湖北省武汉市达标名校2026届高二数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

湖北省武汉市达标名校2026届高二数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数在R上存在导数，对任意的有，若，则k的取值范围是（）A. B.C. D.2．已知双曲线的离心率为2，则C的渐近线方程为（）A. B.C. D.3．为了调查全国人口的寿命，抽查了11个省（市）的2500名城镇居民，这2500名城镇居民的寿命的全体是（）A.总体 B.个体C.样本 D.样本容量4．已知，，若直线上存在点P，满足，则l的倾斜角的取值范围是（）A. B.C D.5．已知两个向量，，且，则的值为（）A.1 B.2C.4 D.86．已知函数f(x)的图象如图所示，则导函数f(x)的图象可能是（）A. B.C. D.7．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（）A.0 B.C. D.8．已知是双曲线的左焦点，为右顶点，是双曲线上的点，轴，若，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.9．已知数列满足，，在（）A.25 B.30C.32 D.6410．在正方体中，AC与BD的交点为M.设则下列向量与相等的向量是（）A. B.C. D.11．已知、是平面直角坐标系上的直线，“与的斜率相等”是“与平行”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件12．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列满足，将数列按如下方式排列成新数列：，，，，，，，，，…，，…．则新数列的前70项和为______14．在中，，，，则此三角形的最大边长为___________.15．已知数列的前n项和，则其通项公式______16．设，若直线与直线平行，则的值是________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）记为等差数列的前n项和，已知.（1）求的通项公式；（2）求的最小值.18．（12分）新冠肺炎疫情期间，某地为了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取了1500名居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图．满意度评分满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）求a的值；（2）定义满意度指数，若，则防疫工作需要进行调整，否则不需要调整，根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行调整？19．（12分）已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交直线于点，点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知曲线上一点，动圆，且点在圆外，过点作圆的两条切线分别交曲线于点，.（i）求证：直线的斜率为定值；（ii）若直线与交于点，且时，求直线的方程.20．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为，.点满足.（1）求椭圆的离心率；（2）设直线与椭圆相交于，两点，若直线与圆相交于，两点，且，求椭圆的方程.21．（12分）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱中点（1）求证：；（2）求直线AB与平面所成角的正弦值22．（10分）如图1，在四边形ABCD中，，，E是AD的中点，将沿BF折起至的位置，使得二面角的大小为120°（如图2），M，N分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】构造函数，求导后利用单调性，对题干条件变形后得到不等关系，求出答案.【详解】令，则恒成立，故单调递增，变形为，即，从而，解得：，故k的取值范围是故选：C2、A【解析】根据离心率及a，b，c的关系，可求得，代入即可得答案.【详解】因为离心率，所以，所以，，则，所以C的渐近线方程为.故选：A3、C【解析】由样本的概念即知.【详解】由题意可知，这2500名城镇居民的寿命的全体是样本.4、A【解析】根据题意，求得直线恒过的定点，数形结合只需求得线段与直线有交点时的斜率，结合斜率和倾斜角的关系即可求得结果.【详解】对直线，变形为，故其恒过定点，若直线存在点P，满足，只需直线与线段有交点即可.数形结合可知，当直线过点时，其斜率取得最大值，此时，对应倾斜角；当直线过点时，其斜率取得最小值，此时，对应倾斜角为.根据斜率和倾斜角的关系，要满足题意，直线的倾斜角的范围为：.故选：A.5、C【解析】由，可知，使，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.【详解】∵，∴，使，得，解得：，所以故选：C【点睛】思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知，引入参数，使，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由，得，求出m，n.6、D【解析】根据导函数正负与原函数单调性关系可作答【详解】原函数在上先减后增，再减再增，对应到导函数先负再正，再负再正，且原函数在处与轴相切，故可知，导函数图象为D故选：D7、D【解析】由导数的几何意义求得曲线上与直线平行的切线方程的切线坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离【详解】点是曲线上的任意一点，设，令，解得1或（舍去），，∴曲线上与直线平行的切线的切点为，点到直线的最小距离.