2026届河北省衡水市衡水中学数学高二上期末考试模拟试题含解析

2026届河北省衡水市衡水中学数学高二上期末考试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（）A. B.C. D.2．等比数列{}中，已知=8，+=4，则的值为（）A.1 B.2C.3 D.53．不等式的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.4．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）A. B.C. D.5．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待18秒才出现绿灯的概率为（）A B.C. D.6．已知等比数列中，，，则公比（）A. B.C. D.7．已知斜率为1的直线与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则椭圆C的离心率为（）A. B.C. D.8．已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中的系数为A5 B.10C.20 D.409．函数的导函数的图像如图所示，则（）A.为的极大值点B.为的极大值点C.为的极大值点D.为的极小值点10．如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为4的菱形，且，E为AD的中点，，则异面直线PC与BE所成角的余弦值为（）A. B.C. D.11．在空间四边形中，，，，且，则（）A. B.C. D.12．已知对任意实数，有，且时，则时A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆的右顶点为，为上一点，则的最大值为______.14．日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断増加.已知将吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为.则净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率的___________倍，这说明，水的纯净度越高，净化费用增加的速度越___________（填“快”或“慢”）.15．已知数列中，，，则_______.16．不等式是的解集为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数（1）求函数的单调区间；（2）若有两个零点，，求的取值范围，并证明：18．（12分）已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，且，，（1）求，；（2）已知，，试比较，的大小19．（12分）公差不为零的等差数列中，已知其前n项和为，若，且成等比数列（1）求数列的通项；（2）当时，求数列的前n和20．（12分）已知函数，是的一个极值点.（1）求b的值；（2）当时，求函数的最大值.21．（12分）已知点，圆C：，l：.（1）若直线过点M，且被圆C截得的弦长为，求该直线的方程；（2）设P为已知直线l上的动点，过点P向圆C作一条切线，切点为Q，求的最小值.22．（10分）已知数列的通项公式为：，其中．记为数列的前项和（1）求，；（2）数列的通项公式为，求的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标.【详解】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：，由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点，由得：，以为直径的圆恒过定点.故选：D.2、C【解析】由等比数列性质求出公比，将原式化简后计算【详解】设等比数列{}的公比为，则＝，＝，所以＝=.又＋＝＋＝（＋）＝8×＝2，＋＝＋＝（＋）＝8×＝1，所以＋＋＋＝2＋1＝3.故选：C3、B【解析】解不等式，由此判断必要不充分条件.【详解】，解得，所以不等式的一个必要不充分条件是.故选：B4、A【解析】两直线垂直，斜率之积为，曲线与直线相切，联立方程令.【详解】法一：直线，所以，所以切线的，设切线的方程为，联立方程，所以，令，解得，所以切线方程为.法二：直线，所以，所以切线的，，所以令，所以，带入曲线方程得切点坐标为，所以切线方程为，化简得.故选：A.5、B【解析】由几何概型公式求解即可.【详解】红灯持续时间为40秒，则至少需要等待18秒才出现绿灯的概率为，故选：B6、C【解析】利用等比中项的性质可求得的值，再由可求得结果.【详解】由等比中项的性质可得，解得，又，，故选：C.7、B【解析】这是中点弦问题，注意斜率与椭圆a,b之间的关系.【详解】如图：依题意，假设斜率为1的直线方程为：，联立方程：，解得：，代入得，故P点坐标为，由题意，OP的斜率为，即，化简得：，，，；故选：B.8、B【解析】首先根据二项展开式的各项系数和，求得，再根据二项展开式的通项为，求得，再求二项展开式中的系数.