北京市东城区第二中2026届数学高一上期末考试试题含解析

北京市东城区第二中2026届数学高一上期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．半径为2，圆心角为的扇形的面积为（）A. B.C. D.22．下面各组函数中表示同一个函数的是（）A.， B.，C.， D.，3．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式解集为A. B.C. D.4．将函数图象向右平移个单位得到函数的图象，已知的图象关于原点对称，则的最小正值为（）A.2 B.3C.4 D.65．已知均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（）x01233.0115.4325.9807.6513.4514.8905.2416.892A. B.C. D.6．直线l：x﹣2y+k＝0（k∈R）过点（0，2），则k的值为（）A.﹣4 B.4C.2 D.﹣27．满足的角的集合为（）A. B.C. D.8．集合，，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（）A. B.C. D.9．设集合，则=A. B.C. D.10．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如右图，甲乙两组数据的平均数分别为，标准差分别为则A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．圆的圆心到直线的距离为______.12．函数的图象的对称中心的坐标为___________.13．如图，扇形的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角的弧度数为______14．=______15．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是B，点和点的中点是E，则___________.16．设是以2为周期的奇函数，且，若，则的值等于___三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知关于不等式的解集为.（1）若，求的值；（2）若，求实数的取值范围；（3）若非空集合，请直接写出符合条件的整数的集合.18．已知集合A={x|x2-7x+6＜0}，B={x|4-t＜x＜t}，R为实数集（1）当t=4时，求A∪B及A∩∁RB；（2）若A∪B=A，求实数t的取值范围19．对于函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的1个“跃点”（1）求证：函数在上是“1跃点”函数；（2）若函数在上存在2个“1跃点”，求实数的取值范围；（3）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2022个“跃点”？若存在，请求出和满足的条件；若不存在，请说明理由20．已知不过第二象限的直线l：ax-y-4=0与圆x2+（y-1）2=5相切（1）求直线l的方程；（2）若直线l1过点（3，-1）且与直线l平行，直线l2与直线l1关于直线y=1对称，求直线l2的方程21．某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，单株成本投入（含施肥、人工等）为元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）.（1）求的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】利用扇形的面积公式即得.【详解】由题可得.故选：D2、B【解析】根据两个函数的定义域相同，且对应关系相同分析判断即可【详解】对于A，的定义域为R，而的定义域为，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于B，两个函数的定义域都为R，定义域相同，，这两个函数是同一个函数；对于C，的定义域为，而的定义域是R，两个函数的定义城不相同，所以不是同一个函数；对于D，的定义域为，而的定义域是R，两个的数的定义域不相同，所以不是同一个函数.故选：B.3、B【解析】，又函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，所以，解得.考点：偶函数的性质.【思路点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键.根据函数奇偶性可得，再根据函数的单调性，可得；然后再解不等式即可求出结果4、B【解析】根据图象平移求出g(x)解析式，g(x)为奇函数，则g(0)＝0，据此即可计算ω的取值.【详解】根据已知，可得，∵的图象关于原点对称，所以，从而，Z，所以，其最小正值为3，此时故选：B5、C【解析】根据函数零点的存在性定理可以求解.【详解】由表可知，，，令，则均为上连续不断的曲线，所以在上连续不断的曲线，所以，，；所以函数有零点的区间为，即方程有实数解的区间是.故选：C.6、B【解析】将点（0，2）代入直线l：x﹣2y+k＝0（k∈R）的方程中，可解得k的值.【详解】由直线l：x﹣2y+k＝0（k∈R）过点（0，2）.所以点的坐标满足直线l的方程即则，故选：B.【点睛】本题考查点在直线上求参数，属于基础题.7、D【解析】利用正弦函数的图像性质即可求解.【详解】.