湖南省湘潭市部分学校2025-2026学年高二上学期12月学情检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省湘潭市部分学校2025-2026学年高二上学期12月学情检测数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.直线与直线的位置关系是（）A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定【答案】C【解析】因为直线与直线的斜率分别为和，显然且，因此两直线既不平行也不垂直；因此两直线相交但不垂直.故选：C.2.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知，令，解得，依题有，即，双曲线方程为，从而，从而的焦点坐标为.故选：A.3.已知数列的一个通项公式为，且，则等于（）A. B. C.5 D.6【答案】B【解析】因为，即，解得，所以．故选：B.4.若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】因为直线经过点，则，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为，此时，则.故选：D.5.双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】双曲线的渐近线为，根据对称性不妨取，圆的圆心为，半径，可得圆心到渐近线的距离为，则弦长为.故选：D.6.法国天文学家乔凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其卫星运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称为卡西尼卵形线（CassiniOval）小张同学受到启发，提出类似疑问，若平面内动点与两定点所成向量的数量积为定值，则动点的轨迹是什么呢？设定点和，动点为，若，则动点的轨迹为（）A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线【答案】B【解析】设，以线段的中点为平面直角坐标系原点，为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，设，则，即，所以的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆.故选：B.7.在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（）①圆的面积为；②椭圆的长轴长为；③双曲线两渐近线的夹角正切值为；④抛物线的焦点到准线的距离为A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】对于①，M为母线的中点，因此截面圆的半径为底面圆的半径的，即截面圆半径为2，则圆的面积为，故①正确；对于②，如图，在圆锥的轴截面中，作,垂足为C，由题意可得M为母线的中点，则,故椭圆的长轴长为,②正确；对于③，如图，在与平面垂直且过点M的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点与点P到底面距离相等，则点M坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为D，其坐标为，则设双曲线方程为，则，将代入双曲线方程，得，设双曲线的渐近线与轴的夹角为，则，故双曲线两渐近线的夹角正切值为，③错误；对于④，如图，建立平面直角坐标系，设抛物线与底面圆一个交点为H，则，则,设抛物线方程为，则，即抛物线的焦点到准线的距离为，④错误，故正确的命题有2个，故选：B.8.已知函数是定义在R上不恒为零的函数，对任意的x，均满足：，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，得，代入，得，当x为正整数时，，所以，所以，代入，得，所以（且），又当时，也符合题意，所以（）．所以，令，则，所以，所以，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知公差为的等差数列是递减数列，其前项和为，且满足，则下列结论正确的是（）A. B.C.若，则的最大值为7 D.取最大值时，【答案】ABC【解析】等差数列是递减数列，则公差，A正确；由题意，∴，则，从而取最大值时，或，D错误；所以，B正确；，由得，C正确．故选：ABC．10.已知直线：和圆：，则（）A.直线恒过定点 B.存在使得直线与直线：垂直C.直线与圆相离 D.若，直线被圆截得的弦长为【答案】BD【解析】直线，即，则直线恒过定点，故A错误；当时，直线与直线垂直，故B正确；∵定点在圆O：x2+y2=9内部，∴直线l与圆O相交，故C不正确：当时，直线l化为，即x+y+2=0，圆心O到直线的距离，直线l被圆O截得的弦长为，故D正确，故选：BD.11.如图是唐代纹八棱金杯，其主体纹饰为八位手执乐器的乐工，分布于八个棱面，乐工手执竖箜篌､曲项琵琶､排箫等，金杯无论造型还是装饰风格都有着浓郁的域外特征，是唐代中外文化交流的见证､该杯的主体部分可近似看作是双曲线与直线围成的曲边四边形绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线与轴交于两点，则（）A.的方程为B.的离心率C.的焦点到渐近线的距离为D.若为上任意一点，则的最大值为【答案】AC【解析】解：由题意知，代入的方程解得，所以的方程为，A正确；因为，所以离心率，B错误；的焦点为，渐近线为，所以焦点到渐近线的距离为，C正确；，当且仅当，即时取等号，但将代入的方程后，无解，D错误.故选：AC.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为___________．【答案】【解析】由前四项可知，其分子为奇数，其分母后一项是前一项的二倍，所以数列通项公式为.故答案为：.13.已知圆，直线（、不同时为0），当、变化时，圆被直线截得的弦长的最小值为______.【答案】【解析】把直线化为，，恒过定点，当圆被直线l截得的弦长的最小值时，圆心到定点的距离为，圆心到直线距离最大值时即为，此时直线弦长为最小值.故答案为：.14.已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是______.【答案】6【解析】由圆可化为，则，半径为1，设是的下焦点，则，由双曲线定义可得，如图：所以，又，当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是.故答案为：6.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列通项公式为．（1）计算的值；（2）是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．解：（1）数列中，，，所以.（2）若为数列中的项，则，即，整理得，而，解得，所以是数列的第10项.16.如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，，D是棱PC的中点．（1）求证：；（2）若，求直线BC与平面ADB所成角的正弦值．（1）证明：在中，，，，所以，所以，又平面平面ABC，平面平面，平面PAB，所以平面ABC，又平面ABC，所以，又，，PB，平面PBC，所以平面PBC，又平面PBC，所以．（2）解：在中，，，，所以．以C为坐标原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴的正A方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，，设平面ADB的一个法向量为，则取，则，所以．设直线BC与平面ADB所成的角为，则，所以直线BC与平面ADB所成角的正弦值是．17.在平面直角坐标系中，设向量，，．（1）若，求的值；（2）设，且，求的值．解：（1）因为，，，所以，，．因为，所以，即，所以，即．（2）由题，则，所以，又，，所以，即，整理得，所以或，所以或.18.已知圆经过，两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程；（3）已知是圆上动点，求的最大值.解：（1）因为，，所以，的中点坐标为，所以的垂直平分线为，即，联立，解得，所以圆心的坐标为，又圆的半径为，所以圆的方程为；（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以，满足条件；若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离为，又，所以圆心到直线的距离为，所以，解得，所以直线的方程为，即，综上所述，直线的方程为或；（3）设，则求的最大值即求的最大值，当直线与圆相切时，能取最值，此时圆心到该直线的距离为，即，解得或，所以的最大值为，即的最大值为19.已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，的离心率为，点是上一点，的最小值为1．（1）求椭圆的方程；（2）已知是椭圆的左、右