江苏省宿迁市沭阳县2026届高二数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

江苏省宿迁市沭阳县2026届高二数学第一学期期末综合测试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A，C之间的曲线）绕其虚轴所在直线l旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2.该小组给出了图1中的相关数据：，，，，，其中B是双曲线的一个顶点.小组中甲、乙、丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示学生甲乙丙丁估算结果（）其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（）（参考公式：，，）A.甲 B.乙C.丙 D.丁2．在下列四条抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（）A. B.C. D.3．已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（）A. B.C. D.5．已知椭圆的左右焦点分别为，直线与C相交于M，N两点（其中M在第一象限），若M，，N，四点共圆，且直线倾斜角不小于，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A. B.C. D.6．等差数列的前项和为，若，，则（）A.12 B.18C.21 D.277．已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是（）A. B.C. D.8．已知函数满足，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.9．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2的余弦值为A. B.C. D.10．已知直线与直线平行，且直线在轴上的截距比在轴上的截距大，则直线的方程为（）A. B.C. D.11．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（）A. B.C. D.12．函数的极大值点为（）A. B.C. D.不存在二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数，.若对任何，，恒成立，求的取值范围______.14．将车行的30辆大巴车编号为01，02，…，30，采用系统抽样方法抽取一个容量为3的样本，且在某组随机抽得的一个号码为08，则剩下的两个号码依次是__________（按号码从小到大排列）15．设数列的前n项和为，且是6和的等差中项，若对任意的，都有，则的最小值为________16．设a为实数，若直线与直线平行，则a值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直三棱柱中，，，，，分别是，上的点，且（1）求证：∥平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值18．（12分）已知数列的前n项和为，当时，；数列中，.直线经过点（1）求数列的通项公式和；（2）设，求数列的前n项和，并求的最大整数n19．（12分）等比数列中，，（1）求的通项公式；（2）记为的前n项和．若，求m的值20．（12分）已知数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前n项和，求.21．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，.（1）证明：平面平面PAC；（2）求平面PCD与平面PAB夹角的余弦值.22．（10分）在数列中，，且成等比数列（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设数列满足，其前项和为，证明：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据几何体可分割为圆柱和曲边圆锥，利用圆柱和圆锥的体积公式对几何体的体积进行估计即可.【详解】可将几何体看作一个以为半径，高为的圆柱，再加上两个曲边圆锥，其中底面半径分别为，，高分别为,,,,所以花瓶的容积，故最接近的是丁同学的估算，故选：D2、D【解析】由题意可知，然后分析判断即可【详解】由题意知，即可满足题意，故A，B，C错误，D正确.故选：D3、A【解析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的坐标表示公式、充分性、必要性的定义进行求解判断即可.详解】当时，有，显然由，但是由不一定能推出，故选：A4、A【解析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程.【详解】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.故选：A5、B【解析】设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和圆的性质得以为直径的圆与椭圆C有公共点，则有以，再根据直线倾斜角不小于得，由椭圆的定义得，由此可求得椭圆离心率的范围.【详解】解：设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和M，，N，四点共圆得，四边形必为一个矩形，即以为直径的圆与椭圆C有公共点，所以，所以，所以，因为直线倾斜角不小于，所以直线倾斜角不小于，所以，化简得，，因为，所以，所以，，又，因为，所以，所以，所以，所以.故选：B.6、B【解析】根据等差数列的前项和为具有的性质，即成等差数列，由此列出等式，求得答案.