【详解】因为二项展开式的各项系数和，所以，又二项展开式的通项为=，，所以二项展开式中的系数为．答案选择B【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题9、A【解析】由导函数的图像可得函数的单调区间，从而可求得函数的极值【详解】由的图像可知，在和上单调递减，在和上单调递增，所以为的极大值点，和为的极小值点，不是函数的极值点，故选：A10、B【解析】根据异面直线的定义找出角即为所求，再利用余弦定理解三角形即可得出.【详解】分别取BC，PB的中点F，G，连接DF，FG，DG，如图，因为E为AD的中点，四边形ABCD是菱形，所以，所以（其补角）是异面直线PC与BE所成的角因为底面ABCD是边长为4菱形，且，，由余弦定理可知，所以，所以，所以异面直线PC与BE所成角的余弦值为，故选：B11、A【解析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】..故选:A.12、B【解析】，所以是奇函数，关于原点对称，是偶函数，关于y轴对称，时则都是增函数，由对称性可知时递增，递减，所以考点：函数奇偶性单调性二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设出点P的坐标，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数计算最值作答.【详解】椭圆的右顶点为，设点，则，即，且，于是得，因，则当时，，所以的最大值为.故答案为：14、①.②.快【解析】根据导数的概念可知净化所需费用的瞬时变化率即为函数的一阶导数，即先对函数求导，然后将和代入进行计算，再求，即可得到结果，进而能够判断水的纯净度越高，净化费用增加的速度的快慢【详解】由题意，可知净化所需费用的瞬时变化率为，所以，，所以，所以净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率的倍；因为，可知水的纯净度越高，净化费用增加的速度越快.故答案为：，快.15、【解析】根据递推公式一一计算即可；【详解】解：因为，所以，，，故答案为：16、【解析】由可得，结合分式不等式的解法即可求解.【详解】由可得，整理可得：，则，解可得：.所以不等式是的解集为:.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）答案见详解（2），证明见解析【解析】（1）求导得，，分类讨论参数a的范围即可判断单调区间；（2）设，，联立整理得，构造得，构造函数，结合导数判断单调性，进而得证.小问1详解】由，，可得，当时，，所以在上单调递增；当时，令，得，令，得所以在单调递减，在单调递增；【小问2详解】证明：因为函数有两个零点，由（1）得，此时的递增区间为，递减区间为，有极小值.所以，可得,所以.由（1）可得的极小值点为，则不妨设.设，，则则，即，整理得，所以，设，则，所以在上单调递减，所以，所以，即.18、（1），；（2）.【解析】(1)设等差数列的公差，等比数列的公比，由已知列式计算得解.(2)由(1)的结论，用等比数列前n项和公式求出，用裂项相消法求出，再比较大小作答.【小问1详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意，，整理得：，解得，所以，.【小问2详解】由(1)知，，数列是首项为，公比为的等比数列，则，，，则，用数学归纳法证明，，①当时，左边，右边，左边>右边，即原不等式成立，②假设当时，不等式成立，即，则，即时，原不等式成立，综合①②知，，成立，因此，，即，所以.19、（1）（2）【解析】（1）根据等差数列的性质，结合题意，可求得值，根据成等比数列，即可求得d值，代入等差数列通项公式，即可得答案；（2）由（1）可求得，即可得表达式，根据裂项相消求和法，即可得答案.【小问1详解】设等差数列的公差为，由等差数列性质可得，解得，又成等比数列，所以，整理得，因为，所以，所以【小问2详解】由（1）可得，则，所以，所以20、（1）；（2）【解析】（1）先求出导函数，再根据x=2是的一个极值点对应x=2是导数为0的根即可求b的值；（2）根据（1）的结论求出函数的极值点，通过比较极值与端点值的大小从而确定出最大值.【小问1详解】由题设，.∵x=2是的一个极值点，∴x=2是的一个根，代入解得：.经检验，满足题意.【小问2详解】由（1）知：，则.令，解得x=1或x=2.x1(1,2)2(2,3)30﹣0+递减递增∵当x∈(1,2)时，即在(1,2)上单调递减；当x∈(2,3)时，即在(2,3)上单调递增.∴当x∈[1,3]时，函数的最大值为与中的较大者.∴函数的最大值为.21、（1）或（2）【解析】（1）求出圆的圆心到直线的距离，再利用垂径定理计算列方程计算；（2）由题意可知当最小时，连线与已知直线垂直，求出，再利用计算即可.【小问1详解】由题意可知圆的圆心到直线的距离为①当直线斜率不存在时，圆的圆心到直线距离为1，满足题意