山东省济南市长清第一中学大学科技园校区2026届高二上数学期末监测试题含解析

山东省济南市长清第一中学大学科技园校区2026届高二上数学期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.2．已知点在椭圆上，与关于原点对称，，交轴于点，为坐标原点，，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成平局的概率（）A.50% B.30%C.10% D.60%4．已知抛物线过点，点为平面直角坐标系平面内一点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则点与原点间的距离的最小值为（）A. B.C. D.5．若公差不为0的等差数列的前n项和是，，且，，为等比数列，则使成立的最大n是（）A.6 B.10C.11 D.126．已知曲线，则“”是“C为双曲线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．已知正三棱柱中，，点为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.8．已知点，点关于原点的对称点为，则（）A. B.C. D.9．椭圆离心率是（）A. B.C. D.10．已知，是椭圆的两焦点，是椭圆上任一点，从引外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（）A.圆 B.两个圆C.椭圆 D.两个椭圆11．，，，，设，则下列判断中正确的是（）A. B.C. D.12．已知随机变量，且，，则为（）A.0.1358 B.0.2716C.0.1359 D.0.2718二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）14．若数列满足，，则__________15．已知数列的前n项和为，则取得最大值时n的值为__________________16．过圆内的点作一条直线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知；.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.18．（12分）某中学共有名学生，其中高一年级有名学生，为了解学生的睡眠情况，用分层抽样的方法，在三个年级中抽取了名学生，依据每名学生的睡眠时间（单位：小时），绘制出了如图所示的频率分布直方图.（1）求样本中高一年级学生的人数及图中的值；（2）估计样本数据的中位数（保留两位小数）；（3）估计全校睡眠时间超过个小时的学生人数.19．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，直线过与交于两点，的周长为8（1）求的方程；（2）过作直线交于两点，且向量与方向相同，求四边形面积的取值范围20．（12分）如图，在正方体中，E为的中点（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值21．（12分）已知数列{an}满足*（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn22．（10分）已知数列的前n项和为，满足，（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，为数列的前n项和，①求；②若不等式对任意的正整数n恒成立，求实数的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】结合导数以及函数的奇偶性判断出的单调性，由此化简不等式来求得不等式的解集.【详解】当时，单调递增，，所以单调递增.因为是偶函数，所以当时，单调递减.，，，或.即不等式的解集为.故选：D2、B【解析】由，得到，结合，得到，进而求得，得出，结合离心率的定义，即可求解.【详解】设，则，由，可得，所以，因为，可得，又由，两式相减得，即，即，又因为，所以，即又由，所以，解得.故选：B.3、A【解析】根据甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件即可求解.【详解】甲不输有两种情况：甲获胜或甲、乙两人下成平局，甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件，所以甲、乙两人下成平局的概率为.故选：A.4、B【解析】将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可求得抛物线的方程，求出的坐标，分析可知点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，利用圆的几何性质可求得点与原点间的距离的最小值.【详解】将点的坐标代入抛物线的方程得，可得，故抛物线的方程为，易知点，由中垂线的性质可得，则点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，故点的轨迹方程为，如下图所示：由图可知，当点、、三点共线且在线段上时，取最小值，且.故选：B.5、C【解析】设等差数列的公差为d，根据，且，，为等比数列，求得首项和公差，再利用前n项和公式求解.【详解】设等差数列的公差为d，因为，且，，为等比数列，所以，解得或（舍去），则，所以，解得，所以使成立的最大n是11，故选：C6、A【解析】根据充分必要条件的定义，以及双曲线的标准方程进行判断可得选项【详解】解：当时，表示双曲线，当表示双曲线时，则，所以“”是“C为双曲线”的充分不必要条件.故选A7、A【解析】根据异面直线所成角的定义，取中点为，则为异面直线和所成角或其补角，再解三角形即可求出【详解】如图所示：设中点为，则在三角形中，为中点，为中位线，所以有，，所以为异面直线和所成角或其补角，在三角形中，，所以由余弦定理有，故选：A.8、C【解析】根据空间两点间距离公式，结合对称性进行求解即可.【详解】因为点关于原点的对称点为，所以,因此，故选：C9、C【解析】将方程转化为椭圆的标准方程，求得a，c，再由离心率公式求得答案.