【详解】因为为等差数列的前n项和，且，，所以成等差数列，所以，即，解得=18，故选：B.7、B【解析】根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知也在双曲线的渐近线上，且在第一象限，从而由可知轴，所以在直角三角形中，，由，可得的范围，进而转化为，的不等式，结合可得离心率的取值范围【详解】解：因为经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，所以由双曲线的对称性可知也在双曲线的渐近线上，且在第一象限，由轴，可知轴，所以，在直角三角形中，，因为，所以，，即，所以，即，即，故，所以.故选：B8、A【解析】求出函数的导数，利用导数的定义求解，然后求解切线的斜率即可【详解】解：函数，可得，，可得，即，所以，可得，解得，所以，所以曲线在点处的切线方程为故选：A9、B【解析】根据题意，椭圆的标准方程为，其中则，则有|F1F2|=2，若a=3，则|PF1|+|PF2|=2a=6，又由|PF1|=4，则|PF2|=6-|PF1|=2，则cos∠F1PF2==.故选B10、A【解析】分析可知直线不过原点，可设直线的方程为，其中且，利用斜率关系可求得实数的值，化简可得直线的方程.【详解】若直线过原点，则直线在两坐标轴上的截距相等，不合乎题意，设直线的方程为，其中且，则直线的斜率为，解得，所以，直线的方程为，即.故选：A.11、A【解析】由椭圆的面积为和两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，得到求解.【详解】由题意得，解得，所以椭圆的标准方程是.故选：A12、B【解析】求导，令导数等于0，然后判断导数符号可得，或者根据对勾函数图象可解.【详解】令，得，因为时，，时，，所以时有极大值；当时，，时，，所以时有极小值.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先把原不等式转化为恒成立，构造函数，利用恒成立，求出的取值范围.【详解】因为对任何，，所以对任何，，所以在上为减函数.，，所以恒成立，即对恒成立，所以，所以.即的取值范围是.故答案为：.【点睛】恒（能）成立问题求参数的取值范围：①参变分离，转化为不含参数的最值问题；②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值；③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）.14、18，28【解析】根据等距抽样的性质确定剩下的两个号码即可.【详解】由于从30辆大巴车中抽取3辆车，故分组间距为10，又第一组的号码为08，所以其它两个号码依次是18，28故答案为：18，28.15、【解析】先根据和项与通项关系得通项公式，再根据等比数列求和公式得，再根据函数单调性得取值范围，即得取值范围，解得结果.【详解】因为是6和的等差中项，所以当时，当时，因此当为偶数时，当为奇数时，因此因为在上单调递增，所以故答案为：【点睛】本题考查根据和项求通项、等比数列定义、等比数列求和公式、利用函数单调性求值域，考查综合分析求解能力，属较难题.16、【解析】根据两直线平行得到，解方程组即可求出结果.【详解】由题意可知，解得，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量证明与平面的法向量垂直（2）由空间向量求解【小问1详解】以C为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，设，因为，所以，故，得，同理求得，所以，因为是平面的一个法向量，且，所以，又平面，所以平面；【小问2详解】由（1）可得：，，设平面的一个法向量为，则，即令，则，所以，又平面的一个法向量为，设表示平面与平面所成锐二面角，则18、（1），（2），7【解析】（1）根据之间的递推关系，可写出。，采用和相减得方法，可求得，由题意可推得为等差数列，利用等差数列的通项公式可求得答案；（2）写出的表达式，利用错位相减法可求得数列的前n项和，进而利用数列的单调性求的最大整数n【小问1详解】∵，∴，则，∴，即，得又，∴，即，可得数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，则；∵点在直线上，∴，∴，即数列是等差数列，又，∴；【小问2详解】∵，∴，∴，∴，两式相减可得：，∴,设，则，故，是单调递增的故当时，单调递增的，当时，；当时，，故满足的最大整数19、（1）或；（2）5.【解析】（1）设的公比为q，解方程即得解；（2）分两种情况解方程即得解.【小问1详解】解：设的公比为q，由题设得由已知得，解得（舍去），或故或【小问2详解】解：若，则由，得，解得若，则由，得，因为，所以此方程没有正整数解综上，20、（1）（2）【解析】（1）由题意可得数列是以2为公差的等差数列，再由可求出，从而可求出通项公式，（2）由（1）可得，然后利用分组求和可求出【小问1详解】因为数列满足，所以数列是以2为公差的等差数列，因为，所以，得，所以【小问2详解】由（1）可得，所以21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）过点C作于点H，由平面几何知识证明，然后由线面垂直的性质得线线垂直，从而得线面垂直，然后可得面面垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角【小问1详解】在梯形ABCD中，过点C作于点H.由，，，，可知，，，.所以，即，①因为平面ABCD，平面ABCD，所以，②由①②及，平面PAC，得平面PAC.又由平面PCD，所以平面平面PAC.【小问2详解】因为AB，AD，AP两两垂直，所以以A为原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，3），，.设平面PCD的法向量为，则，取，则，，则.平面PAB的一个法向量为，所以，所以平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值为.22、（1）证明见解析；；（2）证明见解析【解析】（1）利用已知条件推出数列是等差数列，