故选：D.8、B【解析】首先求出集合，再结合韦恩图及交集、并集、补集的定义计算可得；【详解】解：∵，，∴，则，，选项A中阴影部分表示的集合为，即，故A错误；选项B中阴影部分表示的集合由属于A但不属于B的元素构成，即，故B正确；选项C中阴影部分表示的集合由属于B但不属于A的元素构成，即，有1个元素，故C错误；选项D中阴影部分表示的集合由属于但不属于的元素构成，即，故D错误故选：B9、C【解析】由补集的概念，得，故选C【考点】集合的补集运算【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化10、C【解析】利用甲、乙两名同学6次考试的成绩统计直接求解【详解】由甲乙两名同学6次考试的成绩统计图知：甲组数据靠上，乙组数据靠下，甲组数据相对集中，乙组数据相对分散分散布，由甲乙两组数据的平均数分别为，标准差分别为得，故选【点睛】本题考查命题真假的判断，考查平均数、的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解析】利用点到直线的距离公式可得所求的距离.【详解】圆心坐标为，它到直线的距离为，故答案为：1【点睛】本题考查圆的标准方程、点到直线的距离，此类问题，根据公式计算即可，本题属于基础题.12、【解析】利用正切函数的对称中心求解即可.【详解】令＝()，得()，∴对称中心的坐标为故答案：()13、【解析】根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，设扇形所在圆的半径为，扇形的弧长为，因为扇形的面积是1，它的弧长是2，由扇形的面积公式和弧长公式，可得，解得，.故答案为2.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14、【解析】由题意结合指数的运算法则和对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】原式=3+-2=.故答案为点睛】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15、【解析】先利用对称性求得点B坐标，再利用中点坐标公式求得点E坐标，然后利用两点间距离公式求解.【详解】因为点关于平面的对称点是，点和点的中点是，所以，故答案为：16、【解析】先利用求得的值，再依据题给条件用来表示，即可求得的值【详解】∵，∴，又∵是以2为周期的奇函数，∴故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）3；（2）；（3）.【解析】(1)由给定解集可得2，3是方程的二根即可求解作答.(2)根据给定条件列出关于a的不等式求解作答.(3)分a大于2或小于2两类讨论作答.【小问1详解】因方程的根为或，而不等式的解集为，则2，3是方程的二根，所以.【小问2详解】因为，即有，解得：，所以实数的取值范围为.【小问3详解】因非空，则，当时，，显然集合不是集合的子集，当时，，而，则，所以整数的集合是.18、（1）见解析；（2）【解析】（1）由二次不等式的解法得，由集合的交、并、补的运算得，进而可得解（2）由集合间的包含关系得：因为，得：，讨论①，②时，运算即可得解.【详解】（1）解二次不等式x2-7x+6＜0得：1＜x＜6，即A=(1,6)，当t=4时，B=(0,4)，CRB=，所以A∪B=(0,6)，A∩CRB=[4,6)，故答案为A∪B=(0,6)，A∩CRB=[4,6)，（2）由A∪B=A，得：B⊆A，①当4-t≥t即t≤2时，B=，满足题意，②B≠时，由B⊆A得：，解得：2＜t≤3，综合①②得：实数t的取值范围为：t≤3，故答案为t≤3【点睛】本题考查了二次不等式的解法、集合的交、并、补的运算及集合间的包含关系，属简单题19、（1）证明见详解（2）（3）存在，或或【解析】（1）将要证明问题转化为方程在上有解，构造函数转化为函数零点问题，结合零点存在性定理可证；（2）原问题等价于方程在由两个根，然后构造二次函数，转化为零点分布问题可解；（3）将问题转化为方程在上有2022个实数根，再转化为两个函数交点个数问题，然后可解.【小问1详解】因为整理得，令，因为，所以在区间有零点，即存在，使得，即存在，使得，所以，函数在上是“1跃点”函数【小问2详解】函数在上存在2个“1跃点”方程在上有两个实数根，即在上有两个实数根，令，则解得或，所以的取值范围是【小问3详解】由，得，即因为函数在上有2022个“跃点”，所以方程在上有2022个解，即函数与的图象有2022个交点.所以或或即或或20、（1）2x-y-4=0（2）2x+y-9=0【解析】（1）利用直线l与圆x2+（y-1）2=5相切，，结合直线l不过第二象限，求出a，即可求直线l的方程；（2）直线l1的方程为2x-y+b=0，直线l1过点（3，-1），求出b，即可求出直线l1的方程；利用直线l2与l1关于y=1对称，求出直线的斜率，即可求直线l2的方程【详解】（1）∵直线l与圆x2+（y-1）2=5相切，∴，∵直线l不过第二象限，∴a=2，∴直线l的方程为2x-y-4=0；（2）∵直线l1过点（3，-1）且与直线l平行，∴直线l1方程为2x-y+b=0，∵直线l1过点（3，-1），∴b=-7，则直线l1的方程为2x-y-7=0，∵直线l2与l1关于y=1对称，∴直线l2的斜率为-2，且过点（4，1），∴直线l2的斜率为y-1=-2（x-4），即化简得2x+y-9=0【点睛】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，属于中档题21、（1）；（2）4千