【详解】解：由得，所以，则，所以椭圆的离心率，故选：C.10、A【解析】设的延长线交的延长线于点，由椭圆性质推导出，由题意知是△的中位线，从而得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆【详解】是焦点为、的椭圆上一点为的外角平分线，，设的延长线交的延长线于点，如图，，，，由题意知是△的中位线，，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆故选：A11、D【解析】通过凑配构造的方式，构造出新式子，且可以化简为整数，然后利用放缩思想得到S的范围.【详解】解：，，，，，；，.故选：D12、C【解析】根据正态分布的对称性可求概率.【详解】由题设可得，，故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1296【解析】根据取出的数字是否含有零，分类讨论，若不含零，则有四位数个，若含有零，则有四位数个，再根据分类加法计数原理即可求出【详解】若取出的数字中不含零，则有四位数个；若取出的数字中含零，则有四位数个；所以，这样的四位数有个故答案为：129614、7【解析】根据递推公式，依次求得值.【详解】依题意，由，可知，故答案为：715、①.13②.##3.4【解析】由题可得利用函数的单调性可得取得最大值时n的值，然后利用，即求.【详解】∵，∴当时，单调递减且，当时，单调递减且，∴时，取得最大值，∴.故答案为：13；.16、【解析】由已知得圆的圆心为，所以当直线时，被该圆截得的线段最短，可求得直线的方程.【详解】解：由得，所以圆的圆心为，所以当直线时，被该圆截得的线段最短，所以，解得，所以直线l的方程为，即，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】解不等式求得为真、为真分别对应的解集；（1）由为真可得全真，两解集取交集可得结果；（2）由和的真假性可得一真一假，则分为真假和假真两种情况求得解集.【小问1详解】若为真，则，即，即，所以或，若为真，则，所以，因为为真命题，所以均为真命题.所以实数的取值范围是.【小问2详解】若为假命题，为真命题，则一真一假，若真假，则，解得或，若假真，则，解得，综上所述，实数的取值范围是.18、（1）样本中高一年级学生的人数为，；（2）；（3）【解析】（1）利用分层抽样可求得样本中高一年级学生的人数，利用频率直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值；（2）利用中位数左边的矩形面积之和为可求得中位数的值；（3）利用频率分布直方图可计算出全校睡眠时间超过个小时的学生人数.【小问1详解】解：样本中高一年级学生的人数为.，解得.【小问2详解】解：设中位数为，前两个矩形的面积之和为，前三个矩形的面积之和为，所以，则，得，故样本数据的中位数约为.【小问3详解】解：由图可知，样本数据落在的频率为，故全校睡眠时间超过个小时的学生人数约为.19、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件直接求出半焦距，及长半轴长即可作答.(2)根据给定条件结合椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，设出直线l的方程，与椭圆C的方程联立，借助韦达定理、对勾函数性质计算作答.【小问1详解】依题意，椭圆半焦距，由椭圆定义知，的周长，解得，，因此椭圆的方程为.【小问2详解】依题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，由消去并整理得：，则，，因与方向相同，即，又椭圆是以原点O为对称中心的中心对称图形，于是得，即四边形为平行四边形，其面积，则，令，则，则，显然在上单调递增，则当时，，即，从而可得，所以四边形面积的取值范围为.【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积；过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积20、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解.【详解】（Ⅰ）[方法一]：几何法如下图所示：在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；[方法二]:空间向量坐标法以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、，，，设平面的法向量为，由，得，令，则，，则.又∵向量,,又平面，平面；（Ⅱ）[方法一]：几何法延长到，使得，连接，交于，又∵，∴四边形为平行四边形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,连接，作,垂足为,连接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直线平面,又∵直线平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角，根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角.设正方体的棱长为2，则,,∴,∴,∴,即直线与平面所成角的正弦值为.[方法二]：向量法接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直线与平面所成角的正弦值为.[方法三]：几何法+体积法如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P因为，所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角设正方体的棱长为2，在中，易得，可得由，得，整理得所以所以直线与平面所成角的正弦值为[方法四]：纯体积法设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h，在中，，，所以，易得由，得，解得，设直线与平面所成的角为，所以【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；（II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法.21、（1）（2）【解析】（1）根据递推关系式可得，再由等差数列的定义以及通项公式即可求解.（2）利用错位相减法即可求解.【小问1详解】（1），即，所以数列为等差数列，公差为1，首项为1，所以，即.【小问2详解】令，所