福建省福州鼓楼区2026届高二上数学期末学业质量监测试题含解析

福建省福州鼓楼区2026届高二上数学期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，且直线始终平分圆的周长，则的最小值是（）A.2 B.C.6 D.162．设拋物线的焦点为F，准线为l，P为拋物线上一点，，A为垂足．如果直线AF的斜率是，那么（）A B.C.16 D.83．下列函数求导错误的是（）A.B.C.D.4．过点P(2，1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有A.1条 B.2条C.3条 D.4条5．设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件6．若圆与直线相切，则实数的值为（）A. B.或3C. D.或7．若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为（）A. B.C. D.8．已知函数的图象过点，令.记数列的前n项和为，则（）A. B.C. D.9．如果直线与直线垂直，那么的值为（）A. B.C. D.210．已知P是直线上的动点，PA，PB是圆的切线，A，B为切点，C为圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是（）A2 B.C.3 D.11．已知函数，若，则等于（）A. B.1C.ln2 D.e12．下列命题中正确的是（）A.抛物线的焦点坐标为B.抛物线的准线方程为x=−1C.抛物线的图象关于x轴对称D.抛物线的图象关于y轴对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若命题P：对于任意，使不等式为真命题，则实数的取值范围是___________.14．将全体正整数排成一个三角形数阵（如图）：按照以上排列的规律，第9行从左向右的第2个数为__________.15．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，150，50件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取___________件16．椭圆的长轴长为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）（1）已知：函数有零点；：所有的非负整数都是自然数.若为假，求实数的取值范围；（2）已知：；：.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.18．（12分）已知椭圆左右焦点分别为，，离心率为，P是椭圆上一点，且面积的最大值为1.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于M，N两点，求的取值范围.19．（12分）已知，命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立；（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若为真命题，求a的取值范围20．（12分）设F为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆C交于两点.（1）若点B为椭圆C的上顶点，求直线的方程；（2）设直线的斜率分别为，，求证：为定值.21．（12分）已知椭圆C：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.（1）椭圆C的方程；（2）设直线l：交椭圆C于A，B两点，且，求m的值.22．（10分）已知公比的等比数列和等差数列满足：，，其中，且是和的等比中项（1）求数列与的通项公式；（2）记数列的前项和为，若当时，等式恒成立，求实数的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由已知直线过圆心得，再用均值不等式即可.【详解】由已知直线过圆心得：，，当且仅当时取等.故选:B.2、D【解析】由题可得方程，进而可得点坐标及点坐标，利用抛物线定义即求【详解】∵抛物线方程为，∴焦点F(2,0)，准线l方程为x=−2，∵直线AF的斜率为,直线AF的方程为，由，可得，∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为，代入抛物线方程，得P点坐标为，∴.故选：D.3、C【解析】每一个选项根据求导公式及法则来运算即可判断.【详解】对于A，，正确；对于B，，正确；对于C，，不正确；对于D，，正确.故选：C4、B【解析】利用几何法，结合双曲线的几何性质，得出符合条件的结论.【详解】由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±x，则点P(2，1)在渐近线y＝x上，又双曲线的右顶点为A(2，0)，如图所示．满足条件的直线l有两条：x＝2，y－1＝－(x－2)【点睛】该题考查的是有关直线与双曲线的公共点有一个的条件，结合双曲线的性质，结合图形，得出结果，属于中档题目.5、A【解析】由三角函数的单调性直接判断是否能推出，反过来判断时，是否能推出.【详解】当时，利用正弦函数的单调性知；当时，或.综上可知“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查判断充分必要条件，三角函数性质，意在考查基本判断方法，属于基础题型.6、D【解析】利用圆心到直线的距离等于半径可得答案.【详解】若圆与直线相切，则到直线的距离为，所以，解得，或.