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件C.若函数的定义域为，则其值域为D.若，则【答案】BD【解析】对于A，集合，集合A的真子集有，，共3个，A错误；对于B，方程有一个正根和一个负根，则，若则，但若，则不一定成立，所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，B正确；对于C，，令，则原函数化为，∵，∴，由二次函数的图象可知，当时，取得最小值，当时，取得最大值1，∴，∴，∴原函数的值域为，C错误；对于D，∵，∴，D正确．故选：BD．10.已知，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.D.【答案】BD【解析】对于A，不等式的同向同正可乘，未强调正，例如：，故A错误；对于B，，，则，即，故B正确；对于C，，则，故C错误；对于D，，则，所以，故D正确；故选：BD.11.对于函数，若存在常数a，b，使得函数为“奇函数”，则称函数为“准奇函数”，已知，以下说法正确的是（）．A.为“准奇函数”B.函数的图象关于点对称C.D.函数的最大值与最小值的和为6【答案】ACD【解析】函数的定义域为，设，则，对于A，由，得为奇函数，则为“准奇函数”，A正确；对于B，由为奇函数，得，则，函数的图象关于点对称，B错误；对于C，由B选项的分析可知，函数的图象关于点对称，故，则，又，因此，C正确；对于D，由B选项的分析可知，函数的图象关于点对称，故函数的最大值与最小值的和为6，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设集合.若，则______.【答案】【解析】因为，所以，解得或，若，则，此时，符合题意；若，则，此时，不符合题意.故的值为.故答案为：.13.已知幂函数在上单调递减，若正数满足，求的最小值______.【答案】24【解析】由于是幂函数，所以，解得或.当时，，在上递减，符合题意.当时，在上递增，不符合题意.所以的值为1，则，依题意为正数，，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为24.故答案为：24.14.高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的数学概念、定理、公式有很多，比如我们教材中所学习的“高斯函数”其中表示不超过x的最大整数，例如，，.现有函数，如果该函数既有最大值也有最小值，则实数t的取值范围是__________.【答案】【解析】设，则，得.，令，则，所以，得，又既有最大值又有最小值，当时，的图象如图所示，在上有最小值，无最大值，不符合题意；当时，的图象如图所示，在上有最小值，无最大值，不符合题意；当时，的图象如图所示，在上有最大值和最小值，符合题意；当时，的图象如图所示，在上有最大值，无最小值，不符合题意；综上，，即实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.设全集，集合，集合．（1）求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；（3）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以或.（2）由“”是“”的充分不必要条件，得是的真子集，又，，因此或，解得：.所以实数的取值范围为.（3）命题“，则”是真命题，则有，当时，，解得，符合题意，因此当时，而，则，无解，综上所述，实数的取值范围.16.已知二次函数．（1）若的解集为，求ab的值；（2）解关于x的不等式．解：（1）若的解集为，则1，b是方程的根，由，解得：，由解得：，所以；（2）由二次函数知，不等式整理得，即，由得①当时，不等式等价于：，若，即时，解集为；若，即时，解集为：；若，即时，解集为；②当时，不等式等价于：，解集为综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．17.已知函数的定义域为，对任意正实数都有，且当时，．（1）求的值；（2）试判断的单调性，并证明；（3）若，求的取值范围．解：（1）令，得，解得；（2）在上单调递减，证明如下：不妨设，所以，又，所以，所以，所以，即，所以在上单调递减；（3）由（2）知在上单调递减，若，即，所以，解得或，即的取值范围是．18.设函数，，.（1）求函数的值域；（2）若对，，使得成立，求实数的取值范围；（3）对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且在区间上的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”.如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围.解：（1）令，则，于是，而函数在上单调递减，在上单调递增，，的值域为.（2）当时，，当时，设，在上递增，则，因对，，使得成立，可得，故实数的取值范围是.（3）函数在上递减，在上递增，设是一个优美区间，则或，当时，有，则方程，即有两个不等的非负根，设方程两根分别为，由，得，又由，得，因此；当时，有，则，两式相减得，因，则，于是，则方程，即有两个不等的非正根，由，解得，又，可得，因此.综上可得：实数的取值范围是.19.若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式.（1）若，证明二维形式的权