2026届黑龙江省绥化市望奎县第二中学数学高三第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

2026届黑龙江省绥化市望奎县第二中学数学高三第一学期期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，则的值等于（）A．2018 B．1009 C．1010 D．20202．正方形的边长为，是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且，则的最小值为（）A． B． C． D．3．函数的大致图象是A． B． C． D．4．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．5．已知，是函数图像上不同的两点，若曲线在点，处的切线重合，则实数的最小值是（）A． B． C． D．16．已知集合，则（）A． B．C． D．7．若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数在上单调递增 B．函数的周期是C．函数的图象关于点对称 D．函数在上最大值是18．设函数（，）是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，则（）A． B． C． D．9．设a,b∈(0,1)∪(1,+∞)，则"a=b"是"logA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（）A．69人 B．84人 C．108人 D．115人11．已知集合，，，则()A． B． C． D．12．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，且．若，则的值为________________.14．数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，且.若任意，成立，则实数的取值范围为__________.15．在长方体中，，，，为的中点，则点到平面的距离是______.16．在的展开式中，的系数为______用数字作答三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，分别是椭圆：的左，右焦点，点在椭圆上，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．（1）求,的值：（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于A，B两点，且与椭圆相交于C，D两点，当时，求△的面积．18．（12分）在平面直角坐标系中，，，且满足（1）求点的轨迹的方程；（2）过，作直线交轨迹于，两点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程．19．（12分）已知等差数列的前n项和为，，公差，、、成等比数列，数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2）已知，求数列的前n项和.20．（12分）语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人，具体数据如下：“小爱同学”智能音箱“天猫精灵”智能音箱合计男4560105女554095合计100100200（1）若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人？（2）根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？附：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）已知椭圆：，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点.（Ⅰ）若线段的中点坐标为，求直线的方程；（Ⅱ）若直线过点，点满足（，分别为直线，的斜率），求的值.22．（10分）（江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题）在平面直角坐标系中，已知平行于轴的动直线交抛物线：于点，点为的焦点.圆心不在轴上的圆与直线，，轴都相切，设的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线，分别与轴相交于点，.当线段的长度最小时，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4，然后借助于三角函数的周期性确定其值即可．【详解】解：．，，的周期为，，，，，．．故选：C【点睛】本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于中档题．2、C【解析】

分别以直线为轴，直线为轴建立平面直角坐标系，设，根据，可求，而，化简求解.【详解】解：建立以为原点，以直线为轴，直线为轴的平面直角坐标系.设，，，则，，由，即，得.所以=，所以当时，的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.3、A【解析】

利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数为奇函数，可排除B选项；当时，，可排除D选项；当时，，当时，，即，可排除C选项，故选：A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．4、C【解析】

根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在棱长为的正方体中截去四棱锥所形成的几何体，该几何体的体积为.故选：C.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.5、B【解析】

先根据导数的几何意义写出在两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出，令函数，结合导数求出最小值，即可选出正确答案.【详解】解：当时，，则;当时，则.设为函数图像上的两点，当或时，，不符合题意，故.则在处的切线方程为；在处的切线方程为.由两切线重合可知，整理得.不妨设则，由可得则当时，的最大值为.则在上单调递减，则.故选:B.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出和的函数关系式.本题的易错点是计算.6、C【解析】

由题意和交集的运算直接求出.【详解】∵集合，∴.故选:C.【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.7、A【解析】

根据三角函数伸缩变换特点可得到解析式；利用整体对应的方式可判断出在上单调递增，正确；关于点对称，错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，错误.【详解】将横坐标缩短到原来的得：当时，在上单调递增在上单调递增，正确；的最小正周期为：不是的周期，错误；当时，，关于点对称，错误；当时，此时没有最大值，错误.本题正确选项：【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.8、D【解析】

根据函数为上的奇函数可得，由函数的对称轴及单调性即可确定的值，进而确定函数的解析式，即可求得的值.【详解】函数（，）是上的奇函数，则，所以.又的图象关于直线对称可得，，即，，由函数的单调区间知，，即，综上，则，.故选：D【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，由对称轴、奇偶性及单调性确定参数，属于中档题.9、A【解析】

根据题意得到充分性，验证a=2,b=1【详解】a,b∈0,1∪1,+∞，当"a=b当logab=log故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.10、D【解析】

先求得名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此利用比例，求得名学生中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.【详解】在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有人，设对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有人，则，解得人.故选：D【点睛】本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题.11、A【解析】

求得集合中函数的值域，由此求得，进而求得.【详解】由，得，所以，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.12、B【解析】

先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可【详解】解不等式可得，解绝对值不等式可得，由于为的子集，据此可知“”是“”的必要不充分条件．故选：B【点睛】本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据三角函数定义表示出，由同角三角函数关系式结合求得，而，展开后即可由余弦差角公式求得的值.【详解】点在单位圆上，设，由三角函数定义可知，因为，则，所以由同角三角函数关系式可得，所以故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数定义，同角三角函数关系式的应用，余弦差角公式的应用，属于中档题.14、【解析】

当时，，可得到，再用累乘法求出，再求出，根据定义求出，再借助单调性求解．【详解】解：当时，，则，，当时，，，，，，（当且仅当时等号成立），，故答案为：．【点睛】本题主要考查已知求，累乘法，主要考查计算能力，属于中档题．15、【解析】

利用等体积法求解点到平面的距离【详解】由题在长方体中，，，所以，所以，设点到平面的距离为，解得故答案为：【点睛】此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点.16、1【解析】

利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令，求出展开式中的系数．【详解】二项展开式的通项为令得的系数为故答案为1．【点睛】利用二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出，；（2）设直线方程为，联立直线与圆的方程可以求出，再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积．【详解】（1）焦点为F（1，0），则F1（1，0），F2（1，0），，解得，＝1，＝1，（Ⅱ）由已知，可设直线方程为，，联立得，易知△＞0，则＝＝＝因为，所以＝1，解得联立，得，△＝8＞0设，则【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题．意在考查学生的数学运算能力．18、（1）．（2）的方程为．【解析】

（1）令，则，由此能求出点C的轨迹方程．（2）令，令直线，联立，得，由此利用根的判别式，韦达定理，三角形面积公式，结合已知条件能求出直线的方程。【详解】解：（1）因为，即直线的斜率分别为且，设点，则，整理得.（2）令，易知直线不与轴重合，令直线，与联立得，所以有，由，故，即，从而，解得，即。所以直线的方程为。【点睛】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆方程、椭圆与直线的位置关系，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题。19、（1），（）；（2）.【解析】

（1）根据是等差数列，，、、成等比数列，列两个方程即可求出，从而求得，代入化简即可求得；（2）化简后求和为裂项相消求和，分组求和即可，注意讨论公比是否为1.【详解】（1）由题意知，，，由得，解得.又，得，解得或（舍）.，.又（），（）.（2），①当时，.②当时，.【点睛】此题等差数列的通项公式的求解，裂项相消求和等知识点，考查了化归和转化思想，属于一般性题目.20、（1）多2350人；（2）有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.【解析】

（1）根据题意，知100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，即可估计该地区购买“小爱同学”的女性人数和购买“天猫精灵”的女性的人数，即可求得答案；（2）根据列联表和给出的公式，求出，与临界值比较，即可得出结论.【详解】解：（1）由题可知，100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，由于地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，估计购买“小爱同学”的女性有人.估计购买“天猫精灵”的女性有人.则，∴估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多2350人.（2）由题可知，，∴有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别