故选：D.7、D【解析】判断点M与椭圆的位置关系，再借助点差法求出直线AB的斜率即可计算作答.【详解】显然点椭圆内，设点，依题意，，两式相减得：，而弦恰好被点平分，即，则直线AB的斜率，直线AB：，即，所以所在的直线方程为.故选：D8、D【解析】由已知条件推导出，．由此利用裂项求和法能求出【详解】解：由，可得，解得，则.∴，故选：【点睛】本题考查了函数的性质、数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9、A【解析】根据两条直线垂直列方程，化简求得的值.【详解】由于直线与直线垂直，所以.故选：A10、D【解析】由圆C的标准方程可得圆心为（1，1），半径为1，根据切线的性质可得四边形PACB面积等于，，故求解最小时即可确定四边形PACB面积的最小值.【详解】圆C：x2+y2-2x-2y+1=0即，表示以C（1，1）为圆心，以1为半径的圆，由于四边形PACB面积等于2×××=，而，故当最小时，四边形PACB面积最小，又的最小值等于圆心C到直线l：的距离d，而，故四边形PACB面积的最小值为，故选：D11、D【解析】求导，由得出.【详解】，故选：D12、C【解析】根据抛物线的性质逐项分析可得答案.【详解】抛物线的焦点坐标为，故A错误；抛物线的准线方程为，故B错误；抛物线的图象关于x轴对称，故C正确，D错误；故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题意，结合指数函数不等式，将原问题转化为关于的不等式，对于任意恒成立，即可求解.【详解】根据题意，知对于任意，恒成立，即，化简得，令，，则恒成立，即，解得，故.故答案为：.14、38【解析】根据数阵的规律求得正确答案.【详解】数阵第行有个数，第行有个数，并且数字从开始，每次递增.前行共有个数，第行从左向右的最后一个数是，所以第行从左向右的第个数为.故答案为：15、【解析】根据分层抽样的方法，即可求解.【详解】由题意，甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，150，50件，用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取个数为件.故答案为：.16、4【解析】把椭圆方程化成标准形式直接计算作答.【详解】椭圆方程化为：，令椭圆长半轴长为a，则，解得，所以椭圆的长轴长为4.故答案为：4三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】(1)易知为真命题，根据且命题的真假可知为假命题，结合函数零点与对应方程的根之间的关系得出，解不等式即可；(2)根据一元二次不等式的解法可得和，结合必要不充分条件的概念可得，利用集合与集合之间的关系即可得出答案.【详解】解：（1）对于：所有的非负整数都是自然数，显然正确.因为为假，所以为假.所以“函数没有零点”为真，所以，解得.所以实数的取值范围是.（2）对于：，解得或.对于，不等式的解集为，因为是的必要不充分条件，所以所以或，所以或，所以实数的取值范围是.18、（1）（2）【解析】（1）依题意得到方程组，求出、、，即可求出椭圆方程；（2）首先求出过且与轴垂直时、的坐标，即可得到，当过的直线不与轴垂直时，可设，，直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据平面向量数量积的坐标表示得到，将韦达定理代入得到，再根据函数的性质求出取值范围；【小问1详解】解：由题意可列方程组，解得，所以椭圆方程为：.【小问2详解】解：①当过的直线与轴垂直时，此时，，，则，.②当过的直线不与轴垂直时，可设，，直线方程为联立得：.所以，=将韦达定理代入上式得：.，，，由①②可知.19、（1）（2）【解析】（1）利用判别式可求的取值范围，注意就是否为零分类讨论；（2）根据题设可得真或真，后者可用参变分离求出的取值范围，结合（1）可求的取值范围.【小问1详解】当p为真命题时，当时，不等式显然成立；当时，解得，故a取值范围为.【小问2详解】当q为真命题时，问题等价于存在，使得不等式成立，即，∵，当且仅当x=1时等号成立，∴因为为真命题，所以真或真，故a的取值范围是20、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）求出的直线方程，结合椭圆方程可求的坐标，从而可求的直线方程；（2）设，直线（或），则可用两点的坐标表示或，联立直线的方程和椭圆的方程，消元后利用韦达定理可化简前者从而得到要证明的结论【详解】（1）若B为椭圆的上顶点，则.又过点，故直线由可得，解得即点，又，故直线；（2）设，方法一：设直线，代入椭圆方程可得：所以，故，又均不为0，故，即为定值方法二：设直线，代入椭圆方程可得：所以所以，即，所以，即为定值方法三：设直线，代入椭圆方程可得：所以，所以所以，把代入得方法四：设直线，代入椭圆的方程可得，则所以.因为，代入得.【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.21、（1）；（2）.【解析】（1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离可知，进而利用离心率的值计算即得结论；（2）设，联立直线与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出.【详解】解：（1）由题意可得，解得：，，椭圆C的方程为；（2）设，联立，得，，，，解得.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、韦达定理、弦长公式，属于中档题.22、（1），；（2）.