故选：D.8、C【解析】根据条件可得与，进而可得，，的关系，可得解.【详解】由已知得，设点，由轴，则，代入双曲线方程可得，即，又，所以，即，整理可得，故，解得或（舍），故选：C.9、A【解析】根据题中条件，得出数列公差，进而可求出结果.【详解】由得，所以数列是以为公差的等差数列，又，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量运算，属于基础题型.10、C【解析】根据空间向量的运算法则，推出的向量表示，可得答案.【详解】，故选：C.11、D【解析】根据直线平行与直线斜率的关系，即可求解.【详解】解：与的斜率相等”，“与可能重合，故前者不可以推出后者，若与平行，与的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，故前者是后者的既非充分条件也非必要条件，故选：D.12、B【解析】根据椭圆的几何性质求椭圆的焦点坐标和长轴端点坐标，由此可得双曲线的a，b，c，再求双曲线的标准方程.【详解】∵椭圆的方程为＋＝1，∴椭圆的长轴端点坐标为，，焦点坐标为，，∴双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴双曲线方程为，故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##2.9375【解析】先根据题干条件得到，再利用错位相减法求前64项和，最后求出前70项和.【详解】①，当时，；当时，②，①-②得：，即又满足，所以由，得令，则，两式相减得，则所以新数列的前70项和为故答案为：14、【解析】可知B对的边最大，再用正弦定理计算即可.【详解】利用正弦定理可知，B对的边最大，因为，，所以，.故答案为：15、【解析】利用当时，，可求出此时的通项公式，验证n=1时是否适合，可得答案.【详解】当时，，当时，不适合上式，∴，故答案为:.16、【解析】先通过讨论分成斜率存在和不存在两种情况，然后再按照两直线平行的判定方法求解即可.【详解】由已知可得，当时，两直线分别为和，此时，两直线不平行；当时，要使得两直线平行，即，解得，.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）设数列的公差为d，由，利用等差数列的前n项和公式求解；（2）利用等差数列的前n项和公式结合二次函数的性质求解.【小问1详解】解：设数列的公差为d，∵，∴，解得2，∴.【小问2详解】由（1）知2，∴，，，∴当时，取得最小值-16.18、（1）（2）不需要【解析】（1）直接根据频率和为1计算得到答案.（2）计算平均值得到得到答案.【小问1详解】，解得.【小问2详解】.故不需要进行调整.19、（1）（2）（i）答案见解析（ii）或【解析】（1）通过几何关系可知，且,由此可知点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线，通过双曲线的定义即可求解；（2）（i）设点，，直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立利用韦达定理及求出，即得到直线的斜率为定值；（ii）由（i）可知，由已知可得，联立方程即可求出，的值，代入即可求出的值，即可得到直线方程.【小问1详解】由题意可知,∵,且,∴根据双曲线的定义可知，点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线，即，，，则点的轨迹方程为；【小问2详解】（i）设点，，直线的方程为，联立得，其中，且，，，∵曲线上一点，∴，由已知条件得直线和直线关于对称，则，即，整理得，，，，即，则或，当，直线方程为，此直线过定点，应舍去，故直线的斜率为定值.（ii）由（i）可知，由已知得，即，当时，，，即，，，解得或，但是当时，，故应舍去，当时，直线方程为，当时，，即，，，解得（舍去）或，当时，直线方程为,故直线的方程为或.20、（1）；（2）【解析】（1）由及两点间距离公式可建立等式，消去b，即可求解出，主要两个根的的要舍去;（2）联立直线和椭圆的方程，利用弦长公式求得，再利用几何关系求得，代入，可解得c，从而得到椭圆的方程.【详解】（1）设，，因为，所以，整理得，得（舍），或，所以；（2）由（1）知，，可得椭圆方程为，直线的方程为，A，B两点的坐标满足方程组为，消去y并整理，得，解得：，，得方程组的解和,不妨设：，，所以，于是，圆心到直线的距离为，因为，所以，整理得：，得（舍），或，所以椭圆方程为：.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率解题关键是找到关于a，b，c的等量关系，第二问的关键是联立直线与椭圆方程求出交点坐标，利用距离公式建立等量关系，求出c是求出椭圆方程的关键.21、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由线面垂直、等腰三角形的性质易得、，再根据线面垂直的判定及性质证明结论；（2）构建空间直角坐标系，确定相关点坐标，进而求的方向向量、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】在三棱柱中，平面，则平面，由平面，则，，则，又为的中点，则，又，则平面，由平面，因此，.【小问2详解】以为原点，以，，为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，可得：，，，，，，.∴，，，，设为面的法向量，则，令得，设与平面所成角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为.22、（1）证明见解析（2）【解析】（1）构造中位线，利用面面平行，可以证明;（2）建立空间直角坐标系，用空间向量的方法即可.【小问1详解】证明：如图，取ED的中点P，连接MP，NP.在平行四边形ABCD中，因为E是AD的中点，，所以，又，所以